11.E: Fuerzas Centrales Conservadoras de dos cuerpos (Ejercicios)

1. A continuación se enumeran varias declaraciones relativas al movimiento de la fuerza central. Por cada enunciado, dé la razón de por qué la afirmación es cierta. Si una afirmación solo es verdadera en ciertas situaciones, entonces explique cuándo se sostiene y cuándo no. El sistema al que se hace referencia a continuación consiste en masa\(m_{1}\) ubicada en\(r_{1}\) y masa\(m_{2}\) ubicada en\(r_{2}\).
   1. La energía potencial del sistema depende sólo de la diferencia\(r_{1}-r_{2}\), no de\(r_{1}\) y\(r_{2}\) por separado.
   2. La energía potencial del sistema depende únicamente de la magnitud\(r_{1}-r_{2}\), no de la dirección.
   3. Es posible elegir un marco de referencia inercial en el que el centro de masa del sistema esté en reposo.
   4. Se conserva la energía total del sistema.
   5. Se conserva el momento angular total del sistema.
2. Una partícula de masa\(m\) se mueve en un potencial\(U(r) = -U_0 e^{-\lambda^2r^2}\).
   1. Dada la constante\(l\), encontrar una ecuación implícita para el radio de la órbita circular. Una órbita circular en\(r = \rho\) es posible si\[ \left. \left( \frac{\partial V}{\partial r} \right) \right\vert_{r = \rho} = 0 \notag\] dónde\(V\) está el potencial efectivo.
   2. ¿Cuál es el mayor valor\(l\) para el que existe una órbita circular? ¿Cuál es el valor del potencial efectivo en esta órbita crítica?
3. Se observa que una partícula de masa\(m\) se mueve en una órbita espiral dada por la ecuación\(r = k\theta\), donde\(k\) es una constante. ¿Es posible tener tal órbita en un campo de fuerza central? Si es así, determinar la forma de la función de fuerza.
4. La energía de interacción entre dos átomos de masa\(m\) viene dada por el potencial de Lennard-Jones,\(U(r) = \epsilon [(r_0/r)^{12} - 2(r_0/r)^{6}]\)
   1. Determinar el Lagrangiano del sistema donde\(r_1\) y\(r_2\) son las posiciones de la primera y segunda masa, respectivamente.
   2. Reescribir lo lagrangiano como un problema de un solo cuerpo en el que el centro de masa es estacionario.
   3. Determinar el punto de equilibrio y demostrar que es estable.
   4. Determinar la frecuencia de pequeñas oscilaciones alrededor del punto estable.
5. Considera dos cuerpos de masa\(m\) en órbita circular de radio\(r_0/2\), atraídos entre sí por una fuerza\(F(r)\), donde\(r\) está la distancia entre las masas.
   1. Determinar el Lagrangiano del sistema en el marco de centro de masa (Pista: un problema de un solo cuerpo sujeto a una fuerza central).
   2. Determinar el momento angular. ¿Se conserva?
   3. Determinar la ecuación de movimiento\(r\) en términos del momento angular y\(|\mathbf{F}(r)|\).
   4. Amplíe su resultado en (c) aproximadamente un radio de equilibrio\(r_0\) y demuestre que la condición para la estabilidad es,\(\frac{F^{\prime}(r_0)}{F(r_0)} + \frac{3}{r_0} > 0\)
6. Considera dos cargas de igual magnitud\(q\) conectadas por un resorte de constante de resorte\(k^{\prime}\) en órbita circular. ¿Pueden oscilar las cargas sobre algún equilibrio? En caso afirmativo, ¿qué condición se debe cumplir?
7. Considera una masa\(m\) en órbita alrededor de una masa\(M\), que está sujeta a una fuerza\(F = -\frac{k}{r^2} \hat{r}\), donde\(r\) está la distancia entre las masas. Mostrar que se conserva el vector\(A = p \times L - \mu k \hat{r}\) de excentricidad.
8. Mostrar que la velocidad superficial es constante para una partícula que se mueve bajo la influencia de una fuerza atractiva dada por\(F(r) = -kr\). Calcular los promedios de tiempo de las energías cinética y potencial y comparar con los resultados del teorema virial.
9. Supongamos que la órbita de la Tierra es circular y que la masa del Sol disminuye repentinamente en un factor de dos.
   1. ¿Qué órbita tendrá entonces la tierra?
   2. ¿La Tierra escapará del sistema solar?
10. Discutir el movimiento de una partícula en un campo central de fuerza de ley cuadrada inversa para una fuerza superpuesta cuya magnitud es inversamente proporcional al cubo de la distancia desde la partícula hasta el centro de fuerza; es decir\[F(r) = - \frac{k}{r^2} - \frac{\lambda}{r^3} \tag{k, $\lambda$ > 0}\] Mostrar que el movimiento es descrito por una elipse de precesión. Consideremos los casos a)\(\lambda < \frac{l^2}{\mu}\), b)\(\lambda = \frac{l^2}{\mu}\), c)\(\lambda > \frac{l^2}{\mu}\) donde\(l\) está el momento angular y\(\mu\) la masa reducida.
11. Un satélite de comunicaciones se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra a un radio\(R\) y velocidad\(v\). Un cohete dispara accidentalmente de manera bastante repentina, dándole al cohete una velocidad\(v\) hacia afuera además de su velocidad tangencial original\(v\).
    1. Calcular la relación entre la nueva energía y el momento angular con respecto a la antigua.
    2. Describir el movimiento posterior del satélite y la trama\(T(R)\)\(U(r)\), el potencial efectivo neto, y\(E(r)\) después de los disparos del cohete.
12. Dos objetos de punto idénticos, cada uno de masa\(m\) están unidos por una fuerza lineal de dos cuerpos\(F = -kr\) donde\(r\) está la distancia vectorial entre los dos objetos de punto. Los dos objetos puntuales se deslizan cada uno en un plano horizontal sin fricción sujeto a un campo gravitacional vertical\(g\). El sistema de dos cuerpos es libre de trasladar, rotar y oscilar en la superficie del plano sin fricción.
    1. Derivar el Lagrangiano para el sistema completo incluyendo la traslación y el movimiento relativo.
    2. Utilice el teorema de Noether para identificar todas las constantes de movimiento.
    3. Utilice el Lagrangiano para derivar las ecuaciones de movimiento para el sistema.
    4. Derivar el momento generalizado y el correspondiente hamiltoniano.
    5. Derivar el período para pequeñas oscilaciones de amplitud del movimiento relativo de las dos masas.
13. Un sistema estelar binario unido comprende dos estrellas esféricas de masa\(m_1\) y\(m_2\) unidas por su mutua atracción gravitacional. Supongamos que la única fuerza que actúa sobre las estrellas es su atracción de gravitación mutua y deja\(r\) ser la distancia de separación instantánea entre los centros de las dos estrellas donde\(r\) es mucho mayor que la suma de los radios de las estrellas.
    1. Demostrar que el movimiento de dos cuerpos del sistema estelar binario puede ser representado por un sistema equivalente de un cuerpo y derivar el Lagrangiano para este sistema.
    2. Mostrar que el movimiento para el sistema de un solo cuerpo equivalente en el marco del centro de masa se encuentra completamente en un plano y deriva el ángulo entre la normal al plano y el vector de momento angular.
    3. Mostrar si\(H_{cm}\) es una constante de movimiento y si es igual a la energía total.
    4. Se sabe que una solución a la ecuación de movimiento para la órbita equivalente de un solo cuerpo para esta fuerza gravitacional tiene la forma\[\frac{1}{r} = -\frac{\mu k}{l^2} [1+\epsilon \cos \theta]\notag\] y que el momento angular es una constante de movimiento\(L = l\). Utilízalos para demostrar que la fuerza atractiva que conduce a esta órbita ligada es\[\mathbf{F} = \frac{k}{r^2} \hat{\mathbf{r}}\notag\] donde\(k\) debe ser negativa.
14. Al realizar el experimento de Rutherford, Gieger y Marsden dispersaron partículas de\(7.7\)\(MeV\)\(^4\) He (partículas alfa) desde\(^{238}\) U en un ángulo de dispersión en el marco de laboratorio de\(\theta = 90^{\circ}\). Derivar los siguientes observables medidos en el marco de laboratorio.
    1. El ángulo de dispersión de retroceso de la\(^{238}\) U en el marco de laboratorio.
    2. Los ángulos de dispersión del\(^4\) He y la\(^{238}\) U en el marco del centro de masa
    3. Las energías cinéticas del\(^4\) He y\(^{238}\) U en el marco de laboratorio
    4. El parámetro de impacto
    5. La distancia de aproximación más cercana\(r_{\text{min}}\)