11.10: Estabilidad en órbita cerrada

El teorema de Bertrand establece que el oscilador lineal y la ley del cuadrado inverso son las únicas fuerzas centrales de dos cuerpos para las que todas las órbitas unidas son de un solo valor, y órbitas cerradas estables. La estabilidad de las órbitas cerradas se puede ilustrar estudiando su respuesta a las perturbaciones. Por simplicidad, la siguiente discusión de estabilidad se centrará en órbitas circulares, pero los principios generales son los mismos para las órbitas elípticas.

Una órbita circular ocurre siempre que la fuerza atractiva equilibra la “fuerza centrífuga” efectiva en el marco giratorio. Esto puede ocurrir para cualquier forma funcional radial para la fuerza central. El potencial efectivo, la ecuación\((11.4.6)\) tendrá un punto estacionario cuando

\[\left( \frac{\partial U_{eff}}{\partial r}\right) _{r=r_{0}}=0\label{11.120}\]

es decir, cuando

\[\left( \frac{\partial U}{\partial r}\right) _{r=r_{0}}-\frac{l^{2}}{\mu r_{0}^{3}}=0\label{11.121}\]

Esto equivale a la afirmación de que la fuerza neta es cero. Dado que la fuerza de atracción central viene dada por

\[F(r)=-\frac{\partial U_{eff}}{\partial r}\label{11.122}\]

entonces el punto estacionario ocurre cuando

\[F(r_{0})=-\frac{l^{2}}{\mu r_{0}^{3}}=-\mu r_{0}\dot{\psi}^{2}\label{11.123}\]

Esta es la llamada fuerza centrífuga en el marco giratorio. El hamiltoniano, ecuación\((11.6.5)\), da que

\[\dot{r}=\pm \sqrt{\frac{2}{\mu }\left( E_{cm}-U-\frac{l^{2}}{2\mu r^{2}} \right) }\label{11.124}\]

Para una órbita circular\(\dot{r}=0\) que es

\[E_{cm}=U-\frac{l^{2}}{2\mu r^{2}}\label{11.125}\]

Una órbita circular estable es posible si se satisfacen ambas ecuaciones\ ref {11.121} y\ ref {11.125}. Tal órbita circular será una órbita estable al mínimo cuando

\[\left( \frac{d^{2}U_{eff}}{dr^{2}}\right) _{r=r_{0}}>0\label{11.126}\]

En la Figura se muestran ejemplos de órbitas estables e inestables\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Potenciales centrales efectivos estables e inestables. El centrífugo repulsivo y los potenciales atractivos\((k<0)\) se muestran discontinuas. La curva sólida es el potencial efectivo.

La estabilidad de una órbita circular requiere que

\[\left( \frac{\partial ^{2}U}{\partial r^{2}}\right) _{r=r_{0}}+\frac{3l^{2}}{ \mu r_{0}^{4}}>0\label{11.127}\]

que se puede escribir en términos de la fuerza central para una órbita estable como

\[-\left( \frac{\partial F}{\partial r}\right) _{r_{0}}+\frac{3F\left( r_{0}\right) }{r_{0}}>0\label{11.128}\]

Si la fuerza central atractiva puede expresarse como una ley de poder

\[F(r)=-kr^{n}\label{11.129}\]

entonces la estabilidad requiere

\[kr_{0}^{n-1}\left( 3+n\right) >0\]

o\[n>-3\]

Las órbitas equivalentes estables sufrirán oscilaciones alrededor de la órbita estable si se perturban. A primer orden, la fuerza restauradora sobre una masa reducida unida\(\mu\) viene dada por

\[F_{restore}=-\left( \frac{d^{2}U_{eff}}{dr^{2}}\right) _{r=r_{0}}\left( r-r_{0}\right) =\mu \ddot{r}\]

En la medida en que esta fuerza de restauración lineal domine sobre términos de orden superior, entonces una perturbación de la órbita estable sufrirá simples oscilaciones armónicas alrededor de la órbita estable con frecuencia angular

\[\omega =\sqrt{\frac{\left( \frac{d^{2}U_{eff}}{dr^{2}}\right) _{r=r_{0}}}{ \mu }}\]

La discusión anterior muestra que una oscilación radial de pequeña amplitud alrededor de la órbita estable con amplitud\(\xi\) será de la forma

\[\xi =A\sin (2\pi \omega t+\delta )\]

La órbita se cerrará si el producto de la frecuencia de oscilación\(\omega ,\) y el período de órbita\(\tau\) es un valor entero.

El hecho de que las órbitas planetarias en el campo gravitacional se observen cerradas es una fuerte evidencia de que el campo de fuerza gravitacional debe obedecer la ley cuadrada inversa. En realidad hay pequeñas precesiones de órbitas planetarias debido a perturbaciones del campo gravitacional por cuerpos distintos al sol, y por efectos relativistas. También el campo gravitacional cerca de la tierra se aparta ligeramente de la ley cuadrada inversa porque la tierra no es una esfera perfecta, y el campo no tiene simetría esférica perfecta. El estudio de la precesión de satélites alrededor de la tierra se ha utilizado para determinar el cuadrupolo oblato y la ligera distorsión del octupolo (forma de pera) de la forma de la tierra.

La prueba más famosa de la ley cuadrada inversa para la gravitación es la precesión del perihelio de Mercurio. Si la fuerza atractiva que experimenta Mercurio es de la forma

\[\mathbf{F(}r\mathbf{)}=-G\frac{m_{s}m_{m}}{r^{2+\alpha }}\mathbf{\hat{r}}\notag\]

donde\(\left\vert \alpha \right\vert\) es pequeño, entonces se puede demostrar que, para orbitales circulares aproximados, el perihelio avanzará en un pequeño ángulo\(\pi \alpha\) por periodo de órbita. Es decir, la precesión es cero si\(\alpha =0\), correspondiente a una dependencia de ley cuadrada inversa que concuerda con el teorema de Bertrand. La posición del perihelio de Mercurio se ha medido con gran precisión demostrando que, después de corregir todas las perturbaciones conocidas, el perihelio avanza en\(43(\pm 5)\) segundos de arco por siglo, es decir\(5\times 10^{-7}\) radianes por revolución. Esto corresponde a\(\alpha =1.6\times 10^{-7}\) lo que es pequeño pero aún significativo. Esta precesión siguió siendo un rompecabezas durante muchos años hasta\(1915\) que Einstein predijo que una consecuencia de su teoría general de la relatividad es que la órbita planetaria de Mercurio debería preceder a\(43\) segundos de arco por siglo, lo que está en notable acuerdo con las observaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Linear two-body restoring force

El potencial efectivo para una fuerza de restauración lineal de dos cuerpos\(F=-kr\) es

\[U_{eff}= \frac{1}{2}kr^{2}+\frac{l^{2}}{2\mu r^{2}}\notag\]

Al mínimo

\[\left( \frac{\partial U_{eff}}{\partial r}\right) _{r=r_{0}}=kr-\frac{l^{2}}{ \mu r^{3}}=0\notag\]

Así

\[r_{0}=\left( \frac{l^{2}}{\mu k}\right) ^{\frac{1}{4}}\notag\]

y

\[\left( \frac{d^{2}U_{eff}}{dr^{2}}\right) _{r=r_{0}}=\frac{3l^{2}}{\mu r_{0}^{4}}+k=4k>0\notag\]

que es una órbita estable. Pequeñas perturbaciones de una órbita circular tan estable tendrán una frecuencia angular

\[\omega =\sqrt{\frac{\left( \frac{d^{2}U_{eff}}{dr^{2}}\right) _{r=r_{0}}}{ \mu }}=2\sqrt{\frac{k}{\mu }} \notag\]

Tenga en cuenta que esto es el doble de la frecuencia para el oscilador armónico plano con el mismo coeficiente de restauración. Esto se debe a la repulsión central, el pozo de potencial efectivo para este ejemplo de oscilador giratorio tiene aproximadamente la mitad del ancho para el oscilador armónico plano correspondiente. Tenga en cuenta que la energía cinética para el movimiento de rotación, que es\(\frac{ l^{2}}{2\mu r^{2}},\) igual a la energía potencial\(\frac{1}{2} kr^{2}\) en el mínimo como lo predice el Teorema del Virial para una fuerza restauradora lineal de dos cuerpos.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Inverse square law attractive force

El potencial efectivo para que una ley cuadrada inversa restablezca la fuerza\(F=-\frac{k}{r^{2}}\hat{r},\) cuando\(k\) se presuma que es positiva,

\[U_{eff}=- \frac{k}{r}+\frac{l^{2}}{2\mu r^{2}}\notag\]

Al mínimo

\[\left( \frac{\partial U_{eff}}{\partial r}\right) _{r=r_{0}}=\frac{k}{r^{2}}- \frac{l^{2}}{\mu r^{3}}=0\notag\]

Así

\[r_{0}=\frac{l^{2}}{\mu k}\notag\]

y

\[\left( \frac{d^{2}U_{eff}}{dr^{2}}\right) _{r=r_{0}}=\frac{3l^{2}}{\mu r_{0}^{4}}-\frac{2k}{r_{0}^{3}}=\frac{k}{r_{0}^{3}}>0\notag\]

que es una órbita estable. Pequeñas perturbaciones sobre una órbita circular tan estable tendrán una frecuencia angular\[\omega =\sqrt{\frac{\left( \frac{d^{2}U_{eff}}{dr^{2}}\right) _{r=r_{0}}}{ \mu }}=\frac{\mu k^{2}}{l^{3}} \notag\]

La energía cinética para las oscilaciones alrededor de esta órbita circular estable, que es\(\frac{l^{2}}{2\mu r^{2}},\) igual a la mitad de la magnitud de la energía potencial\(-\frac{k}{r}\) al mínimo según lo predicho por el Teorema del Virial.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Attractive inverse cubic central force

La fuerza cúbica inversa es un ejemplo interesante para investigar la estabilidad de las ecuaciones orbitales. Una solución de la fuerza central cúbica inversa, para una masa reducida\(\mu ,\) es una órbita espiral

\[r=r_{0}e^{\alpha \psi }\notag\]

Que esto es cierto se puede demostrar insertando esta órbita en la ecuación de órbita diferencial.

Usando una transformación Binet de la variable\(r\) para\(u\) dar

\[u = \frac{1}{r}=\frac{1}{r_{0}}e^{-\alpha \psi } \nonumber\]

\[ \frac{du}{d\psi } = -\frac{\alpha }{r_{0}}e^{-\alpha \psi } \nonumber\]

\[ \frac{d^{2}u}{d\psi ^{2}} = \frac{\alpha ^{2}}{r_{0}}e^{-\alpha \psi } \nonumber\]

Sustituyendo estos en la ecuación diferencial de la órbita

\[\frac{d^{2}u}{d\psi ^{2}}+u=-\frac{\mu }{l^{2}}\frac{1}{u^{2}}F(\frac{1}{u})\notag\]

da

\[\frac{\alpha ^{2}}{r_{0}}e^{-\alpha \psi }+\frac{1}{r_{0}}e^{-\alpha \psi }=- \frac{\mu }{l^{2}}r_{0}^{2}e^{2\alpha \psi }F\left( \frac{1}{u}\right)\notag\]

Eso es

\[F\left( \frac{1}{u}\right) =-\frac{\left( \alpha ^{2}+1\right) l^{2}}{\mu } r_{0}^{-3}e^{-3\alpha \psi }=-\frac{\left( \alpha ^{2}+1\right) l^{2}}{\mu r^{3}}\notag\]

que es una fuerza cúbica inversa atractiva central.

La dependencia del tiempo de la órbita espiral se puede derivar ya que el momento angular da

\[\dot{\psi}=\frac{l}{\mu r^{2}}=\frac{l}{\mu r_{0}^{2}e^{2\alpha \psi }}\notag\]

Esto se puede escribir como

\[e^{2\alpha \psi }d\psi =\frac{l}{\mu r_{0}^{2}}dt\notag\]

La integración da

\[\frac{e^{2\alpha \psi }}{2\alpha }=\frac{lt}{\mu r_{0}^{2}}+\beta\notag\]

donde\(\beta\) es una constante. Pero la órbita da

\[r^{2}=r_{0}^{2}e^{2\alpha \psi }=\frac{2\alpha lt}{\mu }+2\alpha \beta \notag\]

Así el radio aumenta o disminuye a medida que la raíz cuadrada de la época. Es decir, una fuerza central cúbica atractiva no tiene una órbita estable que es lo que se espera ya que no hay mínimo en la energía potencial efectiva. Obsérvese que es obvio que no habrá mínimo ni máximo para la suma de energía potencial efectiva ya que, si la fuerza es\(F=-\frac{k}{r^{3}},\) entonces la energía potencial efectiva es

\[U_{eff}=-\frac{k}{2r^{2}}+\frac{l^{2}}{2\mu r^{2}}=\left( \frac{l^{2}}{\mu } -k\right) \frac{1}{2r^{2}} \notag\]

que no tiene mínimo o máximo estable.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Spiralling mass attached by a string to a hanging mass

Un ejemplo de una aplicación de estabilidad orbital es el caso mostrado en la figura adyacente. Una partícula de masa\(m\) se mueve sobre una mesa horizontal sin fricción. Esta masa está unida por una cuerda ligera de longitud fija\(b\) y gira alrededor de un agujero en la mesa. La cuerda está unida a una segunda masa igual\(m\) que cuelga verticalmente hacia abajo sin movimiento angular.

Figura\(\PageIndex{2}\): Masa giratoria\(m\) sobre una mesa horizontal sin fricción conectada a una masa suspendida\(m\).

Las ecuaciones se expresan de manera más conveniente en coordenadas cilíndricas (\(r,\theta ,z)\)con el origen en el agujero de la tabla, y\(z\) verticalmente hacia arriba. La longitud fija de la cuerda requiere\(z=r-b\). La energía potencial es\[U=mgz=mg(r-b)\notag\]

El sistema es central y conservador, por lo que el hamiltoniano puede escribirse como

\[H=\frac{m}{2}\left( \dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}\right) +\frac{m}{2} \overset{.}{r}^{2}+mg(r-b)=E\notag\]

El lagrangiano es independiente de\(\theta\), es decir,\(\theta\) es cíclico, por lo que el momento angular\(mr^{2}\dot{\theta} =l\) es una constante de movimiento. Sustituyendo esto en la ecuación hamiltoniana da

\[m\dot{r}^{2}+\frac{l^{2}}{2mr^{2}}+mg(r-b)=E\notag\]

El potencial efectivo es

\[U_{eff}=\frac{l^{2}}{2mr^{2}}+mg(r-b)\notag\]

que se muestra en la figura adyacente. El valor estacionario se produce cuando

\[\left( \frac{\partial U_{eff}}{\partial r}\right) _{r_{0}}=-\frac{l^{2}}{ mr_{0}^{3}}+mg=0\notag\]

Es decir, cuando el momento angular está relacionado con el radio por

\[l^{2}=m^{2}gr_{0}^{3}\notag\]

Tenga en cuenta que\(r_{0}=0\) si\(l=0\).

Figura\(\PageIndex{3}\): Potencial efectivo para dos masas conectadas.

La estabilidad de la solución viene dada por la segunda derivada

\[\left( \frac{\partial ^{2}U_{eff}}{\partial r^{2}}\right) _{r_{0}}=\frac{ 3l^{2}}{mr_{0}^{4}}=\frac{3mg}{r_{0}}>0\notag\]

Por lo tanto, el punto estacionario es estable.

Tenga en cuenta que la ecuación de movimiento para el mínimo se puede expresar en términos de la fuerza restauradora sobre las dos masas

\[2m\ddot{r}=-\left( \frac{\partial ^{2}U_{eff}}{\partial r^{2}}\right) _{r_{0}}\left( r-r_{0}\right)\notag\]

Así el sistema sufre oscilación armónica con frecuencia

\[\omega =\sqrt{\frac{\frac{3mg}{r_{0}}}{2m}}=\sqrt{\frac{3g}{2r_{0}}}\notag\]

La solución de este sistema es estable y experimenta un simple movimiento armónico.