9.S: Principio de Acción de Hamilton (Resumen)

La publicación de Hamilton de 1834, que presenta tanto el Principio de Acción Estacionaria de Hamilton como la mecánica hamiltoniana, marcó los logros principales para el desarrollo de principios variacionales en la mecánica clásica. Una ventaja fundamental de la mecánica hamiltoniana es que utiliza las coordenadas conjugadas, más el tiempo\(\mathbf{q}\)\(\mathbf{p}\)\(t\), lo que es una ventaja considerable en la mayoría de las ramas de la física y la ingeniería. En comparación con la mecánica lagrangiana, la mecánica hamiltoniana tiene un arsenal significativamente más amplio de técnicas poderosas que pueden ser explotadas para obtener una solución analítica de las integrales del movimiento para sistemas complicados, como se describe en el capítulo\(15\). Además, la dinámica hamiltoniana proporciona un medio para determinar las variables desconocidas para las cuales la solución asume una forma soluble, y es ideal para el estudio de la física subyacente fundamental en aplicaciones a campos como la física cuántica o estadística. Como consecuencia, la mecánica hamiltoniana se ha convertido en el enfoque variacional preeminente utilizado en la física moderna.

Este capítulo ha introducido y discutido el Principio de Acción Estacionaria de Hamilton, que subyace a las elegantes y notablemente poderosas representaciones lagrangianas y hamiltonianas de la mecánica algebraica. A continuación se resumen los conceptos básicos empleados en la mecánica algebraica.

Principio de acción de Hamilton

Como se discutió en el capítulo\(9.2\), la mecánica hamiltoniana se basa en la acción funcional de Hamilton

\[S(\mathbf{q},\mathbf{p},t) = \int^{t_f}_{t_i} L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t)dt \label{9.1}\]

El principio de menor acción de Hamilton establece que

\[\delta S(\mathbf{q},\mathbf{p},t) = \delta \int^{t_f}_{t_i} L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t)dt = 0 \label{9.2}\]

Impulso generalizado\(p\)

En el capítulo\(7.2\), el impulso generalizado (canónico) se definió en términos de lo lagrangiano\(L\) para ser

\[p_i \equiv \frac{\partial L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t)}{\partial \dot{q}_i} \label{7.3}\]

Capítulo\(9.2.2\) definió el impulso generalizado en términos de la acción funcional\(S\) para ser

\[p_j \equiv \frac{\partial S(\mathbf{q}, \mathbf{p},t)}{\partial \dot{q}_j} \label{9.12}\]

Energía generalizada\(h (\mathbf{q},\dot{q},t)\)

La Energía Generalizada de Jacobi\(h (\mathbf{q},\dot{q},t)\) se definió en la Ecuación\ ref {7.37} como

\[h (\mathbf{q},\dot{q},t) \equiv \sum_j \left( \dot{q}_j \frac{\partial L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t)}{\partial \dot{q}_j} \right) - L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t) \label{7.37}\]

Función hamiltoniana\(H(\mathbf{q}, \mathbf{p},t)\)

El hamiltoniano\(H(\mathbf{q}, \mathbf{p},t)\) se definió en términos de la energía generalizada\(h (\mathbf{q},\dot{q},t)\) más el impulso generalizado. Eso es

\[H(\mathbf{q}, \mathbf{p},t) \equiv h (\mathbf{q},\dot{q},t) = \sum_j p_j\dot{q}_j - L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t) = \mathbf{p} \cdot \mathbf{\dot{q}} - L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t) \label{10.S.1}\]

donde\(\mathbf{p}\),\(\mathbf{q}\) corresponden a vectores\(n\) -dimensionales, por ejemplo\(\mathbf{q} \equiv (q_1, q_2, \dots , q_n)\) y el producto escalar\(\mathbf{p} \cdot \mathbf{\dot{q}} = \sum_i p_i \dot{q}_i\). Chapter\(8.2\) utilizó una transformación de Legendre para derivar esta relación entre las funciones hamiltoniana y lagrangiana. Nótese que mientras que el lagrangiano\(L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)\) se expresa en términos de las coordenadas\(\mathbf{q}\), más velocidades conjugadas\(\mathbf{\dot{q}}\), el hamiltoniano\(H (\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)\) se expresa en términos de las coordenadas\(\mathbf{q}\) más sus momentos conjugados\(\mathbf{p}\). Para los sistemas escleronómicos, utilizando el estándar Lagrangiano, en ecuaciones\((7.9.4)\) y\((7.6.14)\), muestra que el hamiltoniano simplifica para ser igual a la energía mecánica total, es decir,\(H = T + U\).

Teorema de la energía generalizada

Las ecuaciones de movimiento conducen al teorema de energía generalizada que establece que la dependencia del tiempo del hamiltoniano está relacionada con la dependencia del tiempo del lagrangiano.

\[\frac{dH (\mathbf{q},\mathbf{p},t)}{dt} = \sum_j \dot{q}_j \left[ Q^{EXC}_j + \sum^{m}_{k=1} \lambda_k \frac{\partial g_k}{\partial q_j} (\mathbf{q},t) \right] - \frac{\partial L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)}{\partial t} \label{7.38}\]

Tenga en cuenta que si todas las fuerzas generalizadas no potenciales y los términos del multiplicador Lagrange son cero, y si el lagrangiano no es una función explícita del tiempo, entonces el hamiltoniano es una constante de movimiento.

Ecuaciones de movimiento de Lagrange

La ecuación\ ref {6.60} da que las ecuaciones de movimiento de\(N\) Lagrange son

\[\left\{ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} \right\} = \sum^m_{k=1} \lambda_k \frac{\partial g_k}{\partial q_j} (\mathbf{q}, t) + Q^{EXC}_j \label{6.60}\]

donde\(j = 1, 2, 3, ....N\).

Ecuaciones de movimiento de Hamilton

Capítulo\(8.3\) mostró que una transformación de Legendre, más las ecuaciones de Lagrange-Euler,\((8.3.11, 8.3.12, 8.3.13)\) conducen a las ecuaciones de movimiento de Hamilton. Hamilton derivó estas ecuaciones de movimiento directamente de la acción funcional, como se muestra en el capítulo\(9.2\).

\[\dot{q}_j = \frac{\partial H (\mathbf{q},\mathbf{p},t)}{ \partial p_j} \label{8.25} \]

\[\begin{align} \dot{p}_j &=& −\frac{\partial H}{\partial q_j} (\mathbf{q},\mathbf{p},t) + \left[ \sum^m_{k=1} \lambda_k \frac{\partial g_k}{\partial q_j} (\mathbf{q}, t) + Q^{EXC}_j \right] \label{8.26}\end{align} \]

\[ \frac{\partial H (\mathbf{q},\mathbf{p},t)}{\partial t } = −\frac{\partial L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)}{\partial t} \label{8.24} \]

Observe la simetría de las dos ecuaciones canónicas de Hamilton. Las variables canónicas\(p_k\),\(q_k\) se tratan como variables canónicas independientes. Lagrange fue el primero en derivar las ecuaciones canónicas pero no las reconoció como un conjunto básico de ecuaciones de movimiento. Hamilton derivó las ecuaciones canónicas del movimiento a partir de su principio variacional fundamental y las convirtió en la base de una teoría de la dinámica de largo alcance. Las ecuaciones de Hamilton dan ecuaciones diferenciales de\(2s\) primer orden para\(p_k\),\(q_k\) para cada uno de los\(s\) grados de libertad. Las ecuaciones de Lagrange dan ecuaciones diferenciales de\(s\) segundo orden para las variables\(q_k\),\(\dot{q}_k\).

Ecuación de Hamilton-Jacobi

Hamilton utilizó el Principio de Hamilton más la ecuación\ ref {9.19} para derivar la ecuación de Hamilton-Jacobi.

\[\frac{\partial S}{\partial t} + H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)=0 \label{9.19}\]

La solución de las ecuaciones de Hamilton es trivial si el hamiltoniano es una constante de movimiento, o cuando se puede identificar un conjunto de coordenadas generalizadas para las que todas las coordenadas\(q_i\) son constantes, o son cíclicas (también llamadas coordenadas ignorables). Jacobi desarrolló el marco matemático de transformación canónica requerido para explotar la ecuación de Hamilton-Jacobi.

Principio de Hamilton aplicado usando condiciones de límite iniciales

La definición del Principio de Hamilton asume la integración entre el tiempo inicial\(t_i\) y el tiempo final\(t_f\). Un desarrollo reciente ha extendido las aplicaciones del Principio de Hamilton para aplicarlo a sistemas que se definen solo en términos de las condiciones iniciales de los límites. Este método duplica el número de grados de libertad y utiliza un acoplamiento Lagrangiano\(K (\mathbf{q}_2, \mathbf{\dot{q}}_2, \mathbf{q}_1, \mathbf{\dot{q}}_1, t)\) entre los grados de libertad correspondientes\(\mathbf{q}_1\) y\(\mathbf{q}_2\) duplicados

\[\frac{d}{dt} \frac{ \partial L}{ \partial \dot{q}^I_-} − \frac{\partial L}{\partial q^{I}_-} = \left[ \frac{\partial K}{\partial q^I_-} − \frac{d}{dt} \frac{\partial K}{\partial \dot{q}^I_-} \right]_{PL} \equiv Q^I (\mathbf{q}_1, \mathbf{\dot{q}}_1, t) \label{9.50} \]

y de donde\(Q^I\) se deriva una fuerza no conservadora generalizada\(K\).

Lagrangianos estándar

Derivación de la mecánica lagrangiana, utilizando el principio de trabajo virtual de d'Alembert, asumió que el lagrangiano está definido por la Ecuación\ ref {9.52}

\[L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t) = T(\mathbf{\dot{q}},t) − U(\mathbf{q}, t) \label{9.52}\]

Esto se utilizó en la ecuación\((9.2.1)\) para derivar la acción en términos del Lagrangiano fundamental definido por la Ecuación\ ref {9.52}. El supuesto de que la acción\(S\) es la propiedad fundamental invierte este procedimiento y ahora\((9.2.1)\) se utiliza la ecuación para derivar la lagrangiana. Es decir, la suposición de que el Principio de Hamilton es la base de la mecánica algebraica define al Lagrangiano en términos de la acción fundamental\(S\).

Lagrangianos no estándar

La flexibilidad y el poder de la mecánica lagrangiana se pueden extender a una gama más amplia de sistemas dinámicos empleando una definición extendida de lo lagrangiano que asume que la acción es la propiedad fundamental, y luego el lagrangiano se define en términos del principio de acción variacional de Hamilton usando Ecuación\ ref {9.2}. Se ilustró que el formalismo de cálculo variacional inverso puede ser utilizado para identificar lagrangianos no estándar que generan las ecuaciones de movimiento requeridas. Estos lagrangianos no estándar pueden ser muy diferentes del lagrangiano estándar y no se separan en componentes energéticos cinéticos y potenciales. Estos lagrangianos alternativos pueden ser utilizados para manejar sistemas disipativos que están más allá del rango de validez cuando se usan lagrangianos estándar. Es decir, se demostró que varios lagrangianos y hamiltonianos muy diferentes pueden ser equivalentes para generar ecuaciones útiles de movimiento de un sistema. Actualmente el uso de lagrangianos no estándar es una frontera estrecha, pero activa, de la mecánica clásica con importantes aplicaciones a la mecánica relativista.

Invarianza de calibre del estándar Lagrangiano

Se demostró que existe un continuo de lagrangianos estándar equivalentes que conducen al mismo conjunto de ecuaciones de movimiento para un sistema. Esta característica está relacionada con la invarianza de calibre en mecánica. Las siguientes transformaciones cambian el estándar lagrangiano, pero dejan inalteradas las ecuaciones de movimiento.

1. El Lagrangiano es indefinido con respecto a la adición de una constante al potencial escalar que se cancela cuando se aplican las derivadas en las ecuaciones diferenciales de Euler-Lagrange.
2. De igual manera, el lagrangiano es indefinido con respecto a la adición de una energía cinética constante.
3. El lagrangiano es indefinido con respecto a la adición de una derivada de tiempo total de la forma\(L + \frac { d } { d t } \left[ \Lambda \left( q _ { i } , t \right) \right]\) para cualquier función diferenciable\(\Lambda \left( q _ { i } t \right)\) de las coordenadas generalizadas, más tiempo, que tenga segundas derivadas continuas.

Aplicación del principio de acción de Hamilton a la mecánica

La derivación de las ecuaciones de movimiento para cualquier sistema se puede separar en un conjunto jerárquico de tres etapas tanto en sofisticación como en comprensión. Los principios variacionales se emplean durante la etapa primaria de “acción” y la etapa secundaria “Hamilton/Lagrangiana” para derivar las ecuaciones de movimiento requeridas, que luego se resuelven durante la tercera “etapa de ecuaciones de movimiento”. El principio de acción de Hamilton, es una función escalar que es la base para derivar las funciones lagrangianas y hamiltonianas. La “etapa de acción” primaria utiliza la función Acción de Hamilton,\(S = \int^{t_f}_{t_i} L (\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) dt\) para derivar los funcionales lagrangianos y hamiltonianos que se basan en la acción funcional de Hamilton y proporcionan el nivel de comprensión más fundamental y sofisticado. La segunda “etapa hamiltoniana/lagrangiana” implica el uso de los funcionales lagrangiano y hamiltoniano para derivar las ecuaciones de movimiento. La tercera “etapa de ecuaciones de movimiento” utiliza las ecuaciones derivadas de movimiento para resolver el movimiento sujeto a un conjunto dado de condiciones iniciales de límite. El enfoque de la mecánica newtoniana pasa por alto la etapa primaria de “acción”, así como la etapa secundaria “Hamiltoniana/Lagrangiana”. Es decir, la mecánica newtoniana inicia en la tercera etapa de “ecuaciones de movimiento”, que no permite explotar las considerables ventajas que brinda el uso de la acción, la lagrangiana y la hamiltoniana. La mecánica newtoniana requiere que todas las fuerzas activas sean incluidas al derivar las ecuaciones de movimiento, lo que implica tratar con cantidades vectoriales. Esto contrasta con la acción, lagrangiana y hamiltoniana, que son funcionales escalares. Tanto la etapa primaria de “acción”, como la secundaria “Lagrangia/Hamiltoniana”, explotan el poderoso arsenal de técnicas matemáticas que se han desarrollado para explotar principios variacionales.