15.E: Mecánica Hamiltoniana Avanzada (Ejercicios)

1. Los brackets de Poisson son un medio poderoso para dilucidar cuándo los observables son constantes de movimiento y si dos observables pueden medirse simultáneamente con precisión ilimitada. Considerar un hamiltoniano esféricamente simétrico\[H = \frac{1}{2m} \left( p^2_r + \frac{p^{2}_{\theta}}{r^2} + \frac{p^2_{\phi}}{r^2 \sin^2 \theta} \right) + U(r) \nonumber\] para una masa\(m\) donde\(U(r\) es un potencial central. Utilice el soporte de Poisson más la dependencia del tiempo para determinar lo siguiente:

1. ¿\(p_{\phi}\)Viaja con\(H\) y es una constante de movimiento?
2. ¿\(p^2_{\theta} + \frac{p^2_{\phi}}{ \sin^2 \theta }\)Viaja con\(H\) y es una constante de movimiento?
3. ¿\(p_r\)Viaja con\(H\) y es una constante de movimiento?
4. ¿\(p_{\phi}\)Conmuta con\(p_{\theta}\) y qué implica el resultado?

2. Considere los soportes de Poisson para el momento angular\(L\)

1. Espectáculo\(\{L_i, r_j \} = \epsilon_{ijk}r_k \), donde está el tensor Levi-Cevita,\[\epsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \mbox{if } ijk \mbox{ are cyclically permuted}\\ −1 & \mbox{if } ijk \mbox{ are anti-cyclically permuted} \\ 0 & \mbox{if } i = j \mbox{ or } i = k \mbox{ or } j = k \end{cases} \nonumber\]
2. Espectáculo\(\{L_i, p_j \} = \epsilon_{ijk}p_{k}\).
3. Espectáculo\(\{L_i, L_j \} = \epsilon_{ijk}L_k\). La siguiente identidad puede ser útil:\(\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} = \delta_{jl}\delta_{km} − \delta_{jm}\delta_{kl }\).
4. Espectáculo\(\{L_i, L^2 \} = 0 \).

3. Considerar el hamiltoniano de un oscilador armónico bidimensional,\[H = \frac{\mathbf{p}^2 }{2m} + \frac{1 }{2 }m ( \omega^2_1r^2_1 + \omega^2_2r^2_2 ) \nonumber\] ¿Qué condición se satisface si se conserva\(L^2\) una cantidad?

4. Considera el movimiento de una partícula de masa\(m\) en un potencial de oscilador armónico isotrópico\(U = \frac{1}{ 2} kr^2\) y toma el plano orbital para que sea el\(x − y\) plano. El hamiltoniano es entonces\[H \equiv S_0 = \frac{1}{2m}(p^2_x + p^2_y) +\frac{1}{2}k(x^2 + y^2) \nonumber\]

Introducir las tres cantidades

\[S_1 = \frac{1}{2m}(p^2_x − p^2_y) +\frac{1}{2}k(x^2 − y^2) \nonumber\]

\[S_2 = \frac{1}{ m} p_{x}p_{y} + kxy \nonumber\]

\[S_3 = \omega (xp_{y} − yp_{x}) \nonumber\]

con\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\). Use corchetes de Poisson para resolver lo siguiente:

1. \(i = 1, 2, 3\)Demostrar eso\(\{S_0, S_i\}=0\) por probar que\((S_1, S_2, S_3)\) son constantes de movimiento.
2. Demostrar que\[\{S_1, S_2\}=2\omega S_3 \nonumber\]\[\{S_2, S_3\}=2\omega S_1 \nonumber\]\[\{S_3, S_1\}=2\omega S_2 \nonumber\]

de manera que\((2\omega )^{ −1 } (S_1, S_2, S_3)\) tengan las mismas relaciones entre corchetes de Poisson que los componentes de un momento angular tridimensional.

\[S^2_0 = S^2_1 + S^2_2 + S^2_3 \nonumber\]

5. Supongamos que las ecuaciones de transformación entre los dos conjuntos de coordenadas\((q, p)\) y\((Q, P)\) son

\[Q = \ln (1 + q^{\frac{1}{2}} \cos p) \nonumber\]

\[P = 2(1 + q^{\frac{1}{2}} \cos p)q^{\frac{1}{2}} \sin p) \nonumber\]

1. Suponiendo que\(q, p\) son variables canónicas, es decir\([q, p]=1\), mostrar directamente de las ecuaciones de transformación anteriores que\(Q, P\) son variables canónicas.
2. Mostrar que la función generadora que genera esta transformación entre los dos conjuntos de variables canónicas es\[F_3 = −[e^Q − 1]^2 \tan p \nonumber\]

6. Considere un sistema de dos cuerpos unido que comprende una masa\(m\) en una órbita a una\(r\) distancia de una masa\(M\). La fuerza central atractiva que une el sistema de dos cuerpos es

\[\mathbf{F} = \frac{k}{r^2}\mathbf{\hat{r}} \nonumber\]

donde\(k\) es negativo. Use corchetes de Poisson para demostrar que el vector de excentricidad\(A = p\times L+\mu k\hat{r}\) es una cantidad conservada.

7. Consideremos el caso de una sola masa m donde el hamiltoniano\(H =\frac{1}{2}p^2\).

1. Utilizar la función generadora\(S(q, P, t)\) para resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi con la transformación canónica\(q = q(Q, P)\)\(p = p(Q, P)\) y determinar las ecuaciones que relacionan las\((q, p)\) variables con la coordenada transformada y el impulso\((Q, P)\).
2. Si hay un hamiltoniano perturbador\(\Delta H =\frac{1}{2}q^2\), entonces no\(P\) será constante. Expresar el hamiltoniano transformado\(H\) (utilizando la transformación dada anteriormente en términos de\(P\)\(Q\), y\(t\)). Resuelve\(Q(t)\)\(P(t)\) y demuestra que la solución perturbada\(q[Q(t), P(t)]\),\(p[Q(t), P(t)]\) es simple armónica.