6.4: Ecuaciones de Lagrange del Principio de Hamilton

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Ecuaciones de Lagrange del principio de acción de Hamilton

Hamilton publicó dos artículos en 1834 y 1835, anunciando un nuevo principio dinámico fundamental que subyace tanto a la mecánica lagrangiana como a la hamiltoniana. Hamilton buscaba una teoría de la óptica cuando desarrolló el Principio de Acción de Hamilton, más el campo de la mecánica hamiltoniana, los cuales juegan un papel crucial en la mecánica clásica y la física moderna. El principio de acción de Hamilton afirma que “los sistemas dinámicos siguen caminos que minimizan la integral de tiempo del lagrangiano”. Es decir, la acción funcional\(S\)

\[S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf{q, \dot{q},}t)dt\]

tiene un valor mínimo para la trayectoria correcta de movimiento. El principio de acción de Hamilton se puede escribir en términos de un desplazamiento virtual infinitossimal\(\delta ,\) como

\[\delta S=\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt=0\]

Por lo tanto, el cálculo variacional implica que un sistema de coordenadas generalizadas\(s\) independientes debe satisfacer las ecuaciones básicas de Lagrange-Euler\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial L}{ \partial q_{j}}=0\]

Tenga en cuenta que para\(Q_j^{EX} = 0\), esto es lo mismo\((6.3.28)\) que la ecuación que se derivó usando el Principio de d'Alembert.

Esta discusión ha demostrado que la ecuación diferencial variacional de Euler subyace tanto en el Principio de Alembert variacional diferencial como en el Principio de Acción de Hamilton integral más fundamental. Como se discutió en el capítulo\(9.2\), el Principio de Acción Estacionaria de Hamilton agrega una nueva dimensión fundamental a la mecánica clásica que conduce a la derivación de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana. Es decir, tanto el Principio de Acción de Hamilton, como el Principio de D'Alembert, se pueden utilizar para derivar la mecánica lagrangiana que conduce a las ecuaciones de Lagrange más generales que son aplicables tanto a restricciones holonómicas como no holonómicas, así como a sistemas conservadores y no conservadores. Además, Chapter\(6.2\) presentó un argumento de plausibilidad que demuestra que la mecánica lagrangiana puede justificarse con base en la mecánica newtoniana. El Principio de Acción de Hamilton, y el Principio de D'Alembert, se pueden expresar en términos de coordenadas generalizadas que tienen un alcance mucho más amplio que las ecuaciones de movimiento implícitas usando la mecánica newtoniana.