7.6: Energía cinética en coordenadas generalizadas

La aplicación del teorema de Noether a la conservación de energía requiere que la energía cinética se exprese en coordenadas generalizadas. En términos de coordenadas rectangulares fijas, la energía cinética para\(N\) cuerpos, cada uno con tres grados de libertad, se expresa como

\[T=\frac{1}{2}\sum_{\alpha =1}^{N}\sum_{i=1}^{3}m_{\alpha }\dot{x}_{\alpha ,i}^{2}\label{7.17}\]

Estos pueden expresarse en términos de coordenadas generalizadas como\(x_{\alpha ,i}=x_{\alpha ,i}(q_{j},t)\) y en términos de velocidades generalizadas

\[\dot{x}_{\alpha ,i}=\sum_{j=1}^{s}\frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_{j}}\dot{q}_{j}+\frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial t}\]Tomar el cuadrado de\(\dot{x}_{\alpha ,i}\) e insertar en la relación de energía cinética da

\[T(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)=\sum_{\alpha }\sum_{i,j,k}\frac{1}{2} m_{\alpha }\frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_{k}}\dot{q}_{j}\dot{q}_{k}+\sum_{\alpha }\sum_{i,j}m_{\alpha }\frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_{j}}\frac{ \partial x_{\alpha ,i}}{\partial t}\dot{q}_{j}+\sum_{\alpha }\sum_{i}\frac{1 }{2}m_{\alpha }\left( \frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial t}\right) ^{2}\]Esto se puede abreviar como

\[T(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)=T_{2}(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)+T_{1}( \mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)+T_{0}(\mathbf{q},t)\]

donde

\[\begin{align} \label{7.21} T_{2}(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) &=&\sum_{\alpha }\sum_{i,j,k}\frac{1}{2} m_{\alpha }\frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_{k}}\dot{q}_{j}\dot{q}_{k}=\sum_{j,k}a_{jk}\dot{q} _{j}\dot{q}_{k} \\ T_{1}(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) &=&\sum_{\alpha }\sum_{i,j}m_{\alpha } \frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial x_{\alpha ,i}}{ \partial t}\dot{q}_{j}=\sum_{j,k}b_{j}\dot{q}_{j} \\ T_{0}(\mathbf{q},t) &=&\sum_{\alpha }\sum_{i}\frac{1}{2}m_{\alpha }\left( \frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial t}\right) ^{2}\end{align}\]

donde\[a_{jk}\equiv \sum_{\alpha =1}^{n}\sum_{i,=1}^{3}\frac{1}{2}m_{\alpha }\frac{ \partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial x_{\alpha ,i}}{ \partial q_{k}}\]

Cuando el sistema transformado es escleronómico, el tiempo no aparece explícitamente en las ecuaciones de transformación a coordenadas generalizadas desde entonces \( \frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial t}=0\). Luego\(T_{1}=T_{0}=0\), y la energía cinética se reduce a una función cuadrática homogénea de las velocidades generalizadas\[T(\mathbf{q},\mathbf{ \dot{q}},t)=T_{2}(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) \label{7.25}\]

Se puede derivar una relación útil tomando el diferencial de la Ecuación\ ref {7.21} con respecto a\(\dot{q}_{l}\). Eso es

\[\frac{\partial T_{2}(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)}{\partial \dot{q}_{l}} =\sum_{k}a_{lk}\dot{q}_{k}+\sum_{j}a_{jl}\dot{q}_{j}\]

Multiplica esto por\(\dot{q}_{l}\) y suma sobre\(l\) da

\[\sum_{l}\dot{q}_{l}\frac{\partial T_{2}(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)}{ \partial \dot{q}_{l}}=\sum_{k,l}a_{lk}\dot{q}_{k}\dot{q}_{l}+\sum_{j,l}a_{jl} \dot{q}_{j}\dot{q}_{l}=2\sum_{j,k}a_{lk}\dot{q}_{k}\dot{q}_{l}=2T_{2}\]

De igual manera, los productos de las velocidades generalizadas\(\dot{q},\) con las correspondientes derivadas de\(T_{1}\) y\(T_{0}\) dan\[\begin{align} \label{7.27} \sum_{l}\dot{q}_{l}\frac{\partial T_{2}}{\partial \dot{q}_{l}} &=&2T_{2} \\ \sum_{l}\dot{q}_{l}\frac{\partial T_{1}(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)}{ \partial \dot{q}_{l}} &=&T_{1}(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) \\ \sum_{l}\dot{q}_{l}\frac{\partial T_{0}(\mathbf{q},t)}{\partial \dot{q}_{l}} &=&0\end{align}\]

La ecuación\ ref {7.25} da que\(T=T_{2}\) cuando el sistema transformado es escleronómico, es decir,\(\frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial t}=0,\) y entonces la energía cinética es una función cuadrática de las velocidades generalizadas\( \dot{q}_{j}\). Usando la definición de la ecuación de impulso generalizado\((7.2.3)\), asumiendo\(T=T_{2}\), y que el potencial\(U\) es independiente de la velocidad, da que

\[p_{l}\equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{l}}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q} _{l}}-\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_{l}}=\frac{\partial T_{2}}{\partial \dot{q}_{l}}\]

Entonces Ecuación\ ref {7.27} reduce a la relación útil que

\[T_{2}=\frac{1}{2}\sum_{l}\dot{q}_{l}p_{l}=\frac{1}{2}\mathbf{\dot{q}\cdot p}\]

donde, para compacidad, la suma se abrevía como un producto escalar.