14.5: Acoplamiento Débil

Si una de las dos masas de oscilador lineal acopladas se mantiene fija, entonces la otra masa libre oscilará con una frecuencia.

\[\omega_0 = \sqrt{\dfrac{\kappa + \kappa'}{M}} \label{12.18} \]

El efecto del acoplamiento de los dos osciladores es dividir la degeneración de la frecuencia para cada masa a

\[\omega_1 = \sqrt{\dfrac{\kappa + 2\kappa'}{M}} > \omega_0 = \sqrt{\dfrac{\kappa + \kappa'}{M}} > \omega_2 = \sqrt{\dfrac{\kappa}{M}} \label{12.19}\]

Así se rompe la degeneración, y los dos modos normales tienen frecuencias a ambos lados de la frecuencia del oscilador único.

Es interesante considerar el caso donde el acoplamiento es débil porque esta situación ocurre con frecuencia en la naturaleza. El acoplamiento es débil si la constante de acoplamiento\(\kappa' \ll \kappa\). Entonces

\[\omega_1 = \sqrt{\dfrac{\kappa + 2\kappa'}{M}} = \sqrt{\dfrac{\kappa'}{M}} \sqrt{1+4\varepsilon} \label{12.20}\]

donde

\[ \varepsilon \equiv \dfrac{\kappa'}{2\kappa} \ll 1 \label{12.21}\]

Así

\[\omega_1 \approx \sqrt{\dfrac{\kappa}{M}} (1 + 2 \varepsilon) \label{12.22}\]

Se demostró que la frecuencia natural de un solo oscilador era

\[\omega_0 \approx \sqrt{ \dfrac{\kappa + \kappa'}{M}} \approx \sqrt{\dfrac{\kappa }{M}} (1 + \varepsilon) \label{12.23}\]

es decir

\[\sqrt{\dfrac{\kappa }{M}} = \omega_o (1 − \varepsilon) \label{12.24}\]

Así, las frecuencias para los modos normales para acoplamiento débil pueden escribirse como

\[ \begin{align} \omega_1 &= \sqrt{\dfrac{\kappa }{M}} (1 + 2 \varepsilon) \\[5pt] &\approx \omega_0(1 − \varepsilon) (1 + 2\varepsilon) \\[5pt] &\approx \omega_0 (1 + \varepsilon) \label{12.25} \end{align}\]

mientras

\[\omega_2 = \sqrt{ \dfrac{\kappa }{M}} \approx \omega_0 (1 - \varepsilon) \label{12.26}\]

Es decir, las dos soluciones se dividen igualmente espaciadas alrededor del único valor del oscilador desacoplado dado por la Ecuación\ ref {12.23}. Tenga en cuenta que la frecuencia del oscilador único desacoplado\(\omega_0\) depende de la fuerza del acoplamiento\(\kappa'\).

Esta división de las frecuencias características es un rasgo exhibido por muchos sistemas de osciladores\(n\) idénticos donde la mitad de las frecuencias se desplazan hacia arriba y la mitad hacia abajo. Si\(n\) es impar, entonces la frecuencia central no se desplaza como se ilustra para el caso de\(n = 3\). Un ejemplo de este comportamiento es el efecto Zeeman donde el campo magnético acopla el movimiento atómico dando como resultado una división hiperfina de los niveles de energía de la forma ilustrada.

Figura\(\PageIndex{1}\): Frecuencias en modo normal\(n=2\) y osciladores\(n=3\) débilmente acoplados.

Hay innumerables ejemplos que involucran osciladores débilmente acoplados aplicados a instrumentos musicales, física e ingeniería. Los osciladores débilmente acoplados son un tema dominante en toda la biología, como lo ilustran las congregaciones de luciérnagas que parpadean sincrónicamente, grillos que gorjean al unísono, una audiencia aplaudiendo al final de una actuación, redes de células de marcapasos en el corazón, células secretoras de insulina en el páncreas y neuronales redes en el cerebro y la médula espinal que controlan comportamientos rítmicos como respirar, caminar y comer. El movimiento sincrónico de una gran cantidad de osciladores débilmente acoplados a menudo conduce a un gran movimiento colectivo de sistemas débilmente acoplados como se discute en el capítulo\(14.12\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): The Grand Piano

El piano de cola proporciona un excelente ejemplo de un sistema de oscilador armónico débilmente acoplado que tiene modos normales. Hay dos o tres cuerdas paralelas por nota que se estiran estrechamente paralelas a la parte superior de la caja de resonancia horizontal. Las cuerdas presionan hacia abajo sobre el puente que está unido a la parte superior de la caja de resonancia. Las cuerdas de cada nota se excitan cuando son golpeadas verticalmente hacia arriba con un solo martillo. En la sección base del piano cada nota comprende dos cuerdas afinadas casi a la misma frecuencia. El acoplamiento del movimiento de las cuerdas es a través del puente más la caja de resonancia. Normalmente, el martillo golpea ambas cuerdas simultáneamente excitando el modo simétrico vertical, no el modo antisimétrico vertical. El puente está conectado a la caja de resonancia que mueve la mayor cantidad para el modo simétrico donde ambas cuerdas mueven el puente en fase. Este acoplamiento fuerte produce un sonido fuerte. El modo antisimétrico no mueve mucho la caja de resonancia ya que las cuerdas en el puente se mueven fuera de fase. En consecuencia, el modo simétrico, que está fuertemente acoplado a la placa de sonido, amortigua más rápidamente que el modo antisimétrico que está débilmente acoplado a la placa de sonido y, por lo tanto, tiene una constante de tiempo más larga para decaimiento ya que la energía sonora radiada es menor que el modo simétrico.

Figura\(\PageIndex{2}\): Diagrama esquemático de la acción para un piano de cola, incluyendo las cuerdas, el puente y la caja de resonancia. Tenga en cuenta que hay dos o tres cuerdas paralelas por nota, todas golpeadas por un solo martillo.

El pedal una-corda (pedal suave) para un piano de cola mueve la acción lateralmente de tal manera que el martillo golpea solo una de las dos cuerdas, o dos de las tres cuerdas, lo que resulta en que tanto el modo simétrico como el antisimétrico se excitan por igual. El pedal una-corda produce un tono característicamente diferente que cuando el martillo golpea simultáneamente todas las cuerdas; es decir, produce un componente transitorio más pequeño. El modo simétrico se amortigua rápidamente debido a la propagación de energía por la caja de resonancia. Así, el modo antisimétrico de mayor duración se vuelve más prominente cuando ambos modos están igualmente excitados usando el pedal una-corda. Los modos simétrico y antisimétrico tienen frecuencias ligeramente diferentes y producen ritmos que también contribuyen al diferente timbre producido usando el pedal una-corda. Para el rango de frecuencia media y superior, el piano tiene tres cuerdas por nota que tienen un modo simétrico y dos modos antisimétricos separados. Para complicar aún más las cosas, las cuerdas también pueden oscilar horizontalmente que se acopla débilmente al puente más la caja de resonancia. Las fortalezas que excitan estos diferentes modos dependen de sutiles diferencias en la forma y rugosidad de la cabeza del martillo golpeando las cuerdas. Principalmente, el martillo excita los dos modos verticales en lugar de los modos horizontales.

Colaboradores y Atribuciones

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