14.E: Osciladores lineales acoplados (Ejercicios)

1. Dos partículas, cada una con masa\(m\), se mueven en una dimensión en una región cercana a un mínimo local de la energía potencial donde la energía potencial está dada aproximadamente por\[U = \frac{1}{2} k (7x^2_1 + 4x^2_2 + 4x_1x_2)\nonumber\] donde\(k\) es una constante.

1. Determinar las frecuencias de oscilación.
2. Determinar las coordenadas normales.

2. ¿Qué es la degeneración? ¿Cuándo surge?

3. El Lagrangiano de tres osciladores acoplados viene dado por:\[\sum^3_{n=1} \left[\frac{m\dot{x}^2_n}{2} - \frac{kx^2_n}{2} \right] + k^{\prime}(x_1x_2+x_2x_3).\nonumber\] Find\(x_2(t)\) para las siguientes condiciones iniciales (at\(t = 0\)):\[(x_1, x_2, x_3)=(x_0, 0, 0), :: (\dot{x}_1, \dot{x}_2, \dot{x}_3) = (0, 0, v_0). \nonumber\]

4. Un análogo mecánico de la molécula de benceno comprende una cadena reticular discreta de masas de 6 puntos\(M\) conectadas en un anillo hexagonal plano por 6 resortes idénticos cada uno con constante de resorte\(\kappa\) y longitud\(d\).

1. Enumere los números de onda de las ondas estacionarias longitudinales no amortiguadas permitidas.
2. Calcular la velocidad de fase y la velocidad de grupo para las ondas longitudinales que viajan en el anillo.
3. Determinar la dependencia del tiempo de una onda estacionaria longitudinal para una frecuencia angular\(\omega = 2\omega_{cutoff}\), es decir, el doble de la frecuencia de corte.

5. Consideremos un sistema unidimensional, bimasa y tres muelles gobernado por la matriz\(A\), de\[A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 7 \end{pmatrix}\nonumber\] tal manera que\(Ax = \omega^2x\),

1. Determinar las frecuencias propias y las coordenadas normales.
2. Elija un conjunto de condiciones iniciales de tal manera que el sistema oscile a su frecuencia propia más alta.
3. Determinar las soluciones\(x_1(t)\) y\(x_2(t)\).

6. Cuatro masas idénticas\(m\) están conectadas por cuatro resortes idénticos, constantes de resorte\(\kappa\), y restringidos para moverse en un círculo de radio sin fricción\(b\) como se muestra a la izquierda en la figura.

1. ¿Cuántos modos normales de oscilación pequeña hay?
2. ¿Cuáles son las frecuencias propias de las pequeñas oscilaciones?
3. Describir el movimiento de las cuatro masas para cada frecuencia propia.

Figura\(\PageIndex{1}\)

7. Considere los dos osciladores acoplados idénticos dados a la derecha en la figura asumiendo\(\kappa_1 = \kappa_2 = \kappa\). Deje que ambos osciladores se amortiguen linealmente con una constante de amortiguación\(\beta\). Se\(F = F_0 \cos(\omega t)\) aplica una fuerza a la masa\(m_1\). Anote el par de ecuaciones diferenciales acopladas que describen el movimiento. Obtener una solución expresando las ecuaciones diferenciales en términos de las coordenadas normales. Mostrar que las coordenadas normales\(\eta_1\) y\(\eta_2\) exhiben picos de resonancia a las frecuencias características\(\omega_1\) y\(\omega_2\) respectivamente.

Figura\(\PageIndex{2}\)

8. Como se muestra a la izquierda debajo de la masa\(M\) se mueve horizontalmente a lo largo de un riel sin fricción. Se cuelga un péndulo\(M\) con una varilla ingrávida de longitud\(b\) con una masa\(m\) en su extremo.

1. Demostrar que las frecuencias propias son\[\omega_1 = 0 \quad \omega_2 = \sqrt{\frac{g}{Mb} (M + m)} \nonumber\]
2. Describir los modos normales.

Figura\(\PageIndex{3}\)