15.1: Introducción a la Mecánica Hamiltoniana Avanzada

Este estudio de la mecánica clásica ha implicado escalar una vasta montaña de conocimiento, mientras que el camino hacia la cima nos ha llevado a teorías elegantes y hermosas que subyacen a gran parte de la física moderna. Estar tan cerca de la cumbre brinda la oportunidad de dar algunos pasos adicionales para dar una idea de las aplicaciones a la física en la cumbre. Estos se describen en capítulos\(15 − 18\).

El desarrollo de Hamilton de la mecánica hamiltoniana en 1834 es el logro principal para aplicar principios variacionales a la mecánica clásica. Una ventaja fundamental de la mecánica hamiltoniana es que utiliza las coordenadas conjugadas, más el tiempo\(\mathbf{q}, \mathbf{p}\)\(t\), lo que es una ventaja considerable en la mayoría de las ramas de la física y la ingeniería. En comparación con la mecánica lagrangiana, la mecánica hamiltoniana tiene un arsenal significativamente más amplio de técnicas poderosas que pueden ser explotadas para obtener una solución analítica de las integrales del movimiento para sistemas complicados. Además, la dinámica hamiltoniana proporciona un medio para determinar las variables desconocidas para las cuales la solución asume una forma soluble, y es ideal para el estudio de la física subyacente fundamental en aplicaciones a campos como la física cuántica o estadística. Como consecuencia, la mecánica hamiltoniana se ha convertido en el enfoque variacional preeminente utilizado en la física moderna. Este capítulo introduce las siguientes cuatro técnicas en la mecánica hamiltoniana:

1. la elegante representación del soporte de Poisson de la mecánica hamiltoniana, que desempeñó un papel fundamental en el desarrollo de la teoría cuántica;
2. la poderosa teoría Hamilton-Jacobi junto con el desarrollo de Jacobi de la teoría de la transformación canónica;
3. teoría de variables de ángulo de acción; y
4. teoría de la perturbación canónica.

Antes de un mayor desarrollo de la teoría de la mecánica hamiltoniana, es útil resumir la fórmula principal relevante para la mecánica hamiltoniana que se han presentado en capítulos\(7\),\(8\), y\(9\).

Acción funcional\(S\):

Como se discutió en el capítulo\(9.2\), la mecánica hamiltoniana se basa en la acción funcional de Hamilton

\[S( \mathbf{ q}, \mathbf{ p},t) = \int^{t_2}_{t_1} L( \mathbf{ q}, \mathbf{\dot{q}},t)dt \]

El principio de menor acción de Hamilton establece que

\[\delta S( \mathbf{ q}, \mathbf{ p},t) = \delta \int^{t_2}_{t_1} L( \mathbf{ q}, \mathbf{\dot{q}},t)dt = 0\]

Impulso generalizado\(p\):

En el capítulo\(7.2\), el impulso generalizado (canónico) se definió en términos de lo lagrangiano\(L\) para ser

\[p_i \equiv \frac{\partial L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t)}{ \partial \dot{q}_i} \]

Capítulo\(9.2\) definió el impulso generalizado en términos de la acción funcional\(S\) para ser

\[p_j = \frac{\partial S(\mathbf{q}, \mathbf{p},t)}{\partial q_j} \]

Energía generalizada\(h(\mathbf{q}, \dot{q},t )\):

La Energía Generalizada de Jacobi\(h(\mathbf{q}, \dot{q},t )\) se definió en la ecuación\((7.7.6)\) como

\[h(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t ) \equiv \sum_j \left( \dot{q}_j \frac{\partial L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)}{ \partial \dot{q}_j} \right) − L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t) \]

Función hamiltoniana:

El hamiltoniano\(H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\) se definió en términos de la energía generalizada\(h(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t )\) más el impulso generalizado. Eso es

\[H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) \equiv h(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t ) = \sum_j p_j \dot{q}_j − L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t) = \mathbf{p} \cdot \mathbf{\dot{q}}−L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t) \]

donde\(\mathbf{q}, \mathbf{p}\) corresponden a vectores\(n\) -dimensionales, por ejemplo\(\mathbf{q} \equiv (q_1, q_2, ..., q_n)\) y el producto escalar\(\mathbf{p}\cdot\mathbf{\dot{q}} = \sum_i p_i \dot{q}_i\). Chapter\(8.2\) utilizó una transformación de Legendre para derivar esta relación entre las funciones hamiltoniana y lagrangiana. Obsérvese que mientras que el lagrangiano\(L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)\) se expresa en términos de las coordenadas\(\mathbf{q}\)\(\mathbf{\dot{q}}\), más velocidades conjugadas, el hamiltoniano\(H (\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)\) se expresa en términos de las coordenadas\( \mathbf{ q}\) más sus momentos conjugados\( \mathbf{ p}\). Para los sistemas escleronómicos, además asumiendo el estándar lagrangiano, luego las ecuaciones\((7.9.4)\) y\((7.6.13)\) dan que el hamiltoniano simplifica para igualar la energía mecánica total, es decir,\(H = T + U\).

Teorema de la energía generalizada:

Las ecuaciones de movimiento conducen al teorema de energía generalizada que establece que la dependencia del tiempo del hamiltoniano está relacionada con la dependencia del tiempo del lagrangiano.

\[\frac{dH (\mathbf{q},\mathbf{p},t)}{ dt} = \sum_j \dot{q}_j \left[ Q^{EXC}_j + \sum^m_{k=1} \lambda_k \frac{\partial g_k}{ \partial q_j} (\mathbf{q}, t) \right] − \frac{\partial L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)}{ \partial t} \]

Tenga en cuenta que si todas las fuerzas generalizadas no potenciales y los términos del multiplicador Lagrange son cero, y si el lagrangiano no es una función explícita del tiempo, entonces el hamiltoniano es una constante de movimiento.

Ecuaciones de movimiento de Hamilton:

El capítulo\(8.3\) mostró que una transformación de Legendre más las ecuaciones de Lagrange-Euler llevaron a las ecuaciones de movimiento de Hamilton. Hamilton derivó estas ecuaciones de movimiento directamente de la acción funcional, como se muestra en el capítulo\(9.2\).

\[\dot{q}_j = \frac{\partial H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)}{ \partial p_j} \]

\[\dot{p}_j = −\frac{\partial H}{ \partial q_j} (\mathbf{q}, \mathbf{p},t) + \left[ \sum^{m}_{k=1} \lambda_k \frac{\partial g_k}{ \partial q_j} + Q^{EXC}_j \right] \]

\[\frac{\partial H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) }{\partial t} = −\frac{\partial L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)}{ \partial t} \]

Observe la simetría de las dos ecuaciones canónicas de Hamilton. Las variables canónicas\(p_k,q_k\) se tratan como variables canónicas independientes. Lagrange fue el primero en derivar las ecuaciones canónicas pero no las reconoció como un conjunto básico de ecuaciones de movimiento. Hamilton derivó las ecuaciones canónicas del movimiento a partir de su principio variacional fundamental y las convirtió en la base de una teoría de la dinámica de largo alcance. Las ecuaciones de Hamilton dan ecuaciones diferenciales de\(2s\) primer orden\(p_k,q_k\) para cada uno de los\(s\) grados de libertad. Las ecuaciones de Lagrange dan ecuaciones diferenciales de\(s\) segundo orden para las variables\(q_k,\dot{q}_k\).

Ecuación de Hamilton-Jacobi:

Hamilton utilizó el Principio de Hamilton para derivar la ecuación de Hamilton-Jacobi\((9.2.17)\).

\[\frac{\partial S }{\partial t} + H(\mathbf{q}, \mathbf{p},t)=0 \]

La solución de las ecuaciones de Hamilton es trivial si el hamiltoniano es una constante de movimiento, o cuando se puede identificar un conjunto de coordenadas generalizadas para las cuales todas las coordenadas\(q_i\) son constantes, o son cíclicas (también llamadas coordenadas ignorables). Jacobi desarrolló el marco matemático de las transformaciones canónicas necesarias para explotar la ecuación de Hamilton-Jacobi.