7.7: La energía generalizada y la función hamiltoniana

Consideremos la derivada temporal del lagrangiano, más el hecho de que el tiempo es la variable independiente en el lagrangiano. Entonces la derivada del tiempo total es

\[\frac{dL}{dt}=\sum_{j}\frac{\partial L}{\partial q_{j}}\dot{q}_{j}+\sum_{j} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\ddot{q}_{j}+\frac{\partial L}{ \partial t} \label{7.32}\]

Las ecuaciones de Lagrange para una fuerza conservadora están dadas por la ecuación\((6.5.12)\) para ser

\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial L}{ \partial q_{j}}=Q_{j}^{EXC}+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{ \partial q_{j}}(\mathbf{q},t) \label{7.33}\]

Las restricciones holonómicas se pueden explicar usando los términos del multiplicador de Lagrange, mientras que la fuerza generalizada\(Q_{j}^{EXC}\) incluye fuerzas no holonómicas u otras fuerzas no incluidas en el término de energía potencial del Lagrange, o fuerzas holonómicas no contabilizadas por los términos multiplicadores de Lagrange.

Sustituyendo la ecuación\ ref {7.33} en la ecuación\ ref {7.32} da

\[\begin{align} \frac{dL}{dt} &=&\sum_{j}\dot{q}_{j}\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}-\sum_{j}\dot{q}_{j}\left[ Q_{j}^{EXC}+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k} \frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)\right] +\sum_{j}\frac{ \partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\ddot{q}_{j}+\frac{\partial L}{\partial t} \notag \\ &=&\sum_{j}\frac{d}{dt}\left( \dot{q}_{j}\frac{\partial L}{\partial \dot{q} _{j}}\right) -\sum_{j}\dot{q}_{j}\left[ Q_{j}^{EXC}+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)\right] +\frac{ \partial L}{\partial t}\end{align}\]

Esto se puede escribir en el formulario\[\frac{d}{dt}\left[ \sum_{j}\left( \dot{q}_{j}\frac{\partial L}{\partial \dot{ q}_{j}}\right) -L\right] =\sum_{j}\dot{q}_{j}\left[ Q_{j}^{EXC}+ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t) \right] -\frac{\partial L}{\partial t}\]

Definir la Energía Generalizada de Jacobi ¹\(h(\mathbf{q},\mathbf{ \dot{q}},t)\) por

\[h(\mathbf{q},\mathbf{ \dot{q}},t)\equiv \sum_{j}\left( \dot{q}_{j}\frac{\partial L}{\partial \dot{q }_{j}}\right) -L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)\]

El impulso generalizado de Jacobi, la ecuación\(7.2.3,\) puede ser utilizada para expresar la energía generalizada\(h(q,\dot{q},t)\) en términos de las coordenadas canónicas\( \dot{q}_{i}\) y\(p_{i}\), más el tiempo\(t\). Definir la función hamiltoniana para igualar la energía generalizada expresada en términos de las variables conjugadas\((q_{j},p_{j})\), es decir,

\[H\left( \mathbf{q,p,}t\right) \equiv h(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)\equiv \sum_{j}\left( \dot{q}_{j}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -L( \mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)=\sum_{j}\left( \dot{q}_{j}p_{j}\right) -L( \mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)\]

Este hamiltoniano\(H\left( \mathbf{q,p,}t\right)\) subyace a la mecánica hamiltoniana que juega un papel profundamente importante en la mayoría de las ramas de la física como se ilustra en capítulos\(8,15\) y\(18\).

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¹ La mayoría de los libros de texto llaman a la función integral energética de\(h(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)\) Jacobi. Este libro adopta el nombre más descriptivo Energía generalizada en analogía con el uso de coordenadas generalizadas\( \mathbf{q}\) y el impulso generalizado\(\mathbf{p}\).