14.4: Oscilaciones del Centro de Masa
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Transformar las coordenadas en el centro de masa de las dos masas oscilantes aclara una característica interesante de los modos normales para el oscilador lineal de dos acoplamientos. Como se ilustra en la Figura\((14.2.1)\), la coordenada de centro de masa para el sistema de dos masas es
\[\begin{align*} 2R_{cm} &= l + x_1 + l + l^{\prime} + x_2 \\[4pt] &= 2l + l^{\prime} + \eta_2 \end{align*}\]
mientras que la distancia de separación relativa es
\[r = (l + l^{\prime} + x_2) − (l + x_1) = l^{\prime} − \eta_1\notag\]
Es decir, los dos modos normales son
\[\begin{align} \eta_1 = l^{\prime} − r \\ \eta_2 = 2 R_{cm} − 2l − l^{\prime} \notag\end{align}\]
El\(\eta_1\) modo, que tiene frecuencia angular\(\omega_1 = \sqrt{\frac{\kappa +2\kappa^{\prime}}{M}}\) corresponde a unas oscilaciones de la separación relativa\(r\), mientras que la ubicación del centro de masa\(R_{cm}\) es estacionaria. Por el contrario, el\(\eta_2\) modo, con frecuencia angular\(\omega_2 = \sqrt{\frac{\kappa}{M}}\) corresponde a una oscilación del centro de masa\(R_{cm}\)\(r\) siendo la separación relativa una constante.
La figura\(\PageIndex{1}\) ilustra el centro de masa\(R_{cm}\) desacoplado y los movimientos relativos\(r\) para ambos modos normales del sistema de doble oscilador acoplado. La diferencia en frecuencias angulares y amplitudes es fácilmente evidente. Es de interés considerar el caso especial donde la constante de resorte\(\kappa = 0\) para los dos resortes exteriores. Entonces las frecuencias angulares son\(\omega_1 = \sqrt{\frac{2\kappa^{\prime}}{M}}\) y\(\omega_2 = 0\) para los dos modos normales. Cuando\(\kappa = 0\) el\(\eta_2\) modo es un modo espurio de centro de masa ya que corresponde a una oscilación con\(\omega_2 = 0\) a pesar de que no hay fuerzas que actúen sobre el centro de masa. Es decir, el impulso del centro de masa debe ser una constante de movimiento. Esta oscilación espuria del centro de masa es consecuencia de medir los desplazamientos\((x_1, x_2)\) con respecto a una referencia externa arbitraria que no está relacionada con el centro de masa del sistema acoplado. Los modos espurios de centro de masa se encuentran frecuentemente en sistemas de osciladores acoplados de muchos cuerpos, como moléculas y núcleos. En tales casos es necesario proyectar el movimiento del centro de masas para eliminar soluciones tan espurias como se discutirá más adelante.