11.6: Hamiltoniano

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Como el centro de masa Lagrangiano no es una función explícita del tiempo, entonces

\[\frac{dH_{cm}}{dt}=\mathcal{-}\frac{\partial L_{cm}}{\partial t}=0\]

Así, el centro de masa hamiltoniano\(H_{cm}\) es una constante de movimiento. Sin embargo, dado que la transformación al centro de masa puede depender del tiempo, entonces es\(H_{cm}\neq E,\) decir, no incluye la energía total porque se ha omitido la energía cinética del movimiento del centro de masa\(H_{cm}\). Además, dado que no hay transformación involucrada, entonces

\[H_{cm}=T_{cm}+U=E_{cm}\]

Es decir, el hamiltoniano del centro de masa\(H_{cm}\) equivale a la energía total del centro de masa. El centro de masa hamiltoniano entonces se puede escribir usando el potencial efectivo\((11.4.6)\) en la forma\[H_{cm}= \frac{p_{r}^{2}}{2\mu }+\frac{p_{\theta }^{2}}{2\mu r^{2}}+U(r)=\frac{ p_{r}^{2}}{2\mu }+\frac{l^{2}}{2\mu r^{2}}+U(r)=\frac{p_{r}^{2}}{2\mu } +U_{eff}(r)=E_{cm} \label{11.42}\]

Es conveniente expresar el centro de masa hamiltoniano\(H_{cm}\) en términos de la ecuación de energía para la órbita en un campo central utilizando la variable transformada\(u=\frac{1}{r}\). Sustituyendo ecuaciones\((11.4.6)\) y\((11.5.3)\) en la Ecuación Hamiltoniana\ ref {11.42} da la ecuación de energía de la órbita\[\frac{l^{2}}{2\mu }\left[ \left( \frac{du}{d\psi }\right) ^{2}+u^{2}\right] +U\left( u^{-1}\right) =E_{cm}\]

La conservación de energía permite que el hamiltoniano sea utilizado para resolver problemas directamente. Es decir, ya que

\[H_{cm}=\frac{\mu \dot{r}^{2}}{2}+\frac{l^{2}}{2\mu r^{2}}+U(r)=E_{cm}\]

entonces

\[\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\pm \sqrt{\frac{2}{\mu }\left( E_{cm}-U-\frac{l^{2}}{ 2\mu r^{2}}\right) }\label{11.45}\]

La dependencia del tiempo se puede obtener por integración

\[t=\int \frac{\pm dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu }\left( E_{cm}-U-\frac{l^{2}}{2\mu r^{2}}\right) }}+\text{ constant}\label{11.46}\]

Una inversión de esto da la solución en la forma estándar\(r=r\left( t\right) .\) Sin embargo, es más interesante encontrar la relación entre\(r\) y\(\theta .\) De la relación\ ref {11.46} para\(\frac{dr}{dt}\) entonces

\[dt=\frac{\pm dr}{\sqrt{\frac{2}{\mu }\left( E_{cm}-U-\frac{l^{2}}{2\mu r^{2}} \right) }}\]

mientras que la ecuación\((11.4.2)\) da

\[d\psi =\frac{ldt}{\mu r^{2}}=\frac{\pm ldr}{r^{2}\sqrt{2\mu \left( E_{cm}-U- \frac{l^{2}}{2\mu r^{2}}\right) }}\]

Por lo tanto

\[\psi =\int \frac{\pm ldr}{r^{2}\sqrt{2\mu \left( E_{cm}-U-\frac{l^{2}}{2\mu r^{2}}\right) }}+\text{ constant}\label{11.49} \]

que se puede utilizar para calcular la coordenada angular. Esto da la relación entre las coordenadas radial y angular que especifica la trayectoria.

Aunque las ecuaciones\ ref {11.45} y\ ref {11.49} dan formalmente la solución, la solución real puede derivarse analíticamente solo para ciertas formas específicas de la ley de fuerza y estas soluciones difieren por interacciones atractivas versus repulsivas.