13.1: Introducción a la rotación de cuerpo rígido

La rotación de cuerpo rígido ocupa un lugar destacado en la ciencia, la ingeniería y el deporte. Los capítulos anteriores se han centrado principalmente en el movimiento de partículas puntuales. Este capítulo extiende la discusión al movimiento de cuerpos rígidos de tamaño finito. Un cuerpo rígido es una colección de partículas donde las separaciones relativas permanecen rígidamente fijas. En la vida real, siempre hay cierto movimiento entre los átomos individuales, pero generalmente este movimiento microscópico se puede descuidar al describir las propiedades macroscópicas. Nótese que el concepto de rigidez perfecta tiene limitaciones en la teoría de la relatividad ya que la información no puede viajar más rápido que la velocidad de la luz, por lo que las señales no pueden transmitirse instantáneamente entre los extremos de un cuerpo rígido lo que se implica si el cuerpo tenía una rigidez perfecta.

La descripción de la rotación de cuerpo rígido se maneja más fácilmente especificando las propiedades del cuerpo en el marco de coordenadas giratorias fijas mientras que los observables se miden en el marco de coordenadas inerciales estacionarias de laboratorio. En el marco de coordenadas fijo al cuerpo, el principal observable para la mecánica clásica es el tensor de inercia del cuerpo rígido que está bien definido e independiente del movimiento de rotación. Por el contrario, en el marco inercial estacionario los observables dependen sensiblemente de los detalles del movimiento rotacional. Por ejemplo, cuando se observa en el marco fijo estacionario, la rotación rápida de un lápiz cilíndrico largo y delgado alrededor del eje de simetría longitudinal da una forma promediada en el tiempo del lápiz que parece un cilindro delgado, mientras que la forma promediada en el tiempo es un disco plano para rotación alrededor de un eje perpendicular al eje de simetría del lápiz. A pesar de esto, el lápiz siempre tiene el mismo tensor de inercia único en el marco fijo al cuerpo. Por lo tanto, la mejor solución para describir la rotación de un cuerpo rígido es utilizar una matriz de rotación que se transforme del marco fijo estacionario al bastidor instantáneo fijo al cuerpo para lo cual se puede evaluar el momento de inercia del tensor. Además, el problema puede simplificarse en gran medida transformándose en un marco de coordenadas fijo al cuerpo que esté alineado con cualquier eje de simetría del cuerpo ya que entonces el tensor de inercia puede ser diagonal; esto se denomina sistema de eje principal.

La rotación del cuerpo rígido puede dividirse en las dos clasificaciones siguientes.

1) Rotación alrededor de un eje fijo:

Un cuerpo puede restringirse para que gire alrededor de un eje que tenga una ubicación y orientación fijas con respecto al cuerpo. La puerta abatible es un ejemplo típico. La rotación alrededor de un eje fijo es directa ya que el eje de rotación, más el momento de inercia alrededor de este eje, están bien definidos y este caso se discutió en el capítulo\((2.12)\).

2) Rotación alrededor de un punto

Un cuerpo puede restringirse para girar alrededor de un punto fijo del cuerpo, pero la orientación de este eje de rotación alrededor de este punto no está restringida. Un ejemplo es la rotación de un objeto volando libremente en el espacio que puede girar alrededor del centro de masa con cualquier orientación. Otro ejemplo es la peonza de un niño que tiene un punto restringido para tocar el suelo pero la orientación del eje de rotación no está definida.

La discusión previa en el capítulo\((2.12)\) mostró que la rotación rígido-cuerpo es más complicada de lo que se supone en los tratamientos introductorios de rotación rígido-cuerpo. Es necesario ampliar el concepto de momento de inercia al concepto del tensor de inercia, más el hecho de que el momento angular puede no apuntar a lo largo del eje de rotación. El caso más general requiere considerar la rotación alrededor de un punto fijo al cuerpo donde la orientación del eje de rotación no está restringida. El concepto del tensor de inercia de un cuerpo giratorio es crucial para describir el movimiento del cuerpo rígido. Se demostrará que trabajar en el marco de coordenadas fijas al cuerpo de un cuerpo giratorio permite una descripción de las ecuaciones de movimiento en términos del tensor de inercia para un punto dado del cuerpo, y que es posible rotar el sistema de coordenadas fijado al cuerpo en un sistema de eje principal donde el tensor de inercia es diagonal. Para cualquier eje principal, el momento angular es paralelo a la velocidad angular si está alineado con un eje principal. El uso de un sistema de eje principal simplifica enormemente el tratamiento de la rotación de cuerpo rígido y explota el potente y elegante álgebra matricial mencionado en el apéndice\(19.1\).

La siguiente discusión sobre la rotación de cuerpo rígido se divide en tres temas, (1) el tensor de inercia del cuerpo rígido, (2) la transformación entre el sistema de coordenadas giratorias fijas al cuerpo y el marco de laboratorio, es decir, los ángulos de Euler especificando la orientación del marco de coordenadas fijo al cuerpo con respecto al marco de laboratorio, y (3) las ecuaciones de movimiento de Lagrange y Euler para cuerpos rígidos. A esto le sigue una discusión de aplicaciones prácticas.