11.4: Ecuaciones de Movimiento

Las ecuaciones de movimiento para dos cuerpos que interactúan a través de una fuerza central conservadora de dos cuerpos se pueden determinar utilizando el centro de masa Lagrangiano,\(L_{cm},\) dado por la ecuación\((11.3.3)\). Para la coordenada radial, la ecuación del operador\(\Lambda _{r}L_{cm}=0\) para la mecánica lagrangiana conduce a

\[\frac{d}{dt}\left( \mu \dot{r}\right) -\mu r\dot{\psi}^{2}+\frac{\partial U}{ \partial r}=0\]

Pero

\[\dot{\psi}=\frac{l}{\mu r^{2}}\]

por lo tanto, la ecuación radial de movimiento es

\[\mu \ddot{r}=-\frac{\partial U}{\partial r}+\frac{l^{2}}{\mu r^{3}}\]

Del mismo modo, para la coordenada angular, la ecuación del operador\(\Lambda _{\psi }L_{cm}=0\) conduce a la ecuación\((11.3.5)\). Es decir, la ecuación angular del movimiento para la magnitud de\(p_{\psi }\) es\[p_{\psi }=\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}}=\mu r^{2}\dot{\psi}=l\]

Las ecuaciones de Lagrange han dado dos ecuaciones de movimiento, una dependiente del radio\(r\) y otra del ángulo polar\(\psi\). Tenga en cuenta que la aceleración radial es solo una declaración de las leyes de movimiento de Newton para la fuerza radial\(F_{r}\) en el sistema de centro de masa de\[F_{r}=-\frac{\partial U}{\partial r}+\frac{l^{2}}{\mu r^{3}}\]

Esto se puede escribir en términos de un potencial efectivo

\[U_{eff}(r)\equiv U(r)+\frac{l^{2}}{2\mu r^{2}}\label{11.33}\]

lo que lleva a una ecuación de movimiento

\[F_{r}=\mu \ddot{r}=-\frac{\partial U_{eff}(r)}{\partial r}\label{11.34}\]

Ya que\(\frac{l^{2}}{\mu r^{3}}=\mu r\dot{\psi}^{2}\), el segundo término en la Ecuación\ ref {11.33} es la fuerza centrífuga habitual que se origina porque la variable\(r\) se encuentra en un marco de referencia no inercial, giratorio. Tenga en cuenta que la ecuación angular del movimiento es independiente de la dependencia radial de la fuerza central conservadora de dos cuerpos.

Figura\(\PageIndex{1}\): El atractivo potencial de ley inverso-cuadrado\((\frac{k}{r})\), el potencial\((\frac{l^2}{2\mu r^2})\) centrífugo y el potencial combinado de unión efectiva.

La figura\(\PageIndex{1}\) muestra, por líneas discontinuas, la dependencia radial del potencial correspondiente a la fuerza de ley cuadrada inversa atractiva, es decir\(U=-\frac{k }{r}\), y el potencial correspondiente al término centrífugo\(\frac{l^{2}}{ 2\mu r^{2}}\) correspondiente a una fuerza centrífuga repulsiva. La suma de estos dos potenciales\(U_{eff}(r)\), mostrada por la línea continua, tiene un\(U_{\min }\) valor mínimo en un cierto radio similar al manifestado por la molécula diatómica discutida en el ejemplo\((2.12.1)\).

Es notable que las ecuaciones de movimiento de seis dimensiones, para dos cuerpos que interactúan a través de una fuerza central de dos cuerpos, se han reducido a un movimiento traslacional trivial del centro de masa, más un problema unidimensional de un cuerpo dado por\ ref {11.34} en términos de la separación relativa\(r\) y un potencial efectivo\(U_{eff}(r)\).