7.4: Invarianza rotacional y conservación del momento angular

Los argumentos, utilizados anteriormente, se aplican igualmente bien a los momentos conjugados\( p_{\theta }\) y\(\theta\) para la rotación alrededor de cualquier eje. La ecuación de Lagrange es

\[\left\{ \frac{d}{dt}p_{\theta }-\frac{\partial L}{\partial \theta }\right\} =\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial \theta }(\mathbf{q} ,t)+Q_{\theta }^{EXC} \label{7.14}\]

Si ninguna restricción o pares generalizados actúan sobre el sistema, entonces el lado derecho de la Ecuación\ ref {7.14} es cero. Además si el lagrangiano no es una función explícita de\(\theta ,\) entonces\(\frac{\partial L}{\partial \theta }=0,\) y asumiendo que la restricción más los pares generalizados son cero, entonces\(p_{\theta }\) es una constante de movimiento.

El Teorema de Noether ilustra este resultado general que se puede afirmar como, si el Lagrangiano es rotacionalmente invariante alrededor de algún eje, entonces se conserva la componente del momento angular a lo largo de ese eje. También esto es cierto para el caso más general donde el lagrangiano es invariante a la rotación alrededor de cualquier eje, lo que lleva a la conservación del momento angular total.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Conservation of angular momentum for rotational invariance

Figura\(\PageIndex{1}\): Rotación infinitesimal

El resultado del teorema de Noether para la invarianza rotacional alrededor de un eje también se puede derivar usando coordenadas cartesianas como se muestra a continuación. Como se discute en el apéndice\(19.4\), es necesario limitar la discusión de rotación a ángulos de rotación infinitossimales para representar la rotación por un vector. Considera una rotación infinitossimal\(\delta \theta\) alrededor de algún eje, que es un vector. Como se ilustra en la figura adyacente, esto se puede expresar como

\[\delta \mathbf{r}=\delta \mathbf{\theta }\times \mathbf{r} \nonumber\]

Los vectores de velocidad también cambian en la rotación del sistema obedeciendo la ecuación de transformación que es común a todos los vectores, es decir,

\[\delta \mathbf{\dot{r}}=\delta \mathbf{\theta }\times \mathbf{\dot{r}}\nonumber\]

Si el lagrangiano no se ve afectado por la orientación del sistema, es decir, es rotacionalmente invariante, entonces se puede demostrar que el momento angular se conserva. Por ejemplo, considere que el lagrangiano es invariante a la rotación alrededor de algún eje\(q_{i}\). Dado que el lagrangiano es una función

\[L=L(q_{i},\dot{q}_{i};t)\nonumber\]

entonces la expresión de que el lagrangiano no cambia debido a una rotación infinitesimal\(\delta \theta\) alrededor de este eje se puede expresar como

\[\delta L=\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial x_{i}}\delta x_{i}+\sum_{i}\frac{ \partial L}{\partial \dot{x}_{i}}\delta \dot{x}_{i}=0 \tag{$A$} \label{a1}\]

donde se han utilizado coordenadas cartesianas.

Usando el impulso generalizado

\[\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}=p_{i}\nonumber\]

entonces, la ecuación de Lagrange da

\[\frac{d}{dt}p_{i}-\frac{\partial L}{\partial x_{i}}=0\nonumber\]

es decir

\[\dot{p}_{i}=\frac{\partial L}{\partial x_{i}}\nonumber\]

Insertar esto en la ecuación\ ref {a1} da

\[\delta L=\sum_{i}^{3}\dot{p}\delta x_{i}+\sum_{i}^{3}p_{i}\delta \dot{x} _{i}=0\nonumber\]

Esto es equivalente a los productos escalares

\[\mathbf{\dot{p}}\cdot \delta \mathbf{r}+\mathbf{p}\cdot \delta \mathbf{\dot{r }}=0\nonumber\]

Para una rotación infinitossimal\(\delta \theta ,\) entonces\( \delta r=\delta \theta \times r\,\) y\(\delta \dot{r}=\delta \theta \times \dot{r}\). Por lo tanto

\[\mathbf{\dot{p}}\cdot \left( \delta \mathbf{\theta }\times \mathbf{r}\right) +\mathbf{p}\cdot \left( \delta \mathbf{\theta }\times \mathbf{\dot{r}} \right) =0\nonumber\]

El orden cíclico se puede permutar dando

\[\begin{aligned} \delta \mathbf{\theta }\cdot \left( \mathbf{r}\times \mathbf{\dot{p}}\right) +\delta \mathbf{\theta }\cdot \left( \mathbf{\dot{r}}\times \mathbf{p} \right) &=&0 \\ \delta \mathbf{\theta }\cdot \left[ \left( \mathbf{r}\times \mathbf{\dot{p}} \right) +\left( \mathbf{\dot{r}}\times \mathbf{p}\right) \right] &=&0 \\ \delta \mathbf{\theta }\cdot \frac{d}{dt}\left( \mathbf{r}\times \mathbf{p} \right) &=&0\end{aligned}\]

Debido a que el ángulo infinitossimal\(\delta \theta\) es arbitrario, entonces la derivada del tiempo

\[\frac{d}{dt}\left( \mathbf{r}\times \mathbf{p}\right) =0\nonumber\]

sobre el eje de rotación\(\delta \theta .\) Pero el corchete\(\left( \mathbf{r}\times \mathbf{p}\right)\) es igual al momento angular. Es decir;

\[\text{Angular momentum = }\left( \mathbf{r}\times \mathbf{p}\right) =\text{ constant}\nonumber\]

Esto demuestra el teorema de Noether de que el momento angular alrededor de cualquier eje se conserva si el Lagrangiano es rotacionalmente invariante alrededor de ese eje

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Diatomic molecules and axially-symmetric nuclei

Un ejemplo interesante del teorema de Noether se aplica a moléculas diatómicas como\(H_{2},N_{2},F_{2},O_{2},Cl_{2}\) y\(Br_{2}\). El campo eléctrico producido por los dos núcleos cargados de la molécula diatómica tiene simetría cilíndrica alrededor del eje a través de los dos núcleos. Los electrones están ligados a esta disposición de mancuernas de las dos cargas nucleares que pueden estar rotando y vibrando en el espacio libre. Suponiendo que no hay pares externos que actúen sobre la molécula diatómica en el espacio libre, entonces el momento angular alrededor de cualquier eje fijo en el espacio libre debe conservarse de acuerdo con el teorema de Noether. Si no se aplican pares externos, entonces se conserva el componente del momento angular alrededor de cualquier eje fijo, es decir, se conserva el momento angular total. Lo que es especialmente interesante es que dado que el potencial electrostático, y por lo tanto el lagrangiano, de la molécula diatómica tiene simetría cilíndrica\( \frac{\partial L}{\partial \phi }=0\), es decir, entonces el componente del momento angular con respecto a este eje de simetría también se conserva independientemente de cómo la molécula diatómica gira o vibra en el espacio libre. Es decir, se ha identificado una simetría adicional que conduce a una ley de conservación adicional que aplica al momento angular.

Un ejemplo del teorema de Noether es en la física nuclear donde algunos núcleos tienen una forma esferoidal similar a una pelota de fútbol americano o una pelota de rugby. Esta forma esferoidal tiene un eje de simetría a lo largo del eje largo. El lagrangiano es rotacionalmente invariante alrededor del eje de simetría, lo que resulta en que el momento angular alrededor del eje de simetría se conserva además de la conservación del momento angular total.