6.2: Argumento newtoniano de plausibilidad para la mecánica lagrangiana

La comprensión de la física subyacente a la mecánica de Lagrange se da mostrando la relación directa entre la mecánica newtoniana y lagrangiana. Los enfoques variacionales de la mecánica clásica explotan la integral espacial de primer orden de la fuerza, equation (\(2.4.8\)), que iguala el trabajo realizado entre las condiciones inicial y final. El trabajo realizado es una cantidad escalar simple que depende de la ubicación inicial y final de las fuerzas conservadoras. La ecuación de movimiento de Newton es

\[\label{6.5} \mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}\]

La energía cinética viene dada por

\[\label{6.6} T=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{p}}{2m}=\frac{p_{x}^{2}}{2m }+\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{p_{z}^{2}}{2m} \notag\]

Se puede ver que

\[\label{6.7} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}}=p_{x}\]

y\[\label{6.8} \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}=\frac{dp_{x}}{dt}=F_{x}\]

Considerar que la fuerza, que actúa sobre una masa\(m,\) se separa arbitrariamente en dos componentes, una parte que es conservadora, y así puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar\(U\), más la parte excluida de la fuerza,\(F^{EX}\). La parte excluida de la fuerza\(F^{EX}\) podría incluir fuerzas de fricción no conservadoras, así como fuerzas de restricción que pueden ser conservadoras o no conservadoras. Esta separación permite que la fuerza se escriba como

\[\label{6.9} \mathbf{F}=-\mathbf{\nabla }U+\mathbf{F}^{EX}\]

A lo largo de cada uno de los\(x_{i}\) ejes,

\[\label{6.10} \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{i}}=-\frac{\partial U}{ \partial x_{i}}+F_{x_{i}}^{EX}\]

La ecuación\ ref {6.10} se puede extender transformando la coordenada cartesiana en\(x_{i}\) las coordenadas generalizadas\(q_{i}.\)

Definir el estándar Lagrangiano como la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial, que puede escribirse en términos de las coordenadas generalizadas\(q_{i}\) como

\[\label{6.11} L(q_{i},\dot{q}_{i})\equiv T(\dot{q}_{i})-U(q_{i})\]

Supongamos que el potencial es solo una función de las coordenadas generalizadas\(q_{i},\) que es\(\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_{i}}=0,\) entonces

\[\label{6.12} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q} _{i}}+\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_{i}}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\]

El uso de las ecuaciones anteriores permite que la ecuación de movimiento de Newton\ ref {6.10} se exprese como

\[\label{6.13} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{ \partial q_{i}}=F_{q_{i}}^{EX}\]

La fuerza excluida\(F_{q_{i}}^{EX}\) puede dividirse en una fuerza de restricción holonómica\(F_{q_{i}}^{HC},\) más cualquier fuerza excluida restante\(F^{EXC},\) dada por

\[\label{6.14} F_{q_{i}}^{EX}=F_{q_{i}}^{HC}+F^{EXC}\]

Una comparación de ecuaciones\ ref {6.13} y\((6.1.4)\) muestra que las fuerzas de restricción holonómicas\(F_{q_{i}}^{HC},\) que están contenidas en la fuerza excluida\(F^{EX},\) pueden identificarse con el término multiplicador de Lagrange en la ecuación\((6.1.4)\).

\[ \label{6.15} F_{q_{i}}^{HC}\equiv \sum_{k}^{m}\lambda _{k}\left( t\right) \frac{\partial g_{k}}{\partial q_{i}}\]

Es decir, los términos del multiplicador de Lagrange se pueden usar para dar cuenta de las fuerzas de restricción holonómicas\(F_{q_{i}}^{HC}\). Así, la ecuación\ ref {6.13} puede escribirse como

\[\label{6.16} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{ \partial q_{i}}=\sum_{k}^{m}\lambda _{k}\left( t\right) \frac{\partial g_{k} }{\partial q_{i}}+F_{q_{i}}^{EXC}\]

donde el término multiplicador Lagrange representa las fuerzas de restricción holonómicas, e\(F_{q_{i}}^{EXC}\) incluye todas las fuerzas restantes que no son contabilizadas por el potencial escalar\(U\), o los términos del multiplicador Lagrange\(F_{q_{i}}^{HC}\).

Para las fuerzas holonómicas, conservadoras es posible absorber todas las fuerzas en el potencial\(U\) más el término multiplicador Lagrange, es decir\(F_{q_{i}}^{EXC}=0.\) Además, el uso de un conjunto mínimo de coordenadas generalizadas permite ignorar las fuerzas de restricción holonómica al reducir explícitamente el número de desde coordenadas\(n\) dependientes hasta coordenadas generalizadas\(s=n-m\) independientes. Es decir, las correlaciones debidas a las fuerzas de restricción están incrustadas en las coordenadas generalizadas. Entonces la Ecuación\ ref {6.17} reduce a las ecuaciones diferenciales básicas de Euler. \[\label{6.17} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{ \partial q_{i}}=0\]

Tenga en cuenta que la ecuación\ ref {6.17} es idéntica a la ecuación de Euler (\(5.8.1\)), si la variable independiente\(x\) es reemplazada por tiempo\(t\). Así, la ecuación de movimiento de Newton equivale a minimizar la integral de acción\(S= \int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt\), es decir

\[\label{6.18} \delta S=\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{i},\dot{q}_{i};t)dt=0\]

que es el Principio de Hamilton. El Principio de Hamilton subyace a muchos aspectos de la física como se discute en el capítulo\(9\), y se utiliza como punto de partida para el desarrollo de la mecánica clásica. El principio de Hamilton se postuló\(46\) años después de que Lagrange introdujera la mecánica lagrangiana.

El argumento de plausibilidad anterior, que se basa en la mecánica newtoniana, ilustra la estrecha conexión entre la mecánica newtoniana vectorial y los enfoques de la mecánica lagrangiana algebraica a la mecánica clásica.