4.2: No linealidad débil

La mayoría de los osciladores físicos se vuelven no lineales con el aumento de la amplitud de las oscilaciones. Las consecuencias de la no linealidad incluyen la ruptura de la superposición, la introducción de armónicos adicionales y el movimiento caótico complicado que tiene una gran sensibilidad a las condiciones iniciales como se ilustra en este capítulo. La no linealidad débil es interesante ya que la teoría de perturbaciones puede ser utilizada para resolver las ecuaciones no lineales del movimiento.

La función de energía potencial para un oscilador lineal tiene una forma parabólica pura alrededor de la ubicación mínima, es decir,\(U= \frac{1}{2}k(x-x_{0})^{2}\) dónde\(x_{0}\) está la ubicación del mínimo. Los sistemas no lineales débiles tienen pequeñas oscilaciones de amplitud\(\Delta x\) alrededor del mínimo permitiendo el uso de la expansión Taylor

\[U(\Delta x)=U(x_{0})+\Delta x\frac{dU\left( x_{0}\right) }{dx}+\frac{\Delta x^{2}}{2!}\frac{d^{2}U\left( x_{0}\right) }{dx^{2}}+\frac{\Delta x^{3}}{3!} \frac{d^{3}U\left( x_{0}\right) }{dx^{3}}+\frac{\Delta x^{4}}{4!}\frac{ d^{4}U\left( x_{0}\right) }{dx^{4}}+ \dots \label{4.1}\]

Por definición, al mínimo\(\frac{dU\left( x_{0}\right) }{dx}=0,\) y así la Ecuación\ ref {4.1} puede escribirse como

\[\Delta U=U(\Delta x)-U(x_{0})=\frac{\Delta x^{2}}{2!}\frac{d^{2}U\left( x_{0}\right) }{dx^{2}}+\frac{\Delta x^{3}}{3!}\frac{d^{3}U\left( x_{0}\right) }{dx^{3}}+\frac{\Delta x^{4}}{4!}\frac{d^{4}U\left( x_{0}\right) }{dx^{4}}+\dots \label{4.2}\]

Para pequeñas oscilaciones de amplitud el sistema es lineal cuando solo el\(\frac{\Delta x^{2}}{2!}\frac{d^{2}U\left( x_{0}\right) }{dx^{2} }\) término de segundo orden en la Ecuación\ ref {4.2} es significativo. La linealidad para oscilaciones de pequeña amplitud simplifica enormemente la descripción del movimiento oscilatorio en que se aplica la superposición, y se evita el movimiento caótico complicado. Para un movimiento de amplitud ligeramente mayor, donde los términos de orden superior en la expansión son aún mucho más pequeños que el término de segundo orden, entonces la teoría de perturbación puede usarse como se ilustra por el péndulo plano simple que no es lineal ya que la fuerza restauradora es igual

\[mg\sin \theta \simeq mg(\theta -\frac{\theta ^{3}}{3!}+\frac{\theta ^{5}}{5!} -\frac{\theta ^{7}}{7!}+\dots ) \label{4.3}\]

Esto es lineal solo en ángulos muy pequeños donde se pueden descuidar los términos de orden superior en la expansión. Considere la ecuación de movimiento a pequeñas amplitudes para el péndulo plano amortiguado linealmente accionado armónicamente

\[\ddot{\theta}+\Gamma \dot{\theta}+\omega _{0}^{2}\sin \theta =\ddot{\theta} +\Gamma \dot{\theta}+\omega _{0}^{2}(\theta -\frac{\theta ^{3}}{6} )=F_{0}\cos \left( \omega t\right) \label{4.4}\]

donde solo se han incluido los dos primeros términos de la expansión\ ref {4.3}. Se demostró en el capítulo\(3\) que cuando\(\sin \theta \approx \theta\) entonces la solución de estado estacionario de la Ecuación\ ref {4.4} es de la forma

\[\theta \left( t\right) =A\cos \left( \omega t-\delta \right) \label{4.5}\]

Inserte esta solución de primer orden en la Ecuación\ ref {4.4}, luego el término cúbico en la expansión da un término\(\cos^{3}\omega t=\frac{1}{4}(\cos 3\omega t+3\cos \omega t)\). Así, la expansión de perturbación a tercer orden implica una solución de la forma

\[\theta \left( t\right) =A\cos \left( \omega t-\delta \right) +B\cos 3(\omega t-\delta )\label{4.6}\]

Esta solución de perturbación muestra que el término no lineal ha distorsionado la señal mediante la adición del tercer armónico de la frecuencia de accionamiento con una amplitud de la que depende sensiblemente\(\theta\). Esto ilustra que el principio de superposición no es obedecido para este sistema no lineal, pero, si la no linealidad es débil, la teoría de perturbación puede ser utilizada para derivar la solución de una ecuación de movimiento no lineal.

La figura\(\PageIndex{1}\) ilustra que para un potencial\(U(x)=2x^{2}+x^{4},\) el término\( x^{4}\) no lineal es mayor a la amplitud máxima,\(x,\) lo que hace que los contornos de energía total en el espacio de estado sean más rectangulares que la forma elíptica para el oscilador armónico como se muestra en la figura (3.4.2). La solución es de la forma dada en la Ecuación\ ref {4.6}.

Figura\(\PageIndex{1}\): El lado izquierdo muestra la energía potencial para un potencial simétrico\(U(x)=2x^2 + x^4\). El lado derecho muestra los contornos de energía total constante en un diagrama estado-espacio.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Non-linear oscillator

Supongamos que un oscilador no lineal tiene un potencial dado por

\[U(x)=\frac{kx^{2}}{2}-\frac{m\lambda x^{3}}{3} \nonumber\]

donde\(\lambda\) es pequeño. Encuentra la solución de la ecuación de movimiento a primer orden en\(\lambda\), asumiendo\(x=0\) en\(t=0\).

Solución

La ecuación de movimiento para el oscilador no lineal es

\[m\ddot{x}=-\frac{dU}{dx}=-kx+m\lambda x^{2} \nonumber\]

Si se descuida el\(m\lambda x^{2}\) término, entonces la ecuación de movimiento de segundo orden se reduce a un oscilador lineal normal con

\[x_{0}=A\sin \left( \omega _{0}t+\varphi \right) \nonumber\]

donde

\[\omega _{0}=\sqrt{\frac{k}{m}} \nonumber\]

Supongamos que la solución de primer orden tiene la forma

\[x_{1}=x_{0}+\lambda x_{1} \nonumber\]

Sustituyendo esto en la ecuación de movimiento, y descuidando términos de orden superior que\(\lambda ,\) da

\[\ddot{x}_{1}+\omega _{0}^{2}x_{1}=x_{0}^{2}=\frac{A^{2}}{2}[1-\cos \left( 2\omega _{0}t\right) ] \nonumber\]

Para resolver esto prueba una integral particular

\[x_{1}=B+C\cos \left( 2\omega _{0}t\right) \nonumber\]

y sustituir en la ecuación de movimiento da

\[-3\omega _{0}^{2}C\cos \left( 2\omega _{0}t\right) +\omega _{0}^{2}B=\frac{ A^{2}}{2}-\frac{A^{2}}{2}\cos \left( 2\omega _{0}t\right) \nonumber\]

Comparación de los coeficientes da

\[\begin{aligned} B &=&\frac{A^{2}}{2\omega _{0}^{2}} \\ C &=&\frac{A^{2}}{6\omega _{0}^{2}}\end{aligned} \nonumber\]

La ecuación homogénea es

\[\ddot{x}_{1}+\omega _{0}^{2}x_{1}=0 \nonumber\]

que tiene una solución de la forma

\[x_{1}=D_{1}\sin \left( \omega _{0}t\right) +D_{2}\cos \left( \omega _{0}t\right) \nonumber\]

Así, la combinación de las soluciones particulares y homogéneas da

\[x_{1}=\left( A+\lambda D_{1}\right) \sin \left( \omega _{0}t\right) +\lambda \left[ \frac{A^{2}}{2\omega _{0}^{2}}+D_{2}\cos \left( \omega _{0}t\right) + \frac{A^{2}}{6\omega _{0}^{2}}\cos \left( 2\omega _{0}t\right) \right] \nonumber\]

La condición inicial\(x=0\) en\(t=0\) ese momento da

\[D_{2}=-\frac{2A^{2}}{3\omega ^{2}} \nonumber\]

y

\[x_{1}=\left( A+\lambda D_{1}\right) \sin \left( \omega _{0}t\right) +\frac{ \lambda A^{2}}{\omega _{0}^{2}}\left[ \frac{1}{2}-\frac{2}{3}\cos \left( \omega _{0}t\right) +\frac{1}{6}\cos \left( 2\omega _{0}t\right) \right] \nonumber\]

La constante\(\left( A+\lambda D_{1}\right)\) viene dada por la amplitud y velocidad iniciales.

Este sistema es no lineal ya que la amplitud de salida no es proporcional a la amplitud de entrada. En segundo lugar, se introduce un segundo componente armónico de gran amplitud en la forma de onda de salida; es decir, para un sistema no lineal la ganancia y descomposición de frecuencia de la salida difiere de la entrada. Tenga en cuenta que la composición de la frecuencia depende de la amplitud. Este ejemplo particular de un sistema no lineal no presenta caos. El Laboratorio de Energética Láser utiliza cristales no lineales para duplicar la frecuencia de la luz láser.