15.S: Mecánica Hamiltoniana Avanzada (Resumen)

Este capítulo ha ido más allá de lo que normalmente se cubre en un curso de licenciatura en mecánica clásica, con el fin de ilustrar el poder del notable arsenal de métodos disponibles para la solución de las ecuaciones de movimiento utilizando la mecánica hamiltoniana. Esto ha incluido la representación del soporte de Poisson de la formulación hamiltoniana de la mecánica, las transformaciones canónicas, la teoría Hamilton-Jacobi, las variables acción-ángulo y la teoría de la perturbación canónica. El propósito fue ilustrar el poder de los principios variacionales en la mecánica hamiltoniana y cómo se relacionan con campos como la mecánica cuántica y la astronomía. A continuación se detallan los puntos clave que se hacen en este capítulo.

Soportes Poisson:

Se introdujo el elegante y poderoso formalismo de soporte de Poisson de la mecánica hamiltoniana. El corchete de Poisson de cualquiera de dos funciones continuas de coordenadas generalizadas\(F(p,q)\) y\(G(p,q)\), se define como

\[\{F, G\}_{pq} \equiv \sum_i \left( \frac{\partial F}{\partial q_i} \frac{\partial G}{\partial p_i} − \frac{\partial F}{\partial p_i} \frac{\partial G}{\partial q_i}\right) \]

Los corchetes fundamentales de Poisson iguales

\[\{q_k, q_l\}=0\]

\[\{p_k, p_l\}=0 \]

\[\{q_k, p_l\} = − \{p_l, q_k\} = \delta_{kl}\]

El corchete de Poisson es invariante a una transformación canónica de\((q, p)\) a\((Q, P)\). Eso es

\[\{F, G\}_{qp} = \sum_k \left( \frac{\partial F}{\partial Q_k} \frac{\partial G}{\partial P_k } − \frac{\partial F}{\partial P_k }\frac{\partial G}{\partial Q_k} \right) = \{F, G\}_{QP} \]

Existe una correspondencia uno a uno entre el conmutador y el soporte de Poisson de dos funciones independientes,

\[(F_1G_1 − G_1F_1) = \lambda \{F_1, G_1\} \]

donde\(\lambda\) es una constante independiente. En particular el\(F_1G_1\) desplazamiento del Bracket de Poisson\(\{F_1, G_1\}=0\).

Representación de Poisson Bracket de la mecánica hamiltoniana:

Se ha demostrado que el formalismo de corchetes de Poisson contiene las ecuaciones hamiltonianas del movimiento y es invariante a las transformaciones canónicas. También este formalismo extiende las ecuaciones canónicas de Hamilton a variables canónicas que no se conmutan. Las ecuaciones de movimiento de Hamilton se pueden expresar directamente en términos de los corchetes de Poisson

\[\dot{q}_k = \{q_k, H\} = \frac{\partial H }{\partial p_k} \]

\[\dot{p}_k = \{p_k, H\} = −\frac{\partial H}{ \partial q_k }\]

Un resultado importante es que la derivada de tiempo total de cualquier operador viene dada por

\[\frac{dG}{dt} = \frac{\partial G}{\partial t} + \{G, H\} \]

Los corchetes de Poisson proporcionan un medio poderoso para determinar qué observables son independientes del tiempo y si diferentes observables se pueden medir simultáneamente con precisión ilimitada. Se demostró que el soporte de Poisson es invariante a las transformaciones canónicas, lo que es una característica valiosa para la mecánica hamiltoniana. Se utilizaron corchetes de Poisson para probar el teorema de Liouville, que juega un papel importante en el uso del espacio de fases hamiltoniano en la mecánica estadística. El soporte Poisson es igualmente aplicable a soluciones continuas en mecánica clásica, así como soluciones discretas en sistemas cuantificados.

Transformaciones canónicas:

Una transformación entre un conjunto canónico de variables\((q,p)\) con hamiltoniano\(H(q,p, t)\) a otro conjunto de variables canónicas\((Q,P)\) con hamiltoniano se\(\mathcal{H}(Q,P, t)\) puede lograr usando una función generadora\(F\) tal que

\[\mathcal{H}(Q,P, t) = H(q,p, t) + \frac{\partial F}{\partial t} \]

Las posibles funciones generadoras se resumen en la siguiente tabla.

Mesa\(\PageIndex{1}\)

Función generadora	Generación de derivados de función	Estuche especial trivial
\(F = F_1 (\mathbf{q}, \mathbf{Q}, t)\)	\(p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q_i} \quad P_i = -\frac{\partial F_1}{\partial Q_i}\)	\(F_1 = q_iQ_i \quad Q_i = p_i \quad P_i = -q_i\)
\(F = F_2 (\mathbf{q}, \mathbf{P}, t) - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P}\)	\(p_i = \frac{\partial F_2}{\partial q_i} \quad Q_i = \frac{\partial F_2}{\partial P_i}\)	\(F_2 = q_iP_i \quad Q_i = q_i \quad P_i = p_i\)
\(F = F_3 (\mathbf{p}, \mathbf{Q}, t) + \mathbf{q} \cdot \mathbf{p}\)	\(q_i = -\frac{\partial F_3}{\partial p_i} \quad P_i = -\frac{\partial F_3}{\partial Q_i}\)	\(F_3 = p_iQ_i \quad Q_i = -q_i \quad P_i = -p_i\)
\(F = F_4 (\mathbf{p}, \mathbf{P}, t) + \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P}\)	\(q_i = -\frac{\partial F_4}{\partial p_i} \quad Q_i = \frac{\partial F_4}{\partial P_i}\)	\(F_1 = p_iP_i \quad Q_i = p_i \quad P_i = -q_i\)

Si la transformación canónica hace\(\mathcal{H}(Q,P, t)=0\) entonces las variables conjugadas\((Q,P)\) son constantes de movimiento. Del mismo modo si\(\mathcal{H}(Q,P, t)\) es una función cíclica entonces las correspondientes\(P\) son constantes de movimiento.

Teoría de Hamilton-Jacobi:

La teoría Hamilton-Jacobi determina la función generadora requerida para realizar transformaciones canónicas que conducen a un método poderoso para obtener las ecuaciones de movimiento para un sistema. La teoría Hamilton-Jacobi utiliza la función de acción\(S \equiv F_2\) como función generadora, y el impulso canónico viene dado por

\[p_i = \frac{\partial S}{ \partial q_i} \]

Esto se puede utilizar para reemplazar\(p_i\) en el hamiltoniano\(H\) conduciendo a la ecuación Hamilton-Jacobi

\[H(q; \frac{\partial S}{ \partial q} ;t) + \frac{\partial S}{ \partial t} = 0\]

Las soluciones de la ecuación de Hamilton-Jacobi se obtuvieron por separación de variables. La estrecha analogía óptico-mecánica de la teoría Hamilton-Jacobi es una ventaja importante de este formalismo que le llevó a jugar un papel fundamental en el desarrollo de la mecánica de olas por Schrödinger.

Variables de ángulo de acción:

Las variables acción-ángulo explotan una transformación canónica desde\((q,p) \rightarrow (\phi , I)\) donde

\[I_i \equiv \frac{1}{ 2\pi} J_i = \frac{1}{ 2\pi} \oint p_i dq_i \]

Para el movimiento periódico, la trayectoria fase-espacio se cierra con el área dada por\(J\) y esta área se conserva para la transformación canónica anterior. Para un hamiltoniano conservado la variable de acción\(I\) es independiente de la variable de ángulo\(\phi \). La dependencia temporal de la variable de ángulo determina\(\phi\) directamente la frecuencia del movimiento periódico sin recurrir al cálculo de la trayectoria detallada del movimiento periódico.

Teoría de la perturbación canónica:

La teoría de la perturbación canónica es un método valioso para manejar interacciones multicuerpo. La invarianza adiabática de las variables acción-ángulo proporciona un enfoque poderoso para explotar la teoría de la perturbación canónica.

Comparación de formulaciones lagrangianas y hamiltonianas:

El notable poder, y la belleza intelectual, proporcionada por el uso de principios variacionales para explotar los principios subyacentes de la economía natural en la naturaleza, ha tenido una larga y rica historia. Ha dado lugar a profundos desarrollos en muchas ramas de la física teórica. Sin embargo, se observa que aunque las formulaciones algebraicas anteriores de la mecánica clásica se han utilizado desde hace más de dos siglos, las importantes limitaciones de estas formulaciones algebraicas a los sistemas no lineales siguen siendo un reto que aún se está abordando.

Se ha demostrado que las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana representan los campos de fuerza vectorial, y las correspondientes ecuaciones de movimiento, en términos de la función lagrangiana\(L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t)\), o la función de acción\(S(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\), que son escalares bajo rotación. La función lagrangiana\(L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t)\) está relacionada con la acción funcional\(S(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\) por

\[S(\mathbf{q},\mathbf{p},t) = \int^{t_2}_{t_1}L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t) dt\label{15.1}\]

Estas funciones son análogas al potencial eléctrico, en que los observables se derivan tomando derivados de la función lagrangiana\(L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t)\) o la función de acción\(S(\mathbf{q},\mathbf{p},t)\). La formulación lagrangiana es más conveniente para derivar las ecuaciones de movimiento para sistemas mecánicos simples. La formulación hamiltoniana tiene un mayor arsenal de técnicas para resolver problemas complicados, además de utilizar las variables canónicas\((q_i, p_i)\) que son las variables de elección para aplicaciones a mecánica cuántica y mecánica estadística.