14.2: Dos Osciladores Lineales Acoplados

Considere el oscilador lineal de dos acoplamientos, mostrado en la Figura\(\PageIndex{1}\), que comprende dos masas idénticas cada una conectada a ubicaciones fijas por resortes idénticos que tienen una constante de fuerza\(\kappa\). Un resorte con fuerza constante\(\kappa^{\prime}\) acopla los dos osciladores. Las longitudes de equilibrio de los dos resortes exteriores son\(l\) mientras que la del resorte de acoplamiento es\(l^{\prime}\). El problema se simplifica al restringir el movimiento para estar a lo largo de la línea que conecta las masas y asumiendo puntos finales fijos. Los pequeños desplazamientos de\(m_1\) y\(m_2\) se toman para ser\(x_1\) y\(x_2\) con respecto a las posiciones de equilibrio\(l\) y\(l + l^{\prime}\) respectivamente. La fuerza restauradora en\(m_1\) es\(−\kappa x_1−\kappa^{\prime} (x_1 − x_2)\) mientras que la fuerza restauradora en\(m_2\) es\(−\kappa x_2 − \kappa^{\prime} (x_2 − x_1)\). Este sistema de doble oscilador acoplado exhibe características básicas de los sistemas de osciladores lineales acoplados.

Figura\(\PageIndex{1}\): Dos osciladores lineales acoplados. Las longitudes de resorte de equilibrio son\(l\) para los resortes exteriores y\(l^{\prime}\) para el resorte de acoplamiento. El desplazamiento de las ubicaciones estables viene dado por\(x_1\) y\(x_2\). La separación entre las dos masas es\(r\) y la ubicación del centro de masa es\(R_{cm}\).

Asumiendo\(m_1 = m_2 = m\), entonces las ecuaciones de movimiento son

\[\begin{align} m\ddot{x}_1 + (\kappa + \kappa^{\prime} ) x_1 − \kappa^{\prime} x_2 = 0 \label{14.1} \\ \notag m\ddot{x}_2 + (\kappa + \kappa^{\prime} ) x_2 − \kappa^{\prime} x_1 = 0 \notag\end{align} \]

Supongamos que el movimiento para estas ecuaciones acopladas es oscilatorio con una solución de la forma

\[\begin{align} x_1 = B_1 e^{i\omega t} \label{14.2}\\ x_2 = B_2e^{i\omega t} \notag\notag\end{align}\]

donde las constantes\(B\) pueden ser complejas para tener en cuenta tanto la magnitud como la fase. Sustituir estas posibles soluciones en las ecuaciones de movimiento da

\[\begin{align} −m\omega^2 B_1 e^{i\omega t} + (\kappa + \kappa^{\prime} ) B_1e^{i\omega t} − \kappa^{\prime} B_2e^{i\omega t} = 0 \label{14.3}\\ −m\omega^2B_2 e^{i\omega t} + (\kappa + \kappa^{\prime} ) B_2e^{i\omega t} − \kappa^{\prime} B_1 e^{i\omega t} = 0 \notag\end{align}\]

Recopilar términos, y cancelar el factor exponencial común, da

\[\begin{align} (\kappa + \kappa^{\prime} − m\omega^2) B_1 − \kappa^{\prime} B_2 = 0 \label{14.4} \\ ( \kappa + \kappa^{\prime} − m\omega^2 ) B_2 − \kappa^{\prime} B_1 = 0 \notag\end{align}\]

La existencia de una solución no trivial de estas dos ecuaciones simultáneas requiere que el determinante de los coeficientes de\(B_1\) y\(B_2\) debe desvanecerse, es decir

\[\begin{vmatrix} \kappa + \kappa^{\prime} − m\omega^2 & −\kappa^{\prime} \\ −\kappa^{\prime} & \kappa + \kappa^{\prime} − m\omega^2 \end{vmatrix} = 0 \label{14.5}\]

La expansión de este determinante secular rinde

\[( \kappa + \kappa^{\prime} − m\omega^2 )^2 − \kappa^{\prime 2} = 0 \label{14.6}\]

Resolviendo para\(\omega\) da

\[\omega = \sqrt{\frac{\kappa + \kappa^{\prime} \pm \kappa^{\prime}}{m}} \label{14.7}\]

Es decir, hay dos frecuencias características (o frecuencias propias) para el sistema

\[\omega_1 = \sqrt{\frac{\kappa + 2\kappa^{\prime} }{m}} \label{14.8}\]

\[\omega_2 = \sqrt{\frac{\kappa}{m}} \label{14.9}\]

Dado que la superposición se aplica para estas ecuaciones lineales, entonces la solución general puede escribirse como una suma de los términos que dan cuenta de los dos valores posibles de\(\omega\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Desplazamiento de cada uno de dos osciladores armónicos lineales acoplados con\(\kappa = 4\) and \(\kappa^{\prime} = 1\) in relative units.

La figura\(\PageIndex{2}\) muestra las soluciones para un caso donde\(\kappa = 4\) y\(\kappa^{\prime} = 1\), en unidades arbitrarias, con la condición inicial que\(x_2 = D\), y\(x_1 = \dot{x}_1 = \dot{x}_2 = 0\). Las dos frecuencias características son\(\omega_1 = \sqrt{\frac{6}{m}}\) y\(\omega_2 = \sqrt{\frac{4}{m}}\). El fenómeno de latidos característicos se exhibe donde la envolvente a lo largo de un ciclo completo de la baja frecuencia abarca varias oscilaciones de frecuencia más altas. Es decir, la solución es

\[x_{2}(t)=\frac{D}{4}\left[e^{i \omega_{1} t}+e^{-i \omega_{1} t}+e^{i \omega_{2} t}+e^{-i \omega_{2} t}\right]=D \cos \left[\left(\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}\right) t\right] \cos \left[\left(\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2}\right) t\right] \]

mientras

\[x_{1}(t)=\frac{D}{4}\left[e^{i \omega_{1} t}+e^{-i \omega_{1} t}-e^{i \omega_{2} t}-e^{-i \omega_{2} t}\right]=D \sin \left[\left(\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}\right) t\right] \sin \left[\left(\frac{\omega_{1}-\omega_{2}}{2}\right) t\right]\]

La energía en los osciladores de dos acoplamientos fluye hacia adelante y hacia atrás entre los osciladores acoplados como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{2}\).

Se da una mejor comprensión del flujo de energía que ocurre entre los dos osciladores acoplados mediante el uso de una gráfica de\((x_1, x_2)\) espacio de configuración, que se muestra en la Figura\(14.3.1\). El flujo de energía que se produce entre los dos osciladores acoplados se puede representar eligiendo coordenadas de modo normal\(\eta_1\) y\(\eta_2\) que se rotan\(45^{\circ}\) con respecto a las coordenadas espaciales\((x_1, x_2)\). Estas coordenadas de modo normal\((\eta_1, \eta_2)\) corresponden a los dos modos normales del sistema de doble oscilador acoplado.