6.5: Sistemas restringidos

El movimiento para sistemas sujetos a restricciones es difícil de calcular usando mecánica newtoniana porque todas las fuerzas de restricción desconocidas deben incluirse explícitamente con las fuerzas activas para determinar las ecuaciones de movimiento. La mecánica lagrangiana evita estas dificultades al permitir la selección de coordenadas generalizadas independientes que incorporan el movimiento correlacionado inducido por las fuerzas de restricción. Esto permite que las fuerzas de restricción que actúan sobre el sistema sean ignoradas al reducir el sistema a un conjunto mínimo de coordenadas generalizadas. Las fuerzas de restricción holonómicas se pueden determinar utilizando el enfoque multiplicador de Lagrange, o todas las fuerzas de restricción se pueden determinar incluyéndolas como fuerzas generalizadas, como se describe a continuación.

Elección de coordenadas generalizadas

Como se discutió en el capítulo\(5.8\), la flexibilidad y libertad para la selección de coordenadas generalizadas es una ventaja considerable de la mecánica lagrangiana cuando se manejan sistemas restringidos. Las coordenadas generalizadas pueden ser cualquier conjunto de variables independientes que especifican completamente la acción escalar funcional, ecuación\((6.4.1)\). No se requiere que las coordenadas generalizadas sean ortogonales como se requiere cuando se utiliza el enfoque vectorial newtoniano. El secreto para usar coordenadas generalizadas es seleccionar coordenadas que sean perpendiculares a las fuerzas de restricción para que las fuerzas de restricción no funcionen. Además, si las restricciones son rígidas, entonces las fuerzas de restricción no funcionan en la dirección de la fuerza de restricción. Como consecuencia, las fuerzas de restricción no contribuyen a la integral de acción y así el\(\sum_{i}^{n}\mathbf{f}_{i}^{C}\cdot \delta \mathbf{r}_{i}\) término en ecuación\((6.3.2)\) puede omitirse de la integral de acción. Las coordenadas generalizadas permiten reducir el número de incógnitas\(s=n-m\) desde\(n\) que el sistema tiene restricciones\(m\) holonómicas. Además, las coordenadas generalizadas facilitan el uso de los multiplicadores Lagrange, y las fuerzas generalizadas, enfoques para determinar las fuerzas de restricción.

Conjunto mínimo de coordenadas generalizadas

El conjunto de coordenadas\(n\) generalizadas\(q_{i}\) se utiliza para describir el movimiento del sistema. No se han impuesto restricciones sobre la naturaleza de las restricciones salvo que sean inútiles para un desplazamiento virtual. Si las\(m\) restricciones son holonómicas, entonces es posible encontrar conjuntos de coordenadas generalizadas\(s=n-m\) independientes\(q_{j}\) que contengan las condiciones de\(m\) restricción implícitamente en las ecuaciones de transformación\[\label{6.49} \mathbf{r}_{i}=\mathbf{r}_{i}(q_{1},q_{2},q_{3}\dots ,q_{s},t)\]

Para el caso de\(s=n-m\) incógnitas, cualquier desplazamiento virtual\(\delta q_{j}\) es independiente de\(\delta q_{k}\), por lo tanto, la única manera de\((6.3.27)\) sostener es que el término entre paréntesis desaparezca por cada valor de\(j\), es decir

\[\label{6.50} \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{ \partial L}{\partial q_{j}}\right\} =Q_{j}^{EX}\]donde\(j=1,2,3,..\)\(s.\) Estas son las ecuaciones de Lagrange para el conjunto mínimo de coordenadas generalizadas\(s\) independientes.

Si todas las fuerzas generalizadas son conservadoras más independientes de la velocidad, y están incluidas en el potencial\(U,\) y\(Q_{j}^{EX}=0\), entonces\ ref {6.50} simplifica a

\[\label{6.51} \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} =0\]

Esta es la ecuación diferencial de Euler, derivada anteriormente usando el cálculo de variaciones. De este modo, el Principio de D'alembert conduce a una solución que minimiza la integral de acción\(\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt=0\) como lo establece el Principio de Hamilton.

Enfoque de multiplicadores de Lagrange

\((6.3.27)\)Sumas de ecuaciones sobre todas las\(n\) coordenadas para\(N\) partículas, proporcionando\(n\) ecuaciones de movimiento. Si las\(m\) restricciones son holonómicas pueden ser expresadas por ecuaciones\(m\) algebraicas de restricción

\[\label{6.52} g_{k}(q_{1},q_{2},..q_{n},t)=0\]

donde las restricciones\(k=1,2,3,\dots m.\) cinemáticas pueden expresarse en términos de los desplazamientos infinitossimales de la forma

\[\label{6.53} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)dq_{j}+\frac{\partial g_{k}}{\partial t}dt=0\]

donde\(k=1,2,3,\dots m\),\(j=1,2,3,\dots n\), y donde las\(\frac{\partial g_{k}}{ \partial q_{j}}\), y\(\frac{\partial g_{k}}{\partial t}\) son funciones de las coordenadas generalizadas\(q_{j}\), descritas por el vector\(\mathbf{q,}\) que se derivan de las ecuaciones de restricción. Como se discute en el capítulo\(5.7\), si\ ref {6.53} representa el diferencial total de una función, entonces se puede integrar para dar una relación holonómica de la forma de Ecuación\ ref {6.52}. Sin embargo, si\ ref {6.53} no es el diferencial total, entonces se puede integrar sólo después de haber resuelto el problema completo. Si\(\frac{\partial g_{k}}{\partial t}=0\) entonces la\(k^{th}\) restricción es escleronómica.

La discusión de los multiplicadores Lagrange en el capítulo\(5.9.1\), mostró que, para los desplazamientos virtuales\(\delta q_{j},\) la correlación de las coordenadas generalizadas, debido a las fuerzas de restricción, se puede tomar en cuenta multiplicando\ ref {6.53} por multiplicadores Lagrange desconocidos\(\lambda _{k}\) y sumando sobre todos \(m\)restricciones. Las fuerzas generalizadas pueden dividirse en un término multiplicador de Lagrange más una fuerza restante. Eso es

\[\label{6.54} Q_{j}^{EX}=\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k} \frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC}\]

ya que por definición\(\delta t=0\) para desplazamientos virtuales.

Capítulo\(5.9.1\) mostró que las fuerzas holonómicas de restricción pueden ser tomadas en cuenta introduciendo el enfoque de multiplicadores indeterminados Lagrange, lo que equivale a definir un lagrangiano extendido\(L^{\prime }(\mathbf{q,\dot{ q},\lambda ,}t)\) donde

\[\label{6.55} L^{\prime }(\mathbf{q,\dot{q},\lambda ,}t)=L(\mathbf{q,\dot{q},} t)+\sum_{k=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)\]

Encontrar el extremo para el Lagrangiano extendido\(L^{\prime }(\mathbf{q,\dot{ q},\lambda ,}t)\) usando\((6.4.2)\) da

\[\label{6.56} \sum_{j}^{n}\left[ \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} -\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q} ,t)-Q_{j}^{EXC}\right] \delta q_{j}=0\]

donde\(Q_{j}^{EXC}\) está la parte restante de la fuerza generalizada\(Q_{j}\) después de restar tanto la parte de la fuerza absorbida en la energía potencial\(U\), que está enterrada en el Lagrangiano\(L\), como las fuerzas de restricción holonómicas que se incluyen en los términos del multiplicador de Lagrange \(\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q} ,t)\). Los multiplicadores\(m\) Lagrange se\(\lambda _{k}\) pueden elegir arbitrariamente en\ ref {6.56}. Utilizando la libre elección de los multiplicadores\(m\) Lagrange\(\lambda _{k}\) permite que se determinen de tal manera que los coeficientes de los primeros\(m\) infinitossimales, es decir, los corchetes desaparecen. Por lo tanto, la expresión en el corchete debe desaparecer por cada valor de\(\ 1\leq j\leq m\). Así se deduce que

\[\label{6.57} \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} -\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{ \partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)-Q_{j}^{EXC}=0\]

cuando\(j=1,2,..m.\) Así\ ref {6.56} se reduce a una suma sobre las coordenadas restantes entre\(m+1\leq j\leq n\)

\[\label{6.58} \sum_{j=m+1}^{n}\left[ \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} -\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q} ,t)-Q_{j}^{EXC}\right] \delta q_{j}=0\]

En la Ecuación\ ref {6.58} los\(s=n-m\) infinitossimales se\(\delta q_{j}\) pueden elegir libremente ya que los\(s=n-m\) grados de libertad son independientes. Por lo tanto, la expresión en el corchete debe desaparecer por cada valor de\(m+1\leq j\leq n\). Así se deduce que

\[\label{6.59} \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} -\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{ \partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)-Q_{j}^{EXC}=0\]

donde\(j=m+1,m+2,..n.\) Combinando ecuaciones\ ref {6.57} y\ ref {6.59} luego da la importante relación general que para\(1\leq j\leq n\)\[\label{6.60} \left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} =\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{ \partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC}\]

Para resumir, el enfoque multiplicador Lagrange\ ref {6.60} resuelve automáticamente las\(n\) ecuaciones más las ecuaciones\(m\) holonómicas de restricción, lo que determina las\(n+m\) incógnitas, es decir, las\(n\) coordenadas más las\(m\) fuerzas de restricción. La belleza de los multiplicadores Lagrange es que todas\(n\) las variables, más las fuerzas de\(m\) restricción, se encuentran simultáneamente utilizando el cálculo de variaciones para determinar el extremo para el lagrangiano expandido\(L^{\prime }(\mathbf{q, \dot{q},\lambda ,}t)\).

Enfoque de fuerzas generalizadas

Los dos términos de la derecha en\ ref {6.60} pueden entenderse como aquellas fuerzas que actúan sobre el sistema que no son absorbidas en el\(U\) componente potencial escalar del lagrangiano\(L\). Los términos\(\sum_{k=1}^{m} \lambda _{k} \frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)\) del multiplicador de Lagrange explican las fuerzas holonómicas de restricción que no están incluidas en el potencial conservador ni en las fuerzas generalizadas\(Q_{j}^{EXC}\). La fuerza generalizada

\[\label{6.61}Q_{j}^{EXC}=\sum_{i}^{n}\mathbf{F}_{i}^{A}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_{i} }{\partial q_{j}} \]

es la suma de los componentes en la\(q_{j}\) dirección para todas las fuerzas externas que no han sido tomadas en cuenta por el potencial escalar o los multiplicadores Lagrange. Por lo tanto, la fuerza generalizada no conservadora\(Q_{j}^{EXC}\) contiene fuerzas de restricción no holonómicas, incluidas las fuerzas disipativas como el arrastre o la fricción, que no se incluyen\(U,\) ni se utilizan en los términos del multiplicador de Lagrange para dar cuenta de las fuerzas de restricción holonómicas.

El concepto de fuerzas generalizadas se ilustra en el caso de los sistemas de coordenadas esféricas. La tabla adjunta da los elementos de desplazamiento\(\delta q_{i}\), (tomados de la tabla\(C4\)) y la fuerza generalizada para las tres coordenadas. Tenga en cuenta que\(Q_{i}\) tiene las dimensiones de fuerza y\(Q_{i}.\delta q_{i}\) tiene las unidades de energía. Por el contrario, la ecuación\((6.3.13)\) da eso\(Q_{\theta }=F_{\theta }r\) y\(Q_{\phi }=F_{\phi }r\) cuáles tienen las dimensiones de torque. Sin embargo,\(Q_{\theta }\delta \theta\) y\(Q_{\phi }\delta \phi\) ambos tienen las dimensiones de energía como se requiere en la ecuación\((6.3.13)\). Esto ilustra que las unidades utilizadas para las fuerzas generalizadas dependen de las unidades de la coordenada generalizada correspondiente.

Vectores unitarios	\(\delta q_{i}\)	\(Q_{i}\)	\(Q_{i}\cdot \delta q_{i}\)
\(\hat{r}\)	\ (\ delta q_ {i}\) ">\(\mathbf{\hat{r}}dr\)	\ (Q_ {i}\) ">\(\mathbf{\hat{r}}F_{r}\)	\ (Q_ {i}\ cdot\ delta q_ {i}\) ">\(F_{r}dr\)
\(\mathbf{\hat{\theta}}\)	\ (\ delta q_ {i}\) ">\(\mathbf{\hat{\theta}}rd\theta\)	\ (Q_ {i}\) ">\(\mathbf{\hat{ \theta}}F_{\theta }r\)	\ (Q_ {i}\ cdot\ delta q_ {i}\) ">\(F_{\theta }rd\theta\)
\(\mathbf{\hat{\phi}}\)	\ (\ delta q_ {i}\) ">\(\mathbf{\hat{\phi}}r\sin \theta d\phi\)	\ (Q_ {i}\) ">\(\mathbf{ \hat{\phi}}F_{\phi }r\sin \theta\)	\ (Q_ {i}\ cdot\ delta q_ {i}\) ">\(F_{\phi }r\sin \theta d\phi\)