11.5: Ecuación de Órbita Diferencial

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La ecuación de órbita diferencial relaciona la forma del movimiento orbital, en coordenadas polares planas, con la dependencia radial de la fuerza central de dos cuerpos. Una transformación de coordenadas Binet, que depende de la forma funcional de$\mathbf{F}(\mathbf{r}),$ puede simplificar la ecuación de órbita diferencial. Para la fuerza de ley de cuadrado inverso, la mejor variable transformada de Binet es la$u$ que se define como

\[u\equiv \frac{1}{r}\]

Insertar la variable$u$ transformada en la ecuación$(11.4.2)$ da

\[\dot{\psi}=\frac{lu^{2}}{\mu }\]

A partir de la definición de la nueva variable

\[\frac{dr}{dt}=-u^{-2}\frac{du}{dt}=-u^{-2}\frac{du}{d\psi }\dot{\psi}=-\frac{ l}{\mu }\frac{du}{d\psi }\]

Diferenciar de nuevo da

\[\frac{d^{2}r}{dt^{2}}=-\frac{l}{\mu }\frac{d}{dt}\left( \frac{du}{d\psi } \right) =-\left( \frac{lu}{\mu }\right) ^{2}\frac{d^{2}u}{d\psi ^{2}}\]

Sustituyendo estos en la ecuación radial de movimiento de Lagrange da

\[\frac{d^{2}u}{d\psi ^{2}}+u=-\frac{\mu }{l^{2}}\frac{1}{u^{2}}F(\frac{1}{u}) \label{11.39}\]

La ecuación de órbita diferencial de Binet se relaciona directamente$\psi$ y$r$ determina la forma general de la trayectoria orbital. Esta forma es crucial para comprender el movimiento orbital de dos cuerpos que interactúan a través de una fuerza central de dos cuerpos. Tenga en cuenta que para el caso especial de una fuerza de ley cuadrada inversa, ahí es donde$F(\frac{1}{u})=ku^{2}$, entonces el lado derecho de la Ecuación\ ref {11.39} es igual a una constante$-\frac{\mu k}{l^{2}}$ ya que el momento angular orbital es una cantidad conservada.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Central force leading to a circular orbit $r = 2R\cos \theta$

9.5.1.PNG — Figura$\PageIndex{1}$: Trayectoria circular pasando por el origen de la fuerza central.

La ecuación de órbita diferencial de Binet se puede utilizar para derivar el potencial central que conduce a la supuesta trayectoria circular de$r=2R\cos \theta$ dónde$R$ está el radio de la órbita circular. Tenga en cuenta que esta órbita circular pasa por el origen de la fuerza central cuando$r=2R\cos \theta =0$

Insertando esta trayectoria en la órbita diferencial de Binet La ecuación\ ref {11.39} da

\[\frac{1}{2R}\frac{d^{2}\left( \cos \theta \right) ^{-1}}{d\theta ^{2}}+\frac{ 1}{2R}\left( \cos \theta \right) ^{-1}=-\frac{\mu }{l^{2}}4R^{2}\left( \cos \theta \right) ^{2}F(\frac{1}{u}) \tag{$\alpha $}\]

Tenga en cuenta que el diferencial viene dado por

\[\frac{d^{2}\left( \cos \theta \right) ^{-1}}{d\theta ^{2}}=\frac{d}{d\theta } \left( \frac{\sin \theta }{\cos ^{3}\theta }\right) =\frac{2\sin ^{2}\theta }{\cos ^{3}\theta }+\frac{1}{\cos \theta }\notag\]

Insertar este diferencial en la ecuación$\alpha$ da\[\frac{2\sin ^{2}\theta }{\cos ^{3}\theta }+\frac{1}{\cos \theta }+\frac{1}{ \cos \theta }=\frac{2}{\cos ^{3}\theta }=-\frac{\mu }{l^{2}}8R^{3}\left( \cos \theta \right) ^{2}F(\frac{1}{u})\notag\]

Así, la dependencia radial de la fuerza central requerida es

\[F=-\frac{l^{2}}{8R^{3}\mu }\frac{2}{\cos ^{5}\theta }=-\frac{8R^{2}l^{2}}{ \mu }\frac{1}{r^{5}}=-\frac{k}{r^{5}}\notag\]

Esto corresponde a una fuerza central atractiva que depende de la quinta potencia en el radio inverso$\mathit{r}$. Obsérvese que este ejemplo no es realista ya que la órbita supuesta implica que las energías potenciales y cinéticas son infinitas cuando están$r\rightarrow 0$ en$\theta \rightarrow \frac{\pi }{2}$.