7: Simetrías, invarianza y el hamiltoniano
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- El capítulo 7 explorará la notable conexión entre la simetría y la invarianza de un sistema en transformación, y las leyes de conservación relacionadas que implican la existencia de constantes de movimiento.
- 7.2: Impulso Generalizado
- Introducir impulso generalizado.
- 7.3: Transformaciones invariantes y teorema de Noether
- Por cada simetría del lagrangiano hay una cantidad conservada.
- 7.4: Invarianza rotacional y conservación del momento angular
- El Teorema de Noether ilustra este resultado general que se puede afirmar como, si el Lagrangiano es rotacionalmente invariante alrededor de algún eje, entonces se conserva la componente del momento angular a lo largo de ese eje. También esto es cierto para el caso más general donde el lagrangiano es invariante a la rotación alrededor de cualquier eje, lo que lleva a la conservación del momento angular total.
- 7.5: Coordenadas cíclicas
- Una coordenada cíclica es aquella que no aparece explícitamente en el Lagrangiano.
- 7.6: Energía cinética en coordenadas generalizadas
- La aplicación del teorema de Noether a la conservación de energía requiere que la energía cinética se exprese en coordenadas generalizadas.
- 7.8: Teorema de la energía generalizada
- La energía hamiltoniana y generalizada son constantes de movimiento si la lagrangiana es una constante de movimiento y las fuerzas externas no potenciales son cero.
- 7.9: Energía generalizada y energía total
- Leyes de conservación.
- 7.10: Invarianza hamiltoniana
- Anteriormente, se abordaron dos características importantes e independientes del hamiltoniano: a) cuando H se conserva, y b) cuando H es igual a la energía mecánica total. Estos importantes resultados se resumen a continuación con una discusión de los supuestos hechos al derivar el hamiltoniano, así como las implicaciones.
- 7.11: Hamiltoniano para Coordenadas Cíclicas
- Constante de movimiento.
- 7.12: Simetrías e Invarianza
- Simetrías e invarianzas en la mecánica clásica.
Miniaturas: Amalie Emmy Noether fue una matemática alemana conocida por sus contribuciones emblemáticas al álgebra abstracta y a la física teórica. Invariablemente utilizó el nombre de “Emmy Noether” en su vida y publicaciones. Fue descrita por Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl y Norbert Wiener como la mujer más importante en la historia de las matemáticas. Como una de las principales matemáticas de su tiempo, desarrolló las teorías de anillos, campos y álgebras. En física, el teorema de Noether explica la conexión entre la simetría y las leyes de conservación.