7.1: Introducción a las simetrías, la invarianza y el hamiltoniano

La\(7\) discusión capitular de la dinámica lagrangiana ilustra el poder de la mecánica lagrangiana para derivar las ecuaciones de movimiento. En contraste con la mecánica newtoniana, que se expresa en términos de vectores de fuerza que actúan sobre un sistema, el método Lagrangiano, basado en el Principio de d'Alembert o el Principio de Hamilton, se expresa en términos de la cinética escalar y las energías potenciales del sistema. El enfoque lagrangiano es una alternativa sofisticada a las leyes del movimiento de Newton, que proporciona una derivación más simple de las ecuaciones de movimiento que permite ignorar las fuerzas de restricción. Además, el uso de multiplicadores Lagrange o fuerzas generalizadas permite al enfoque lagrangiano determinar las fuerzas de restricción cuando estas fuerzas son de interés. Las ecuaciones de movimiento, derivadas ya sea de las leyes de Newton o de la dinámica lagrangiana, pueden ser no triviales de resolver matemáticamente. Es necesario integrar ecuaciones diferenciales de segundo orden, que para\(n\) grados de libertad, implican\(2n\) constantes de integración.

Capítulo\(7\) explorará la notable conexión entre la simetría y la invarianza de un sistema en transformación, y las leyes de conservación relacionadas que implican la existencia de constantes de movimiento. Incluso cuando las ecuaciones de movimiento no se pueden resolver fácilmente, es posible derivar principios físicos importantes con respecto a las integrales de movimiento de primer orden del sistema directamente a partir de la ecuación de Lagrange, así como para dilucidar las simetrías subyacentes más la invarianza. Esta propiedad está contenida en el teorema de Noether que establece que las leyes de conservación están asociadas con simetrías diferenciables de un sistema físico.