11.9: Fuerza central isotrópica, lineal, de dos cuerpos

Las órbitas cerradas ocurren para el oscilador lineal bidimensional cuando\(\frac{\omega _{x}}{\omega _{y}}\) es una fracción racional como se discute en el capítulo\(3.3\). El teorema de Bertrand afirma que el oscilador lineal, y la ley del cuadrado inverso (problema de Kepler), son las únicas fuerzas centrales de dos cuerpos que tienen órbitas cerradas, estables y de un solo valor del movimiento radial y angular acoplados. La invarianza del vector de excentricidad fue la simetría subyacente que condujo a órbitas cerradas estables de valor único para el problema de Kepler. Es interesante explorar la simetría que conduce a órbitas cerradas estables para el oscilador armónico. Por simplicidad, esta discusión restringirá la discusión a la fuerza central isotrópica, armónica, de dos cuerpos\(\omega _{x}=\omega _{y}=\omega\), donde, para lo cual la fuerza central de dos cuerpos, es lineal

\[\mathbf{F}(r)=k\mathbf{r}\label{11.98}\]

donde\(k>0\) corresponde a una fuerza repulsiva y\(k<0\) a una fuerza atractiva. Esta fuerza armónica isotrópica puede expresarse en términos de un potencial esférico\(U(r)\) donde

\[U(r)=- \frac{1}{2}kr^{2}\label{11.99}\]

Dado que se trata de una fuerza central de dos cuerpos, tanto la representación equivalente de un cuerpo, como la conservación del momento angular, son igualmente aplicables a la fuerza armónica de dos cuerpos. Como se discutió en sección\(11.3\), dado que la fuerza de dos cuerpos es central, el movimiento se limita a un plano, y así el lagrangiano puede expresarse en coordenadas polares. Además, dado que la fuerza es esféricamente simétrica, entonces se conserva el momento angular. Las soluciones orbitales son secciones cónicas como se describe en el capítulo\(11.7\). La forma de la órbita para la fuerza central armónica de dos cuerpos se puede derivar usando coordenadas polares o cartesianas como se ilustra a continuación.

Coordenadas polares

El origen de la órbita equivalente para la fuerza armónica se encontrará en el centro de una elipse, en lugar de los focos de la elipse como se encuentra para la ley cuadrada inversa. La forma de la órbita se puede definir usando una ecuación orbital diferencial de Binet que emplea la transformación

\[u^{\prime }\equiv \frac{1}{r^{2}}\label{11.100}\]

Entonces

\[\frac{du^{\prime }}{d\psi }=-\frac{2}{r^{3}}\frac{dr}{d\psi }\label{11.101}\]

La regla de la cadena da que

\[\dot{r}=\frac{dr}{d\psi }\dot{\psi}=-\frac{r^{3}}{2}\dot{\psi}\frac{ du^{\prime }}{d\psi }=-\frac{r}{2}\frac{p_{\psi }}{\mu }\frac{du^{\prime }}{ d\psi }\label{11.102}\]

Sustituir esto en la\(H_{cm},\) ecuación hamiltoniana\((11.6.3)\), da

\[\frac{1}{2}\mu \dot{r}^{2}=\frac{1}{8}\frac{p_{\psi }^{2}}{u^{\prime }\mu } \left( \frac{du^{\prime }}{d\psi }\right) ^{2}=E-\frac{p_{\psi }^{2}}{2\mu } u^{\prime }+\frac{k}{2u^{\prime }}\label{11.103}\]

Reorganizar esta ecuación da

\[\left( \frac{du^{\prime }}{d\psi }\right) ^{2}+4u^{\prime 2}-\frac{8E\mu }{ p_{\psi }^{2}}u^{\prime }=\frac{4k\mu }{p_{\psi }^{2}}\label{11.104}\]

La adición de una constante a ambos lados de la ecuación completa el cuadrado

\[\left[ \frac{d}{d\psi }\left( u^{\prime }-\frac{E\mu }{p_{\psi }^{2}}\right) \right] ^{2}+4\left( u^{\prime }-\frac{E\mu }{p_{\psi }^{2}}\right) ^{2}=+ \frac{4k\mu }{p_{\psi }^{2}}+4\left( \frac{E\mu }{p_{\psi }^{2}}\right) ^{2}\label{11.105}\]

El lado derecho de la Ecuación\ ref {11.105} es una constante. La solución de\ ref {11.105} debe ser una función sinusoidal o coseno con ángulo polar\(\psi =\omega t\). Eso es

\[\left( u^{\prime }-\frac{E\mu }{p_{\psi }^{2}}\right) =\left[ \left( \frac{ E\mu }{p_{\psi }^{2}}\right) ^{2}+\frac{k\mu }{p_{\psi }^{2}}\right] ^{\frac{ 1}{2}}\cos 2\left( \psi -\psi _{0}\right)\label{11.106}\]

Es decir,

\[u^{\prime }=\frac{1}{r^{2}}=\frac{E\mu }{p_{\psi }^{2}}\left( 1+\left( 1+ \frac{kp_{\psi }^{2}}{E^{2}\mu }\right) ^{\frac{1}{2}}\cos 2(\psi -\psi _{0})\right)\label{11.107}\]La ecuación\ ref {11.107} corresponde a una órbita cerrada centrada en el origen de la órbita elíptica como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\). La excentricidad\(\epsilon\) de esta órbita cerrada viene dada por

\[\left( 1+\frac{kp_{\psi }^{2}}{E^{2}\mu }\right) ^{\frac{1}{2}}=\frac{ \epsilon ^{2}}{2-\epsilon ^{2}}\label{11.108}\]

Ecuaciones\((11.8.15)\),\((11.8.16)\) dan que la excentricidad está relacionada con los\(b\) ejes semi-mayor\(a\) y semi-menor por

\[\epsilon ^{2}=1-\left( \frac{b}{a}\right) ^{2}\label{11.109}\]

Tenga en cuenta que para una fuerza repulsiva\(k>0\), luego\(\epsilon \geq 1\) conduce a órbitas hiperbólicas o parabólicas no enlazadas centradas en el origen. Una fuerza atractiva,\(k<0,\) permite encuadernar órbitas elípticas, así como parabólicas e hiperbólicas no unidas.

Figura\(\PageIndex{1}\): Trayectoria elíptica equivalente para dos cuerpos que interactúan a través de la fuerza lineal central para la excentricidad\(\epsilon = 0.75\). La gráfica izquierda muestra la trayectoria espacial elíptica donde se supone que el semieje mayor está en el\(x\) eje -y el momento angular\(\mathbf{L} =l\hat{\mathbf{z}}\), está fuera de la página. El centro de fuerza está en el centro de la elipse. La gráfica derecha es una hodografía del momento lineal\(\mathbf{p}\) para esta trayectoria.

Coordenadas cartesianas

El oscilador armónico isotrópico, expresado en términos de coordenadas cartesianas en el\((x,y)\) plano de la órbita, es separable porque no existe un término de acoplamiento directo entre el\(x\) y el\(y\) movimiento. Es decir, el centro de masa Lagrangiano en el\((x,y)\) plano se separa en movimiento independiente para\(x\) y\(y\).

\[L=\frac{1}{2}\mu \mathbf{\dot{r}\cdot \dot{r}}+\frac{1}{2}k\mathbf{r\cdot r}= \left[ \frac{1}{2}\mu \dot{x}^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}\right] +\left[ \frac{1}{2 }\mu \dot{y}^{2}+\frac{1}{2}ky^{2}\right]\label{11.110}\]

Las soluciones para las coordenadas independientes, y su momento correspondiente, son

\[\begin{align} \label{11.111}\mathbf{r} &=&\mathbf{\hat{\imath}}A\cos \left( \omega t+\alpha \right) + \mathbf{\hat{\jmath}}B\cos \left( \omega t+\beta \right) \\ \label{11.112}\mathbf{p} &\mathbf{=}&\mathbf{-\hat{\imath}}A\mu \omega \sin \left( \omega t+\alpha \right) -\mathbf{\hat{\jmath}}B\mu \omega \sin \left( \omega t+\beta \right)\end{align}\]

donde\(\omega =\sqrt{\frac{k}{\mu }}\). Por lo tanto

\[\begin{align}\label{11.113} r^{2} &=&x^{2}+y^{2}=\left[ A\cos \left( \omega t+\alpha \right) \right] ^{2}+\left[ B\cos \left( \omega t+\beta \right) \right] ^{2} \\ &=&\frac{A^{2}+B^{2}}{2}+\frac{\sqrt{A^{4}+B^{4}+2AB^{2}\cos \left( \alpha -\beta \right) }}{2}\cos \left( 2\omega t+\psi _{0}\right) \label{11.114}\end{align}\]

donde

\[\cos \psi _{0}=\frac{A^{2}\cos \alpha +B^{2}\cos \beta }{\sqrt{ A^{4}+B^{4}+2AB^{2}\cos \left( \alpha -\beta \right) }}\label{11.115}\]

Para una diferencia de fase,\(\alpha -\beta =\pm \frac{\pi }{2},\) esta ecuación describe una elipse centrada en el origen que concuerda con la Ecuación\ ref {11.107} que se derivó usando coordenadas polares.

Los dos modos normales del oscilador armónico isotrópico son degenerados, por lo tanto\(x,y\) son modos normales igualmente buenos con dos energías totales correspondientes\(E_{1},E_{2}\), mientras que el momento angular correspondiente\(J\) apunta en la\(z\) dirección. \[\begin{align} E_{1} &=&\frac{p_{x}^{2}}{2\mu }+\frac{1}{2}kx^{2} \label{11.116}\\ E_{2} &=&\frac{p_{y}^{2}}{2\mu }+\frac{1}{2}ky^{2} \\ J &=&\mu \left( xp_{y}-yp_{x}\right)\label{11.117}\end{align}\]

La figura\(\PageIndex{1}\) muestra la órbita equivalente elíptica cerrada más la correspondiente hodografía de momento para la fuerza central armónica isotrópica de dos cuerpos. Cifras\((11.8.3)\) y\(\PageIndex{1}\) contrastan las diferencias entre las órbitas elípticas para la fuerza cuadrada inversa y las de la fuerza central armónica de dos cuerpos. Aunque las órbitas para sistemas ligados con la fuerza armónica de dos cuerpos, y la fuerza cuadrada inversa, ambas conducen a órbitas elípticas, existen diferencias importantes. Tanto el movimiento radial como el momento son dos valorados por ciclo para el oscilador armónico simétrico de reflexión, mientras que el radio y el momento tienen solo un máximo y un mínimo por revolución para la ley de cuadrados inversos. Aunque las fuerzas centrales de dos cuerpos armónicas isotrópicas y cuadradas, conducen a órbitas elípticas cerradas para las cuales se conserva el momento angular y las órbitas son planas, existe otra diferencia importante entre las órbitas para estas dos interacciones. La ecuación orbital para el problema de Kepler se expresa con respecto a focos de la órbita equivalente elíptica, como se ilustra en la Figura\((11.8.3)\), mientras que la ecuación orbital para la órbita del oscilador armónico isotrópico se expresa con respecto al centro de la elipse como ilustrado en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Tensor de simetría\(\mathbf{A}^{\prime }\)

Los vectores invariantes\(\mathbf{L}\) y\(\mathbf{A}\) proporcionan una especificación completa de la geometría de las órbitas unidas para el sistema Kepler de ley cuadrada inversa. Es interesante buscar una invariante similar que especifique completamente las órbitas para la fuerza central armónica isotrópica. En contraste con el problema de Kepler, el centro de fuerza armónica está en el centro de la órbita elíptica, y la órbita es simétrica de reflexión con las frecuencias radiales y angulares relacionadas por\(\omega _{r}=2\omega _{\psi }\). Dado que la órbita es simétrica de reflexión, la orientación del eje mayor de la órbita no puede especificarse de manera única por un vector. Por lo tanto, para la interacción armónica es necesario especificar la orientación del eje principal por el tensor de simetría. La simetría de la fuerza central armónica isotrópica, de dos cuerpos, conduce al tensor de simetría\(\mathbf{A}^{\prime },\) que es una invariante del movimiento análogo al vector de excentricidad\(\mathbf{A}\). Al igual que una matriz de rotación, el tensor de simetría define la orientación, pero no la dirección, del eje principal principal principal de la órbita elíptica. En el plano de la órbita polar el tensor de\(3\times 3\) simetría se\(\mathbf{A}^{\prime }\) reduce a una\(2\times 2\) matriz que tiene elementos de matriz definidos para ser,

\[A_{ij}^{\prime }= \frac{p_{i}p_{j}}{2\mu }+\frac{1}{2}kx_{i}x_{j}\label{11.118}\]

Los elementos de la matriz diagonal\(A_{11}^{\prime }=E_{1}\), y\(A_{22}^{\prime }=E_{2}\) son constantes de movimiento. El término fuera de la diagonal viene dado por

\[A_{12}^{\prime 2}\equiv \left( \frac{p_{x}p_{y}}{2\mu }+\frac{1}{2} kxy\right) ^{2}=\left( \frac{p_{x}^{2}}{2\mu }+\frac{1}{2}kx^{2}\right) \left( \frac{p_{y}^{2}}{2\mu }+\frac{1}{2}ky^{2}\right) -4\mu \left( xp_{y}-yp_{x}\right) ^{2}=E_{1}E_{2}-\frac{kJ^{2}}{4\mu ^{3}}\label{11.119}\]

Los términos del lado derecho de la Ecuación\ ref {11.119} son todos constantes de movimiento, por lo tanto\(A_{12\text{ }}^{\prime 2}\) también es una constante de movimiento. Así, el tensor de\(3\times 3\) simetría\(\mathbf{A}^{\prime }\) puede reducirse a un tensor de\(2\times 2\) simetría para el cual todos los elementos de la matriz son constantes de movimiento, y la traza del tensor de simetría es igual a la energía total.

En resumen, las interacciones centrales de dos cuerpos del oscilador inverso cuadrado y armónico conducen a órbitas equivalentes elípticas cerradas, cuyo plano es perpendicular al vector de momento angular conservado. Sin embargo, para la fuerza cuadrada inversa, el origen de la órbita equivalente está en el foco de la elipse y\(\omega _{r}=\omega _{\phi }\), mientras que el origen está en el centro de la elipse y\(\omega _{r}=2\omega _{\phi }\) para la fuerza armónica. Como consecuencia, la órbita elíptica es simétrica de reflexión para la fuerza armónica pero no para la fuerza cuadrada inversa. Tanto el vector de excentricidad como el tensor de simetría especifican los ejes principales de estas órbitas elípticas, cuyo plano es perpendicular al vector de momento angular. El vector de excentricidad, y el tensor de simetría, ambos están directamente relacionados con la excentricidad de la órbita y la energía total del sistema de dos cuerpos. El teorema de Noether afirma que la invarianza del vector de excentricidad y del tensor de simetría, más las órbitas cerradas correspondientes, son manifestaciones de simetrías subyacentes. La\(SU3\) simetría dinámica subyace a la invarianza del tensor de simetría, mientras que la\(O4\) simetría dinámica subyace a la invarianza del vector de excentricidad. Estas simetrías conducen a órbitas elípticas cerradas estables solo para estas dos fuerzas centrales específicas de dos cuerpos, y no para otras fuerzas centrales de dos cuerpos.