6.1: Introducción a la dinámica lagrangiana

La mecánica newtoniana se basa en observables vectoriales como el momento y la fuerza, y las ecuaciones de movimiento de Newton se pueden derivar si se conocen las fuerzas. Sin embargo, la mecánica newtoniana se vuelve difícil para los sistemas de muchos cuerpos cuando se aplican fuerzas de restricción. El enfoque alternativo de la mecánica lagrangiana algebraica se basa en el concepto de energías escalares que eluden muchas de las dificultades en el manejo de fuerzas de restricción y sistemas de muchos cuerpos.

El enfoque lagrangiano de la dinámica clásica se basa en el cálculo de las variaciones introducidas en el capítulo\(5\). Se demostró que el cálculo de variaciones determina la función de\(y_i(x)\) tal manera que el escalar funcional

\[F = \int^{x_2}_{x_1} \sum^n_i f[y_i (x), y^{\prime}_i (x); x] dx \label{6.1}\]

es un extremo, es decir, un máximo o mínimo. Aquí\(x\) está la variable independiente,\(y_i(x)\) son las variables\(n\) dependientes, y sus derivadas\(y^{\prime}_i \equiv \frac{dy_i}{dx}\), donde\(i = 1, 2, 3, ..n\). La función\(f [ y_i(x), y^{\prime}_i (x); x] \) tiene una dependencia asumida de\(y_i\),\(y^{\prime}_i\) y\(x\). El cálculo de las variaciones determina la dependencia funcional de las variables\(y_i(x)\) dependientes de la variable independiente\(x\), que se necesita para asegurar que\(F\) es un extremo. Para variables\(n\) independientes,\(F\) tiene un punto estacionario, que se presume que es un extremo, que se determina por solución de ecuaciones diferenciales de Euler

\[\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y_{i}^{\prime }}-\frac{\partial f}{ \partial y_{i}}=0\label{6.2}\]

Si las coordenadas\(y_{i}(x)\) son independientes, entonces las ecuaciones de Euler,\ ref {6.2}, para cada coordenada\(i\) son independientes. Sin embargo, para el movimiento restringido, las restricciones conducen a condiciones auxiliares que correlacionan las coordenadas. Como se muestra en el capítulo\(5\), se puede hacer una transformación a coordenadas generalizadas independientes de tal manera que las correlaciones inducidas por las fuerzas de restricción se incrustan en la elección de las coordenadas generalizadas independientes. El uso de coordenadas generalizadas en la mecánica lagrangiana simplifica la derivación de las ecuaciones de movimiento para sistemas restringidos. Por ejemplo, para un sistema de\(n\) coordenadas, que implica restricciones\(m\) holonómicas, existen coordenadas generalizadas\(s=n-m\) independientes. Para tal movimiento holonómico restringido, se demostrará que las ecuaciones de Euler pueden resolverse utilizando cualquiera de las siguientes tres formas alternativas.

1) El enfoque de conjunto mínimo de coordenadas generalizadas implica encontrar un conjunto de coordenadas generalizadas\(s=n-m\) independientes\(q_{i}\) que satisfagan los supuestos subyacentes\ ref {6.2}. Estas coordenadas generalizadas se pueden determinar si las\(m\) ecuaciones de restricción son holonómicas, es decir, relacionadas por ecuaciones algebraicas de restricción

\[g_{k}(q_{i};x)=0\label{6.3}\]

donde\(k=1,2,3,\dots .m.\) Estas ecuaciones determinan de manera única la relación entre las coordenadas\(n\) correlacionadas. Este método tiene la ventaja de que reduce el sistema de\(n\) coordenadas, sujeto a\(m\) restricciones, a coordenadas generalizadas\(s=n-m\) independientes lo que reduce la dimensión del problema a resolver. Sin embargo, no determina explícitamente las fuerzas de restricción que efectivamente se barren debajo de la alfombra.

2) El enfoque de multiplicadores Lagrange toma en cuenta la correlación entre las\(n\) coordenadas y las restricciones\(m\) holonómicas mediante la introducción de los multiplicadores Lagrange\(\lambda _{k}(x)\). Estas coordenadas\(n\) generalizadas\(q_{i}\) están correlacionadas por las restricciones\(m\) holonómicas.

\[\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial q_{i}^{\prime }}-\frac{\partial f}{ \partial q_{i}}=\sum_{k}^{m}\lambda _{k}\left( x\right) \frac{\partial g_{k} }{\partial q_{i}}\label{6.4}\]

donde\(i=1,2,3,\dots n\). El enfoque multiplicador Lagrange tiene la ventaja de que el cálculo de variaciones de Euler utiliza automáticamente las ecuaciones de\(n\) Lagrange, más las\(m\) ecuaciones de restricción, para determinar explícitamente tanto las\(n\) coordenadas\(q_{i}\) más las\(m\) fuerzas de restricción que son relacionados con los multiplicadores\(\lambda _{k}\) Lagrange dados en la Ecuación\ ref {6.4}. Capítulo\(6.2\) muestra que los\(\sum_{k}^{m}\lambda _{k}\left( x\right) \frac{\partial g_{k}}{\partial y_{i}}\) términos están directamente relacionados con las fuerzas holonómicas de restricción.

3) El enfoque de fuerza generalizada incorpora explícitamente las fuerzas de restricción como se mostrará en el capítulo\(6.5.4\). La incorporación de las fuerzas de restricción explícitamente permite el uso de fuerzas de restricción holonómicas, no holonómicas y no conservadoras.

La comprensión de la formulación Lagrange de la mecánica clásica se ve facilitada por el uso de un enfoque simple y no riguroso de plausibilidad que se basa en las leyes del movimiento de Newton. Este enfoque introductorio de plausibilidad será seguido por dos derivaciones más rigurosas de la formulación lagrangiana desarrolladas utilizando el Principio d'Alembert o el Principio Hamiltons. Estos dilucidan mejor la física subyacente a las representaciones analíticas de Lagrange y Hamiltonian de la mecánica clásica. En\(1788\) Lagrange derivó sus ecuaciones de movimiento utilizando el principio diferencial d'Alembert, que extiende a los sistemas dinámicos el Principio de Bernoulli de desplazamientos virtuales infinitossimales y trabajo virtual. El otro enfoque, desarrollado en\(1834\), utiliza el Principio integral de Hamilton para derivar las ecuaciones de Lagrange. El Principio de Hamilton se discute con más detalle en el capítulo El cálculo variacional de\(9.\) Euler subyace al Principio de D'Alembert y al Principio de Hamilton ya que ambos se basan en la creencia filosófica de que las leyes de la naturaleza prefieren la economía del movimiento. Los capítulos\(6.2-6.5\) muestran que tanto el Principio de D'Alembert como el Principio de Hamilton conducen a las ecuaciones de Euler-Lagrange. A esto le seguirá una serie de ejemplos que ilustran el uso de la mecánica lagrangiana en la mecánica clásica.