10.2: Orígenes del movimiento no conservador

Los grados de libertad no conservadores implican procesos irreversibles, como la disipación, la amortiguación, y también pueden resultar del grano del curso, o ignorar el acoplamiento a grados de libertad activos. El papel no conservador de los grados de libertad activos ignorados se ilustra por el sistema de oscilador de doble armónico débilmente acoplado que se analiza a continuación. Deje que los dos osciladores armónicos tengan masas frecuencias angulares\((m_{1},m_{2}),\)\((\omega _{1},\omega _{2})\,\) desacopladas y amplitudes de oscilación\((q_{1},q_{2})\). Supongamos que la energía potencial de acoplamiento es\(U=\lambda q_{1}q_{2}.\) El Lagrangiano para este oscilador doble débilmente acoplado es

\[L(q_{1,}q_{2},\dot{q}_{1},\dot{q}_{2},t)=\frac{m_{1}}{2}\left( \dot{q} _{1}^{2}-\omega _{1}^{2}q_{1}^{2}\right) +\lambda q_{1}q_{2}+\frac{m_{2}}{2} \left( \dot{q}_{2}^{2}-\omega _{2}^{2}q_{2}^{2}\right)\]

Nótese que el lagrangiano total es conservador ya que el lagrangiano es explícitamente independiente del tiempo. Como se muestra en\(14.2,\) el capítulo la solución para las amplitudes de la oscilación para el sistema acoplado viene dada por

\[\begin{aligned} q_{1}\left( t\right) &=&D\sin \left[ \left( \frac{\omega _{1}+\omega _{2}}{2} \right) t\right] \sin \left[ \left( \frac{\omega _{1}-\omega _{2}}{2}\right) t\right] \\ q_{2}\left( t\right) &=&D\cos \left[ \left( \frac{\omega _{1}+\omega _{2}}{2} \right) t\right] \cos \left[ \left( \frac{\omega _{1}-\omega _{2}}{2}\right) t\right]\end{aligned}\]

El sistema exhibe el comportamiento común de “beats” donde los osciladores armónicos acoplados tienen una frecuencia angular que es la frecuencia promedio del oscilador\(\omega _{average}=\left( \frac{\omega _{1}+\omega _{2}}{2}\right) ,\) y las intensidades de oscilación se modulan a la frecuencia de diferencia,\(\omega _{difference}=\left( \frac{\omega _{1}-\omega _{2}}{2} \right) .\) aunque la energía total se conserva para esta conservadora , esta energía compartida fluye de un lado a otro entre los dos osciladores armónicos acoplados a la frecuencia de diferencia. Si las ecuaciones de movimiento para oscilador\(1\) ignoran el acoplamiento al movimiento del oscilador\(2\), es decir, se supone que\(q_{2}=\left\langle q_{2}\right\rangle\) se usa un valor promedio constante, entonces la intensidad\(\left\vert q_{1}\right\vert ^{2}\) y energía del primer oscilador aún se modula por el\(\left\vert \sin \left( \frac{ \omega _{1}-\omega _{2}}{2}\right) t\right\vert ^{2}\) término. Por lo tanto, la energía total para este sistema de oscilador acoplado truncado ya no se conserva debido al descuido de la energía que fluye dentro y fuera del oscilador\(1\) debido a su acoplamiento al oscilador\(2\). Es decir, la solución para el sistema truncado de oscilador no\(1\) es conservadora ya que está intercambiando energía con el segundo oscilador acoplado, pero ignorado. Este ejemplo elemental ilustra que ignorar los grados de libertad activos puede transformar un sistema conservador en un sistema no conservador, para lo cual las ecuaciones de movimiento derivadas usando el Lagrangiano truncado son incorrectas.

El ejemplo anterior ilustra la importancia de incluir todos los grados activos de libertad al derivar las ecuaciones de movimiento, con el fin de asegurar que el sistema total sea conservador. Desafortunadamente, los sistemas no conservadores debido a la disipación viscosa o friccional suelen ser el resultado de interacciones térmicas débiles con una enorme cantidad de átomos cercanos, lo que hace que la inclusión de todos estos grados de libertad sea poco práctica. A pesar de que el comportamiento detallado de tales grados disipativos de libertad puede no ser de interés directo, todos los grados activos de libertad deben incluirse al aplicar la mecánica lagrangiana o hamiltoniana.