9.4: Aplicación del principio de acción de Hamilton a la mecánica

Se requiere el conocimiento de las ecuaciones de movimiento para predecir la respuesta de un sistema a cualquier conjunto de condiciones iniciales. El principio de acción de Hamilton, que está integrado en la mecánica lagrangiana y hamiltoniana, junto con la disponibilidad de un amplio arsenal de principios y técnicas variacionales, proporciona un enfoque notablemente poderoso y amplio para derivar las ecuaciones de movimientos requeridas para determinar la respuesta del sistema.

Como se menciona en el Prólogo, la derivación de las ecuaciones de movimiento para cualquier sistema, basada en el Principio de Acción de Hamilton, se separa naturalmente en un conjunto jerárquico de tres etapas que difieren tanto en sofisticación como en comprensión, como se describe a continuación.

1. Etapa de acción: La “etapa de acción” primaria emplea la función Acción de Hamilton,\(S=\int_{t_{i}}^{t_{f}}L(\mathbf{q, \dot{q},}t\mathbf{)}dt\) para derivar los funcionales lagrangianos y hamiltonianos. Esta etapa de acción proporciona el nivel de comprensión más fundamental y sofisticado. Implica especificar todos los grados activos de libertad, así como las interacciones involucradas. Las simetrías incorporadas en esta etapa de acción primaria pueden simplificar el uso posterior de los funcionales hamiltonianos y lagrangianos.
2. Etapa hamiltonia/lagrangiana: La “etapa hamiltoniana/lagrangiana” utiliza los funcionales lagrangianos o hamiltonianos, que se derivaron en la etapa de acción, para derivar las ecuaciones de movimiento para el sistema de interés. Las simetrías, no incorporadas ya en la etapa de acción primaria, pueden incluirse en esta etapa secundaria.
3. Ecuaciones de la etapa de movimiento: La “etapa de ecuaciones de movimiento” utiliza las ecuaciones derivadas de movimiento para resolver el movimiento del sistema sujeto a un conjunto dado de condiciones iniciales de límite. Las fuerzas no conservadoras, como las fuerzas disipativas, que no se incluyeron en las etapas primaria y secundaria, pueden agregarse en las ecuaciones de la etapa de movimiento.

Lagrange omitió la etapa de acción cuando utilizó el Principio de d'Alembert para derivar la mecánica lagrangiana. El enfoque de la mecánica newtoniana omite tanto la etapa primaria de “acción”, como la etapa secundaria “Hamiltoniana/Lagrangiana”, ya que las Leyes del Movimiento de Newton especifican directamente la “etapa de ecuaciones de movimiento”. Por lo tanto, estos no explotan las considerables ventajas que brinda el uso de la acción, el lagrangiano, y el hamiltoniano. La mecánica newtoniana requiere que todas las fuerzas activas sean incluidas al derivar las ecuaciones de movimiento, lo que implica tratar con cantidades vectoriales. En la mecánica newtoniana, las simetrías deben incorporarse directamente en las ecuaciones de la etapa de movimiento, lo cual es más difícil que cuando se realiza en la etapa primaria de “acción”, o la etapa secundaria “Lagrangia/Hamiltoniana”. Las etapas de “acción” y “hamiltonia/lagrangiana” permiten el uso del poderoso arsenal de técnicas matemáticas que se han desarrollado para aplicar principios variacionales.

Hay ventajas considerables en derivar las ecuaciones de movimiento basadas en el Principio de Hamilton, en lugar de derivarlas usando la mecánica newtoniana. Es significativamente más fácil usar principios variacionales para manejar las funciones escalares, acción, lagrangiano y hamiltoniano, en lugar de comenzar en la etapa de ecuacionsof-movimiento. Por ejemplo, utilizar las tres etapas de la mecánica algebraica facilita acomodar grados adicionales de libertad, simetrías e interacciones. Las simetrías identificadas por el teorema de Noether se reconocen más fácilmente durante las etapas primaria de “acción” y secundaria “Hamiltonia/Lagrangiana” en lugar de en la etapa posterior de “ecuaciones de movimiento”. Las aproximaciones realizadas en la etapa de “acción” son más fáciles de implementar que en la etapa de “ecuaciones de movimiento”. El movimiento restringido se maneja mucho más fácilmente en las etapas primarias de “acción”, o secundarias “Hamilton/Lagrangian”, que en la etapa de ecuaciones de movimiento. Una ventaja importante de utilizar el Principio de Acción de Hamilton, es que existe una estrecha relación entre la acción en la mecánica clásica y cuántica, como se discute en los capítulos\(15\) y\(18\). Los principios algebraicos, que subyacen a la mecánica analítica, abarcan naturalmente aplicaciones a muchas ramas de la física moderna, como la mecánica relativista, el movimiento fluido y la teoría de campo.

En resumen, el uso de la única cantidad invariante fundamental, la acción, como se describió anteriormente, proporciona un marco potente y elegante, que se desarrolló primero para la mecánica clásica, pero que ahora se explota en una amplia gama de ciencia, ingeniería y economía. Una característica importante del uso del enfoque algebraico de la mecánica clásica es el tremendo arsenal de poderosas técnicas matemáticas que se han desarrollado para el uso del cálculo variacional aplicado a la mecánica lagrangiana y hamiltoniana. Algunas de estas técnicas variacionales se presentaron en capítulos\(6\),,\(7\), y\(8\)\(9\), mientras que otras se introducirán en capítulo\(15\).