13.2: Coordenadas de cuerpo rígido

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El movimiento de un cuerpo rígido es un caso especial para el movimiento del sistema\(N\) -body cuando las posiciones relativas de los\(N\) cuerpos están relacionadas. Se demostró en el capítulo\(2\) que el movimiento de un cuerpo rígido puede romperse en una combinación de una traslación lineal de algún punto en el cuerpo, más la rotación del cuerpo alrededor de un eje a través de ese punto. Esto se llama Teorema de Chasles. Así, la posición de cada partícula en el cuerpo rígido se fija con respecto a un punto en el cuerpo. Si se elige el punto fijo del cuerpo para que sea el centro de masa, entonces, como se discutió en el capítulo\(2\), es posible separar la energía cinética, el momento lineal y el momento angular en el movimiento del centro de masa, más el movimiento alrededor del centro de masa. Así, el comportamiento del cuerpo puede describirse completamente utilizando solo seis coordenadas independientes gobernadas por seis ecuaciones de movimiento, tres para traslación y tres para rotación.

Referido a un marco inercial, el movimiento de traslación del centro de masa se rige por

\[\mathbf{F}^{E} = \frac{d\mathbf{P}}{dt}\]

mientras que el movimiento de rotación alrededor del centro de masa está determinado por

\[\mathbf{N}^{E} = \frac{d\mathbf{L}}{dt} \]

donde la fuerza externa\(\mathbf{F}^{E}\) y el par externo\(\mathbf{N}^{E}\) se identifican por separado de las fuerzas internas que actúan entre las partículas en el cuerpo rígido. Se asumirá que las fuerzas internas son centrales y por lo tanto no contribuyen al momento angular.

La ubicación de cualquier punto fijo en el cuerpo, como el centro de masa, puede especificarse mediante tres coordenadas cartesianas generalizadas con respecto a un marco fijo. La rotación del sistema de eje fijo al cuerpo alrededor de este punto fijo en el cuerpo se puede describir en términos de tres ángulos independientes con respecto al bastidor fijo. Existen varios conjuntos posibles de ángulos ortogonales que se pueden utilizar para describir la rotación. Este libro utiliza los ángulos de Euler\(\phi, \theta, \psi\) que corresponden primero a una rotación\(\phi\) alrededor del\(z\) eje, luego una rotación\(\theta\) alrededor del\(x\) eje posterior a la primera rotación, y finalmente una rotación\(\psi\) alrededor del nuevo\(z\) eje después de las dos primeras rotaciones. Los ángulos de Euler se discutirán en detalle después de la introducción del tensor de inercia y el momento angular.