5.1: Introducción al Cálculo de las Variaciones

Durante el\(18^{th}\) siglo, Bernoulli, quien era estudiante de Leibniz, desarrolló el campo del cálculo variacional que subyace al enfoque variacional integral de la mecánica. Resolvió el problema de la brachistocrón que implica encontrar el camino para el cual el tiempo de tránsito entre dos puntos es el más corto. El enfoque variacional integral también subyace al principio de Fermat en óptica, que puede ser utilizado para derivar que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia, así como derivar la ley de Snell. Otras aplicaciones del cálculo de variaciones incluyen resolver el problema de la catenaria, encontrar las distancias máxima y mínima entre dos puntos en una superficie, formas poligonales que tengan la relación máxima de área cerrada a perímetro, o maximizar el beneficio en economía. Bernoulli, desarrolló el principio del trabajo virtual utilizado para describir el equilibrio en sistemas estáticos, y D'Alembert extendió el principio del trabajo virtual a los sistemas dinámicos. Euler, el matemático suizo preeminente del\(18^{th}\) siglo y estudiante de Bernoulli, desarrolló el cálculo de las variaciones con pleno rigor matemático. La culminación del desarrollo del enfoque variacional lagrangiano de la mecánica clásica fue realizada por Lagrange (1736-1813), quien era estudiante de Euler.

El enfoque Euler-Lagrangiano de la mecánica clásica deriva de una profunda creencia filosófica de que las leyes de la naturaleza se basan en el principio de la economía. Es decir, el universo físico sigue caminos a través del espacio y el tiempo que se basan en principios extremos. El Lagrangiano estándar\(L\) se define como la diferencia entre la energía cinética y potencial, es decir

\[L=T-U\]

Los capítulos\(6\) a través\(9\) mostrarán que las leyes de la mecánica clásica se pueden expresar en términos del principio variacional de Hamilton que establece que el movimiento del sistema entre el tiempo inicial\(t_{1}\) y el tiempo final\(t_{2}\) sigue un camino que minimiza el escalar integral de acción\(S\) definida como la integral de tiempo del lagrangiano.

\[S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt\]

El cálculo de las variaciones proporciona las matemáticas necesarias para determinar el camino que minimiza la integral de acción. Este enfoque variacional es elegante y hermoso, y ha resistido los rigores de la confirmación experimental. De hecho, no solo es un enfoque alternativo sumamente poderoso al enfoque intuitivo newtoniano en la mecánica clásica, sino que ahora se reconoce que el principio variacional de Hamilton es más fundamental que las Leyes del movimiento de Newton. Los enfoques variacionales lagrangianos y hamiltonianos de la mecánica son los únicos enfoques que pueden manejar la Teoría de la Relatividad, la mecánica estadística y la dicotomía de los enfoques filosóficos de la física cuántica.