11.12: Dispersión de dos cuerpos
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Dos cuerpos móviles, que interactúan a través de una fuerza central, se dispersan cuando la fuerza es repulsiva, o cuando se desata un sistema atractivo. La dispersión de cuerpos en dos cuerpos se encuentra extensamente en los campos de la astronomía, la atómica, la nuclear y la física de partículas. La probabilidad de tal dispersión se expresa más convenientemente en términos de secciones transversales de dispersión definidas a continuación.
Sección transversal total de dispersión de dos cuerpos
El concepto de sección transversal de dispersión para la dispersión de dos cuerpos se describe más fácilmente para la sección transversal total de dos cuerpos. La probabilidad de\(P\) que un haz de partículas puntuales\(n_{B}\) incidentes/segundo, distribuido sobre un área\(A_{B},\) de sección transversal, golpee un solo objeto sólido, que tiene un área\(\sigma ,\) de sección transversal viene dada por la relación de las áreas como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Es decir,
\[P=\frac{\sigma }{A_{B}}\label{11.134}\]
donde se supone que\(A_{B}>>\sigma .\) Para un cuerpo objetivo esférico de radio\(r\), la sección transversal\(\sigma =\pi r^{2}.\) La probabilidad de dispersión\(P\) es proporcional a la sección transversal\(\sigma\) que es la sección transversal del cuerpo objetivo perpendicular al haz; así\(\sigma\) tiene las unidades de área.
Dado que el haz\(n_{B}\) incidente de partículas puntuales incidentes/segundo, tiene un área de sección transversal\(A_{B}\), entonces tendrá una densidad de área\(I\) dada por
\[I=\frac{n_{B}}{A_{B}}\text{ beam particles}/m^{2}/s \label{11.135}\]
El número de partículas de haz dispersadas por segundo\(N_{S}\) por este dispersor de objetivo único es igual
\[N_{S}=Pn_{B}=\frac{\sigma }{A_{B}}IA_{B}=\sigma I\label{11.136}\]
Por lo tanto, la sección transversal para la dispersión por este único cuerpo objetivo es
\[\sigma =\frac{N_{S}}{I}=\frac{\text{Scattered particles}/s}{\text{incident beam/m}^{2}/s}\label{11.137}\]
De manera realista, uno tendrá muchos dispersores de objetivo en el objetivo y la probabilidad de dispersión total aumenta proporcionalmente al número de dispersores de objetivo. Es decir, para un objetivo que comprende una densidad de área de cuerpos\(\eta _{T}\) objetivo por unidad de área del haz incidente, entonces el número disperso aumentará proporcionalmente a la densidad de área objetivo Es\(\eta _{T}.\) decir, habrá cuerpos\(\eta _{T}A_{B}\) dispersantes que interactúan con el haz asumiendo que el objetivo tiene un área mayor que la viga. Así, el número total dispersado\(N_{S}\) por segundo por un objetivo que comprende múltiples dispersores es
\[N_{S}=\sigma \frac{n_{B}}{A_{B}}\eta _{T}A_{B}=\sigma n_{B}\eta _{T}\label{11.138}\]
Tenga en cuenta que esto es independiente del área de la sección transversal de la viga asumiendo que el área objetivo es mayor que la de la viga. Es decir, el número dispersado por segundo es proporcional a la sección transversal\(\sigma\) multiplicada por el producto del número de partículas incidentes por segundo,\(n_{B},\) y la densidad de área de los dispersores objetivo,\(\eta _{T}\). Las secciones transversales típicas que se encuentran en la astrofísica son\(\sigma \approx 10^{14}m^{2}\), en la física atómica:\(\sigma \approx 10^{-20}m^{2}\), y en la física nuclear;\(\sigma \approx 10^{-28}m^{2}=barns.\) 3
N. B., la prueba anterior asumió que el tamaño objetivo es mayor que el área de la sección transversal del haz incidente. Si el tamaño del objetivo es menor que el haz, entonces\(n_{B}\) se reemplaza por la densidad de área del haz\(\eta _{B}\) y\(\eta _{T}\) se reemplaza por el número de partículas objetivo\(n_{T}\) y el tamaño de la sección transversal del objetivo se cancela.
Sección transversal diferencial de dispersión de dos cuerpos
La sección transversal de dispersión diferencial de dos cuerpos proporciona información mucho más detallada de la fuerza de dispersión que la sección transversal total debido a la correlación entre el parámetro de impacto y el ángulo de dispersión. Es decir, una medición del número de partículas de haz dispersas en un ángulo sólido dado en función de los ángulos de dispersión\(\theta ,\phi\) sondea la forma radial de la fuerza de dispersión.
La sección transversal diferencial para la dispersión de un haz incidente por un solo cuerpo objetivo en un ángulo sólido\(d\Omega\) en ángulos de dispersión\(\theta ,\phi\) se define como
\[\frac{d\sigma }{d\Omega }\left( \theta \phi \right) \equiv \frac{1}{I}\frac{ dN_{S}\left( \theta ,\phi \right) }{d\Omega }\label{11.139}\]
donde el lado derecho es la relación entre el número dispersado por núcleo objetivo en ángulo sólido con respecto\(d\Omega (\theta ,\phi ),\) a la intensidad del haz incidente\(I\)\(particles/m^{2}/s\).
Razonamiento similar utilizado para derivar La ecuación\ ref {11.137} conduce al número de partículas de haz dispersadas en un ángulo sólido\(d\Omega\) para partículas de\(n_{B}\) haz incidentes sobre un objetivo con densidad de área\(\eta _{T}\) es\[\frac{dN_{S}\left( \theta ,\phi \right) }{d\Omega }=n_{B}\eta _{T}\frac{ d\sigma }{d\Omega }\left( \theta \phi \right)\label{11.140}\]
Considere el sistema equivalente de un solo cuerpo para la dispersión de un cuerpo por un centro de fuerza de dispersión en el centro de masa. Como se muestra en las figuras\((11.8.2)\) y\(\PageIndex{2}\), la distancia perpendicular entre el centro de fuerza del sistema de dos cuerpos y la trayectoria del cuerpo entrante a distancia infinita se denomina parámetro de impacto\(b\). Para una fuerza central el sistema de dispersión tiene simetría cilíndrica, por lo tanto el ángulo sólido\(d\Omega (\theta \phi )=\sin \theta d\theta d\phi\) puede integrarse sobre el ángulo azimutal\(\phi\) para dar\(d\Omega (\theta )=2\pi \sin \theta d\theta .\)
Para la fuerza central del cuadrado inverso, de dos cuerpos, existe una correspondencia uno a uno entre el parámetro de impacto\(b\) y el ángulo de dispersión\(\theta\) para una energía de bombardeo dada. En este caso, asumir la conservación del flujo significa que las partículas del haz incidente que pasan a través del anillo del parámetro de impacto entre\(b\) y\(b+db\) deben ser iguales al número que pasa entre los ángulos correspondientes\(\theta\) y es\(\theta +d\theta .\) decir, para un flujo de haz incidente de\(I\) \(particles/m^{2}/s\)el número de partículas por segundo que pasan a través del anillo es
\[I2\pi b\left\vert db\right\vert =2\pi \frac{d\sigma }{d\Omega }I\sin \theta \left\vert d\theta \right\vert\label{11.141}\]
El módulo se utiliza para asegurar que el número de partículas sea siempre positivo. Por lo tanto\[\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{b}{\sin \theta }\left\vert \frac{db}{d\theta }\right\vert\label{11.142}\]
Dependencia del parámetro de impacto en el ángulo de dispersión
Si\(b=f(\theta ,E_{cm})\) se conoce la función, entonces es posible evaluar\(\left\vert \frac{db}{d\theta }\right\vert\) cuál se puede usar en la Ecuación\ ref {11.141} para calcular la sección transversal diferencial. Un caso simple e importante a considerar es la dispersión elástica de dos cuerpos para la fuerza de ley de cuadrado inverso como el Coulomb o las fuerzas gravitacionales. Para evitar confusiones en la siguiente discusión, se llamará al ángulo de dispersión del centro de masa\(\theta ,\) mientras que se llamará al ángulo utilizado para definir las órbitas hiperbólicas en la discusión de trayectorias para la ley cuadrada inversa\(\psi\).
En\(11.8\) el capítulo la representación equivalente de un solo cuerpo dio que la distancia radial para una trayectoria para la ley cuadrada inversa viene dada por
\[\frac{1}{r}=-\frac{\mu k}{l^{2}}\left[ 1+\epsilon \cos \psi \right]\label{11.143}\]
Tenga en cuenta que el acercamiento más cercano ocurre cuando\(\psi =0\) mientras que para\(r\rightarrow \infty\) el corchete debe ser igual a cero,
\[\cos \psi _{\infty }=\pm \left\vert \frac{1}{\epsilon }\right\vert\label{11.144}\]
El ángulo polar\(\psi\) se mide con respecto al eje de simetría del sistema de dos cuerpos que se encuentra a lo largo de la línea de distancia de aproximación más cercana como se muestra en la Figura\((11.8.2)\). La geometría y simetría muestran que el ángulo de dispersión\(\theta\) está relacionado con el ángulo de trayectoria\(\psi _{\infty }\) por
\[\theta =\pi -2\psi _{\infty }\label{11.145}\]
La ecuación\((11.7.1)\) da que
\[\psi _{\infty }=\int_{r_{\min }}^{\infty }\frac{\pm ldr}{r^{2}\sqrt{2\mu \left( E_{cm}-U-\frac{l^{2}}{2\mu r^{2}}\right) }}\label{11.146}\]
Desde
\[l^{2}=b^{2}p^{2}=b^{2}2\mu E_{cm}\]
entonces el ángulo de dispersión se puede escribir como.
\[\psi _{\infty }=\frac{\pi -\theta }{2}=\int_{r_{\min }}^{\infty }\frac{bdr}{ r^{2}\sqrt{\left( 1-\frac{U}{E_{cm}}-\frac{b^{2}}{r^{2}}\right) }}\label{11.147}\]
Vamos\(u=\frac{1}{r}\), entonces\[\psi _{\infty }=\frac{\pi -\theta }{2}=\int_{r_{\min }}^{\infty }\frac{bdu}{ \sqrt{\left( 1-\frac{U}{E_{cm}}-b^{2}u^{2}\right) }}\label{11.148}\]
Para la repulsiva ley cuadrada inversa
\[U=-\frac{k}{r}=-ku\label{11.149}\]
donde\(k\) se toma para ser positivo para una fuerza repulsiva. Así, la relación del ángulo de dispersión se convierte\[\psi _{\infty }=\frac{\pi -\theta }{2}=\int_{r_{\min }}^{\infty }\frac{bdu}{ \sqrt{\left( 1+\frac{ku}{E_{cm}}-b^{2}u^{2}\right) }}\label{11.150}\]
La solución de esta ecuación viene dada por la ecuación\((11.8.12)\) para ser
\[u=\frac{1}{r}=-\frac{\mu k}{l^{2}}\left[ 1+\epsilon \cos \psi \right]\label{11.151}\]
donde la excentricidad
\[\epsilon =\sqrt{1+\frac{2E_{cm}l^{2}}{\mu k^{2}}}\label{11.152}\]
Para\(r\rightarrow \infty ,\)\(u=0\) entonces, como se indicó anteriormente,
\[\left\vert \frac{1}{\epsilon }\right\vert =\cos \psi _{\infty }=\cos \frac{ \pi -\theta }{2}=\sin \frac{\theta }{2}\label{11.153}\]
Por lo tanto
\[\frac{2E_{cm}b}{k}=\sqrt{\epsilon ^{2}-1}=\cot \frac{\theta }{2}\label{11.154}\]
es decir, el parámetro de impacto\(b\) viene dado por la relación
\[b=\frac{k}{2E_{cm}}\cot \frac{\theta }{2}\label{11.155}\]
Así, para una fuerza de ley de cuadrado inverso, la dispersión de dos cuerpos tiene una correspondencia uno a uno entre el parámetro de impacto\(b\) y el ángulo de dispersión\(\theta\) como se muestra esquemáticamente en la Figura\(\PageIndex{3}\).
Si\(k\) es negativo, lo que corresponde a una atractiva ley cuadrada inversa, entonces se obtiene la misma relación entre el parámetro de impacto y el ángulo de dispersión excepto que el signo del parámetro de impacto\(b\) es opuesto. Esto significa que la trayectoria hiperbólica tiene un foco interior más que exterior. Es decir, la trayectoria orbita parcialmente alrededor del centro de fuerza en lugar de ser repelida.
\[r_{\min }=\frac{k}{2E_{cm}}\left( 1+\frac{1}{\sin \frac{\theta }{2}}\right)\label{11.157}\]
Tenga en cuenta que para\(\theta =180^{o}\) entonces
\[E_{cm}=\frac{k}{r_{\min }}=U(r_{\min )}\label{11.158}\]
que es lo que se esperaría de equiparar la energía cinética incidente con la energía potencial a la distancia de aproximación más cercana.
Para la dispersión de dos núcleos por la fuerza repulsiva de Coulomb, si el parámetro de impacto se vuelve lo suficientemente pequeño, la fuerza nuclear atractiva también actúa conduciendo a potenciales efectivos dependientes del parámetro de impacto ilustrados en la Figura\(\PageIndex{4}\). La trayectoria\(1\) no se solapa con la fuerza nuclear y por lo tanto es puro Coulomb. La trayectoria\(2\) interactúa en la periferia del potencial nuclear y la trayectoria se desvía del Coulomb puro mostrado discontinuo. La trayectoria\(3\) pasa por el interior del potencial nuclear. Estas tres trayectorias pueden conducir al mismo ángulo de dispersión y, por lo tanto, ya no hay una correspondencia uno a uno entre el ángulo de dispersión y el parámetro de impacto.
Dispersión de Rutherford
Dos modelos del núcleo evolucionaron en los\(1900\)'s, el modelo de Rutherford asumió electrones orbitando alrededor de un pequeño núcleo como planetas alrededor del sol, mientras que el modelo de “pudín de ciruela” de J.J. Thomson asumió que los electrones estaban incrustados en una esfera uniforme de carga positiva del tamaño del átomo. Cuando Rutherford\(1911\) derivó su fórmula clásica en se dio cuenta de que se puede utilizar para determinar el tamaño del núcleo ya que el campo eléctrico obedece a la ley cuadrada inversa solo cuando está fuera del núcleo esférico cargado. Dentro de una esfera de carga uniforme se encuentra el campo eléctrico\(\mathbf{E}\varpropto \mathbf{r}\) y así la sección transversal de dispersión no obedecerá la relación de Rutherford para distancias de aproximación más cercanas que sean menores que el radio de la esfera de carga negativa. La observación del ángulo más allá del cual se descompone la fórmula de Rutherford determina inmediatamente el radio del núcleo.
\[\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{1}{4}\left( \frac{k}{2E_{cm}}\right) ^{2} \frac{1}{\sin ^{4}\frac{\theta }{2}}\label{11.159}\]
Esta sección transversal supone una dispersión elástica por una fuerza central repulsiva de dos cuerpos inverso-cuadrado. Para la dispersión de núcleos en el potencial de Coulomb, la constante\(k\) se da para ser\[k=\frac{Z_{p}Z_{T}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{o}}\label{11.160}\]
La sección transversal, el ángulo\(E_{cm}\) de dispersión y la ecuación\ ref {11.159} se evalúan en el sistema de coordenadas del centro de masa, mientras que los datos de dispersión elástica de dos cuerpos generalmente implican la dispersión de los proyectiles por un objetivo estacionario como se discute en el capítulo\(11.13.\)
Gieger y Marsden realizaron dispersión de\(\alpha\) partículas de\(7.7\) MeV a partir de una fina lámina de oro y demostraron que la sección transversal de dispersión diferencial obedeció la fórmula de Rutherford a ángulos correspondientes a una distancia de aproximación más cercana de la\(10^{-14}m\) cual es mucho menor que la\(10^{-10}m\) tamaño del átomo. Esto validó el modelo Rutherford del átomo e inmediatamente condujo al modelo Bohr del átomo que jugó un papel tan crucial en el desarrollo de la mecánica cuántica. Bohr demostró que el acuerdo con la fórmula de Rutherford implica que el campo Coulomb obedece a la ley cuadrada inversa a pequeñas distancias. Este trabajo se realizó en la Universidad de Manchester, Inglaterra entre\(1908\) y\(1913\). Es una suerte que el resultado clásico sea idéntico a la sección transversal quantal para la dispersión, de lo contrario el desarrollo de la física moderna podría haberse retrasado por muchos años.
La dispersión de iones muy pesados, como el\(^{208}\) Pb, puede excitar electromagnéticamente los núcleos diana. Para la fuerza de Coulomb el parámetro de impacto\(b\) y la distancia de aproximación más cercana,\(r_{\min }\) están directamente relacionados con el ángulo de dispersión\(\theta\) por la Ecuación\ ref {11.155}. Así, observar el ángulo del proyectil disperso determina inequívocamente la trayectoria hiperbólica y así el impulso electromagnético dado a los núcleos colisionantes. Este proceso, llamado excitación de Coulomb, utiliza la distribución angular medida de los iones dispersos para la excitación inelástica de los núcleos para determinar de manera precisa e inequívoca la sección transversal de excitación de Coulomb en función del parámetro de impacto. Esto determina inequívocamente la forma de la distribución de la carga nuclear.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Two-body scattering by an inverse cubic force
Asumir dispersión de dos cuerpos por un potencial\(U= \frac{k}{r^{2}}\) donde\(k>0\). Esto corresponde a una fuerza repulsiva de dos cuerpos\(\mathbf{F=}\frac{2k}{r^{3}}\mathbf{\hat{r}}\). Insertar esta fuerza en la órbita diferencial de Binet, ecuación\((11.5.5)\), da
\[\frac{d^{2}u}{d\phi ^{2}}+u\left( 1+\frac{2k\mu }{l^{2}}\right) =0 \notag\]
La solución es de la forma\(u=A\sin (\omega \psi +\beta )\) donde\(A\) y\(\beta\) son constantes de integración,\(l=\mu r^{2}\dot{\psi},\) y
\[\omega ^{2}=\left( 1+\frac{2k\mu }{l^{2}}\right)\notag\]
Inicialmente\(r=\infty\),\(u=0,\) y por lo tanto\(\beta =0\). También en\(r=\infty\),\(E=\frac{1}{2}\mu \dot{r}_{\infty }^{2}\), es decir\(\left\vert \dot{r}_{\infty } \right\vert =\sqrt{\frac{2E}{\mu } }\). Entonces
\[\dot{r}=\frac{dr}{d\psi }\dot{\psi}=\frac{dr}{d\psi }\frac{l}{\mu r^{2}}=- \frac{l}{\mu }\frac{du}{d\psi }=-A\frac{l}{\mu }\omega \cos \left( \omega \psi \right)\notag\]
La energía inicial da que\(A=\frac{1}{l\omega }\sqrt{2\mu E}.\) De ahí que la ecuación de órbita es
\[u=\frac{1}{r}=\frac{\sqrt{2\mu E}}{l\omega }\sin \left( \omega \psi \right)\notag\]
La trayectoria anterior tiene una distancia de aproximación más cercana,\(r_{\min }\), cuando\(\psi _{\min }=\frac{\pi }{2\omega }\). Además, debido a la simetría de la órbita, el ángulo de dispersión\(\theta\) viene dado por
\[\theta =\pi -2\psi _{0}=\pi \left( 1-\frac{1}{\omega }\right)\notag\]
Desde\(l^{2}=\mu ^{2}b^{2}\dot{r}_{\infty }^{2}=2b^{2}\mu E\) entonces
\[1-\frac{\theta }{\pi }=\left( 1+\frac{2k\mu }{l^{2}}\right) ^{-\frac{1}{2} }=\left( 1+\frac{k}{b^{2}E}\right) ^{-\frac{1}{2}}\notag\]
Esto da que el parámetro de impacto\(b\) está relacionado con el ángulo de dispersión por
\[b^{2}=\frac{k}{E}\frac{\left( \pi -\theta \right) ^{2}}{\left( 2\pi -\theta \right) \theta } \notag\]
Esta relación de parámetros de impacto se puede utilizar en la Ecuación\ ref {11.141} para dar la sección transversal diferencial
\[\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{b}{\sin \theta }\left\vert \frac{db}{d\theta }\right\vert =\frac{k}{Esin\theta }\frac{\pi ^{2}\left( \pi -\theta \right) }{\left( 2\pi -\theta \right) ^{2}\theta ^{2}} \notag\]
Estas órbitas se llaman espirales de Cotes.
3 Se eligió el término “granero” porque los físicos nucleares bromearon diciendo que las secciones transversales para la dispersión de neutrones por núcleos eran tan grandes como una puerta de granero.