4: Sistemas no lineales y caos

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4.0.PNG — Figura\(\PageIndex{1}\): Coexistencia de flujo laminar y turbulento.

4.1: Introducción a los sistemas no lineales y al caos
La no linealidad y el caos es un campo amplio y activo y, por lo tanto, este capítulo se centrará únicamente en algunos ejemplos que ilustran las características generales de los sistemas no lineales. La falta de linealidad débil se utiliza para ilustrar soluciones de bifurcación y atractores asintóticos para las cuales el sistema evoluciona independientemente de las condiciones iniciales. El péndulo plano linealmente amortiguado accionado sinusoidalmente común ilustra varios rasgos característicos de la evolución de un sistema no lineal del orden al caos.
4.2: No linealidad débil
La mayoría de los osciladores físicos se vuelven no lineales con el aumento de la amplitud de las oscilaciones. Las consecuencias de la no linealidad incluyen la ruptura de la superposición, la introducción de armónicos adicionales y el movimiento caótico complicado que tiene una gran sensibilidad a las condiciones iniciales como se ilustra en este capítulo. La no linealidad débil es interesante ya que la teoría de perturbaciones puede ser utilizada para resolver las ecuaciones no lineales del movimiento.
4.3: Bifurcación y Atrayentes Puntuales
El complicado movimiento de los sistemas no lineales hace necesario distinguir entre el comportamiento transitorio y asintótico. El oscilador armónico amortiguado ejecuta un movimiento espiral transitorio que se aproxima asintóticamente al origen. El comportamiento transitorio depende de las condiciones iniciales, mientras que el límite asintótico de la solución de estado estacionario es una ubicación específica, que se denomina atractor puntual.
4.4: Límite de ciclos
El ciclo límite es inusual ya que el movimiento periódico tiende asintóticamente al atractor de ciclo límite independientemente de si los valores iniciales están dentro o fuera del ciclo límite. El equilibrio de las fuerzas disipativas y las fuerzas impulsoras a menudo conduce a atractores de ciclo limitado, especialmente en aplicaciones biológicas. La identificación de atractores de ciclo límite, así como las trayectorias del movimiento hacia estos atractores de ciclo límite, es más complicada que para los atractores puntuales.
4.5: Péndulo plano de accionamiento armónico, amortiguado linealmente
El péndulo plano armónicamente amortiguado linealmente ilustra muchos de los fenómenos exhibidos por los sistemas no lineales a medida que evolucionan de un movimiento ordenado a un movimiento caótico. Ilustra el hecho notable de que el determinismo no implica ni un comportamiento regular ni previsibilidad. El conocido péndulo amortiguado linealmente accionado armónicamente proporciona una base ideal para una introducción a la dinámica no lineal.
4.6: Diferenciación entre movimiento ordenado y caótico
La transición entre el movimiento ordenado y el movimiento caótico depende sensiblemente tanto de las condiciones iniciales como de los parámetros del modelo. Es sorprendentemente difícil distinguir sin ambigüedades entre movimiento ordenado complicado y movimiento caótico. Además, el movimiento puede fluctuar entre el orden y el caos de manera errática dependiendo de las condiciones iniciales.
4.7: Propagación de Ondas para Sistemas No Lineales
Los sistemas no lineales introducen intrigantes fenómenos de nueva ola. Por ejemplo, la velocidad de grupo puede ser una función de ω, es decir, se produce una dispersión de la velocidad de grupo, lo que lleva a que la forma de la envolvente del paquete de ondas sea dependiente del tiempo. Como consecuencia, la velocidad de grupo en el paquete de ondas no está bien definida, y no es igual a la velocidad de señal del paquete de ondas o a la velocidad de fase de las ondículas.
4.E: Sistemas no lineales y caos (Ejercicios)
4.S: Sistemas no lineales y caos (Resumen)
El estudio de la dinámica de los sistemas no lineales sigue siendo un campo vibrante y en rápida evolución en la mecánica clásica, así como en muchas otras ramas de la ciencia. En este capítulo se han discutido ejemplos de sistemas no lineales en mecánica clásica. Se demostró que el principio de superposición se rompe incluso por una débil no linealidad. Se demostró que el aumento de la no linealidad conduce a bifurcación, atractores puntuales, atractores de ciclo límite y sensibilidad a las condiciones iniciales.