14.12: Sincronización Colectiva de Osciladores Acoplados

La sincronización colectiva de osciladores acoplados es un fenómeno multifacético donde grandes conjuntos de osciladores acoplados, con frecuencias naturales comparables, se autosincronizan conduciendo a modos de movimiento colectivos coherentes. Los ejemplos biológicos incluyen congregaciones de luciérnagas intermitentes sincrónicas, grillos que gorjean al unísono, una audiencia aplaudiendo al final de una actuación, redes de células de marcapasos en el corazón, células secretoras de insulina en el páncreas, así como redes neuronales en el cerebro y médula espinal que controlan comportamientos rítmicos como respirar, caminar y comer. El Ejemplo 14.13 ilustra una aplicación a núcleos.

Un conjunto de osciladores acoplados tendrá una distribución de frecuencia con un ancho finito. Es interesante dilucidar cómo un conjunto de osciladores acoplados, que tienen una distribución de frecuencia de ancho finito, puede autosincronizar su movimiento a una frecuencia común única, y cómo se mantiene esa sincronización durante largos períodos de tiempo. Las respuestas a estos problemas proporcionan una visión de la dinámica de los osciladores acoplados.

La discusión de los osciladores acoplados ha supuesto\(n\) implícitamente osciladores lineales no amortiguados idénticos que tienen frecuencias naturales idénticas, infinitamente nítidas\(\omega_i\). En la naturaleza, los osciladores acoplados típicos pueden tener una distribución de frecuencia de ancho finito\(g(\omega)\) alrededor de algún valor promedio, debido a la variabilidad natural de los parámetros del oscilador para sistemas biológicos, las tolerancias de fabricación para los osciladores mecánicos o la distribución de frecuencia natural de Lorentzian asociado con el principio de incertidumbre que ocurre incluso para relojes atómicos donde las frecuencias del oscilador son definidas directamente por las constantes físicas. Supongamos que el conjunto de osciladores acoplados tiene una distribución de frecuencia\(g(\omega)\) alrededor de algún valor promedio.

Los osciladores lineales no amortiguados tienen trayectorias elípticas de trayectoria cerrada en el espacio de fase, mientras que la disipación conduce a un atractor en espiral a menos que el sistema sea accionado para preservar la energía total. Como se describe en el capítulo\(4.4\) muchos sistemas en la naturaleza, especialmente los sistemas biológicos, tienen ciclos límite cerrados en el espacio de fase donde la energía perdida por disipación se repone mediante un mecanismo de accionamiento. Los sistemas más simples para entender la sincronización colectiva de osciladores acoplados son aquellos que involucran ciclos límite cerrados en el espacio de fase.

N. Wiener reconoció por primera vez la ubicuidad de la sincronización colectiva en el mundo natural, pero su enfoque matemático, basado en integrales de Fourier, no fue adecuado para este problema. Un enfoque más fructífero fue pionero en 1975 por un estudiante de pregrado A.T. Winfree [Win67] quien reconoció que el comportamiento a largo plazo de un gran conjunto de osciladores de ciclo límite se puede caracterizar en los términos más simples al considerar solo la fase de trayectorias cerradas de fase-espacio. Supuso que el estado instantáneo de un conjunto de osciladores puede ser representado por puntos distribuidos alrededor del diagrama circular de fase-espacio que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Para los osciladores desacoplados estos puntos se distribuirán aleatoriamente alrededor del círculo, mientras que el acoplamiento de los osciladores dará como resultado una correlación espacial de los puntos. Es decir, la dinámica de las fases se puede visualizar como un enjambre de puntos que discurren alrededor del círculo unitario en el plano complejo del diagrama de espacio de fases. El parámetro de orden complejo de este enjambre puede definirse como la magnitud y fase del centroide de este enjambre

\[re^{i\psi} = \frac{1}{N} \sum^{N}_{j=1} e^{i\theta_j} \label{14.122}\]

Figura\(\PageIndex{1}\): Parámetro de orden para osciladores débilmente acoplados.

El centroide del conjunto de puntos en el diagrama de fases tiene una magnitud\(r\), designando el desplazamiento del centroide desde el centro del diagrama de fases circular, y\(\psi\) que es la fase de este centroide. Una distribución uniforme de puntos alrededor del círculo unitario conducirá a un centroide\(r = 0\). El movimiento correlacionado conduce a un agrupamiento de los puntos alrededor de algún valor de fase que conduce a un centroide\(r\) y ángulo distintos de cero\(\psi\). Si el enjambre actúa como un oscilador único completamente acoplado entonces\(r \approx 1\) con una fase apropiada\(\psi\).

El modelo Kuramoto [Kur75, Str00] incorpora la intuición de Winfree mapeando los ciclos límite en un diagrama de fase circular simple e incorporando la dinámica a largo plazo de los osciladores acoplados en términos de las fases relativas para un sistema de campo medio. Es decir, la velocidad angular de la fase\(\dot{\phi}_i\) para el\(i^{th}\) oscilador es

\[\dot{\phi}_i = \omega_i + \sum^{N}_{j=1} \Gamma_{ij} ( \phi_j - \phi_i)\]

Figura\(\PageIndex{2}\): Modelo Kuramoto de sincronización colectiva de osciladores acoplados. Las gráficas izquierda y central muestran la dependencia del tiempo y la fuerza de acoplamiento del parámetro de orden\(r\). La gráfica derecha muestra la dependencia de frecuencia incluyendo el acoplamiento (línea continua) y sin acoplamiento (línea discontinua).

donde\(i = 1, 2,,,N\). Kuramoto reconoció que el acoplamiento de campo medio era el sistema más manejable para resolver, es decir, un sistema donde el acoplamiento es aplicable por igual a todos los osciladores. Además, asumió un acoplamiento sinusoidal puro y ponderado igual para el término de acoplamiento\(\Gamma_{ij} (\theta_j −\theta_i)\) entre los osciladores acoplados. Es decir, asumió

\[\Gamma_{ij} (\phi_j − \phi_i) = \frac{K}{N} \sin (\phi_j − \phi_i) \]

donde\(K \geq 0\) esta la fuerza de acoplamiento, y el factor\(\frac{1}{N}\) asegura que el modelo se comporta bien como\(N \rightarrow \infty\). Kuramoto asumió que la distribución de frecuencias\(g(\omega)\) era unimodular y simétrica sobre la frecuencia media\(\Omega\), es decir\(g(\Omega + \omega) = g(\Omega − \omega)\).

Este problema puede simplificarse explotando la simetría rotacional y transformándose en un marco de referencia que está rotando a una frecuencia angular\(\Omega\). Es decir, utilizar la transformación\(\theta_i = \phi_i − \Omega t\) donde\(\theta_i\) se mide en el marco giratorio. Esto hace\(g(\omega)\) unimodular con una distribución de frecuencia simétrica sobre\(\omega = 0\). La velocidad de fase en este marco giratorio es

\[\dot{\theta}_i = \omega_i + \sum^N_{j=1} \frac{K}{N} \sin(\theta_j − \theta_i) \label{14.125}\]

Kuramoto observó que la distribución fase-espacio se puede expresar en términos de los parámetros de orden\(r, \psi\) en que la Ecuación\ ref {14.122} se puede multiplicar en ambos lados por\(e^{-i\theta_i}\) para dar

\[re^{i(\psi−\theta_i)} = \frac{1}{N} \sum^{N}_{j=1} e^{i(\theta_j−\theta_i)} \]

Equiparar los rendimientos de las partes imaginarias

\[r \sin (\psi − \theta_i) = \frac{1}{N} \sum^{N}_{j=1} \sin (\theta_j − \theta_i) \]

Esto permite que la ecuación\ ref {14.125} se escriba como

\[\dot{\theta}_i = \omega_i + Kr \sin(\psi − \theta_i) \label{14.128}\]

para\(i = 1, 2,,N\). La ecuación\ ref {14.128} refleja el aspecto de campo medio del modelo en que cada oscilador\(\theta_i\) es atraído a la fase del campo medio\(\psi\) en lugar de a la fase de otro oscilador individual.

Las simulaciones mostraron que la evolución del parámetro de orden con fuerza de acoplamiento\(K\) es como se ilustra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Esta simulación muestra (1) para todos\(K\), cuando está por debajo de cierto umbral\(K_c\), el parámetro de orden decae a una fluctuación incoherente como se esperaba para la dispersión aleatoria de\(N\) puntos. (2) Cuando\(K > K_c\) este estado incoherente se vuelve inestable y el parámetro de orden\(r\) crece exponencialmente reflejando la nucleación de pequeños grupos de osciladores que se sincronizan mutuamente. (3) La población de osciladores individuales se divide en dos grupos. Los osciladores cerca del centro de la distribución se bloquean juntos en fase a la frecuencia angular media\(\Omega\) y co-rotan con la fase promedio\(\psi(t)\), mientras que esas frecuencias que se encuentran más lejos del centro continúan girando independientemente a sus frecuencias naturales y deriva en relación con el frecuencia de conglomerado coherente\(\Omega\). Como consecuencia, este estado mixto solo se sincroniza parcialmente como se ilustra en el lado derecho de la Figura\(\PageIndex{2}\). La fracción sincronizada tiene un comportamiento\(\delta\) -función para la distribución de frecuencia que crece en intensidad con un aumento adicional en\(K\). El componente no sincronizado tiene casi la distribución de frecuencia original\(g(\omega)\) excepto que se agota en la región de la frecuencia bloqueada debido a la fuerza absorbida por el componente\(\delta\) -función.

El modelo de juguete de Kuramoto ilustra muy bien las características esenciales de la evolución de la sincronización colectiva con la fuerza del acoplamiento. Se ha aplicado al estudio la sincronización neuronal en el cerebro [Cum07]. El modelo ilustra que la sincronización colectiva de los osciladores acoplados conduce a un componente que tiene una sola frecuencia para el movimiento correlacionado que puede ser mucho más estrecha que la distribución de frecuencia inherente del conjunto de osciladores acoplados.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Collective motion in nuclei

El núcleo es un sistema quántico inusual que implica el movimiento acoplado de los muchos nucleones. Presenta rasgos característicos del oscilador acoplado clásico de muchos cuerpos con acoplamiento entre todos los nucleones de valencia. La estructura nuclear puede describirse mediante un modelo de concha de nucleones individuales unidos en órbitas que interactúan débilmente en un campo medio central que es producido por la atracción sumada de todos los nucleones en el núcleo. Sin embargo, los núcleos también exhiben rasgos característicos de rotación colectiva y vibración de un fluido cuantal. Por ejemplo, en los núcleos pesados\(60\hbar\) se observan hermosas bandas rotacionales hasta girar. Estas bandas rotacionales son similares a las observadas en la estructura rotacional de las moléculas diatómicas. Los núcleos de actínidos también pueden fisionarse en dos grandes fragmentos, lo que es otra manifestación del movimiento colectivo.

La característica general esencial de los osciladores idénticos débilmente acoplados se ilustra mediante las soluciones de los tres osciladores idénticos acoplados linealmente donde el estado más simétrico se desplaza en frecuencia de los estados restantes. Para osciladores\(n\) idénticos, un estado se desplaza significativamente en energía de los estados\(n − 1\) degenerados restantes. Este estado más simétrico es empujado hacia abajo en energía si la fuerza de acoplamiento residual es atractiva, y se empuja hacia arriba si la fuerza de acoplamiento es repulsiva. Este estado simétrico corresponde a la oscilación coherente de todos los osciladores acoplados, y lleva toda la fuerza para el multipolo dominante correspondiente para la fuerza de acoplamiento. En el núcleo este estado corresponde a oscilaciones coherentes de forma de muchos nucleones.

Las débiles correlaciones nucleón-núcleo cuatripolo eléctrico residual y octupolo en las interacciones nucleón-núcleo generan movimiento colectivo cuadrupolo y octupolo en núcleos. La sincronización colectiva de dicha excitación coherente cuadrupolo y octupolo conduce a bandas colectivas de estados, que corresponden al movimiento sincronizado en fase de los protones y neutrones en la concha del oscilador de valencia. Estos modos corresponden a rotaciones y vibraciones alrededor del centro de masa. La atractiva interacción nucleón-núcleo residual acopla las muchas excitaciones de partículas individuales en una cáscara dada produciendo un estado coherente que es empujado hacia abajo en energía lejos de los estados\(n − 1\) degenerados restantes. Este estado coherente implica un movimiento correlacionado de los nucleones que corresponde a una oscilación macroscópica de un fluido cargado. Para núcleos de concha no cerrados como\(^{238}U\), el multipolo cuadrupolo dominante en la interacción nucleón-núcleo residual conduce a que el estado fundamental sea un estado coherente correspondiente a\(\approx 16\) protones más\(\approx 20\) neutrones que oscilan en fase. El movimiento colectivo de los protones cargados conduce a\(E2\) radiación electromagnética con una amplitud de decaimiento de transición que es aproximadamente 16 veces mayor que para un solo protón. Esto corresponde a que la probabilidad de decaimiento radiativo se ve potenciada por un factor\(\approx 256\) relativo a la radiación por un solo protón. Este estado colectivo corresponde a una deformación cuadrupolar macroscópica a bajas energías de excitación que exhibe grados de libertad tanto rotacionales como vibracionales colectivos. Este estado coherente es análogo al flujo correlacionado de moléculas de agua individuales en un maremoto. El término octupolo más débil en la interacción residual conduce a un octupolo [en forma de pera] oscilador acoplado estado coherente que se encuentra ligeramente por encima del estado coherente cuadrupolo. En contraste con el movimiento de rotación de núcleos deformados por cuadrupolo fuertemente deformados, la deformación del octupolo exhibe más propiedades vibracionales que el movimiento rotacional de una onda de marea cargada. La mecánica hamiltoniana, basada en la rutiana\(R_{noncyclic}\), se utiliza para realizar cálculos de modelos teóricos de la estructura nuclear\(^{238}U\) en el marco fijo de cuerpo giratorio para su comparación con los datos experimentales.