16.7: Dinámica de Fluidos Ideal

La distinción entre un sólido y un fluido es que un fluido fluye bajo esfuerzo cortante mientras que la elasticidad de los sólidos se opone a la distorsión y al flujo. El esfuerzo cortante en un fluido es opuesto por fuerzas viscosas disipativas, que dependen de la velocidad, a diferencia de los sólidos elásticos donde el esfuerzo cortante es opuesto por las fuerzas elásticas que dependen del desplazamiento. Un fluido ideal es aquel donde las fuerzas viscosas son insignificantes, y por lo tanto el parámetro Lamé de esfuerzo cortante\(\mu = 0\).

Ecuación de continuidad

La dinámica de fluidos requiere un enfoque filosófico diferente al utilizado para describir el movimiento de un conjunto de cuerpos sólidos conocidos. Las discusiones previas de la mecánica clásica utilizaron, como variables, las coordenadas de cada miembro de un conjunto de partículas con masas conocidas. Este enfoque no es viable para fluidos que involucran una enorme cantidad de átomos individuales como cuerpos fundamentales del fluido. El mejor enfoque filosófico para describir la dinámica de fluidos es emplear mecánica continua utilizando elementos definidos de volumen fijo\(d\tau\) y describir el fluido en términos de variables macroscópicas del fluido como densidad de masa\(\rho \)\(P\), presión y velocidad del fluido\(\mathbf{v}\).

La conservación de la masa fluida requiere que la tasa de cambio de masa en un volumen fijo sea igual a la entrada neta de masa.

\[\frac{d}{dt}\int_{\tau} \rho d\tau + \oint \rho \mathbf{v} \cdot d\mathbf{a} = \mathbf{0} \label{16.80}\]

El uso del teorema de la divergencia\((H2)\) permite que esto se escriba como

\[\int_{\tau} \left( \frac{\partial \rho}{ \partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot (\rho \mathbf{v}) \right) d\tau = 0 \label{16.81}\]

La conservación masiva debe mantenerse para cualquier volumen arbitrario, por lo tanto, la ecuación de continuidad puede escribirse en forma diferencial

\[\frac{\partial \rho}{ \partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot (\rho \mathbf{v})=0 \label{16.82}\]

Ecuación hidrodinámica de Euler

El fluido que rodea un volumen\(\tau\) ejerce una fuerza neta\(\mathbf{F}\) que es igual a la integral superficial de la presión\(\mathbf{P}\). Esta fuerza puede transformarse en un volumen integral de\(\boldsymbol{\nabla}P\). La fuerza neta conducirá entonces a una aceleración del elemento de volumen. Eso es

\[\mathbf{F} = − \oint P d\mathbf{a} = −\int \boldsymbol{\nabla}P d\tau =\int \rho \frac{d\mathbf{v}}{dt} d\tau \label{16.83}\]

Así la densidad de fuerza\(\mathbf{f}\) viene dada por

\[\mathbf{f} = −\boldsymbol{\nabla}\mathbf{P} =\rho \frac{d\mathbf{v}}{dt} \label{16.84}\]

Tenga en cuenta que la aceleración\(\frac{d\mathbf{v}}{dt}\) en la Ecuación\ ref {16.83} se refiere a la velocidad de cambio de velocidad para átomos individuales en el fluido, no a la velocidad de cambio de la velocidad del fluido en un punto fijo en el espacio. Estas dos aceleraciones se relacionan al señalar que, durante el tiempo\(dt\), el cambio en la velocidad\(d\mathbf{v}\) de una partícula de fluido dada se compone de dos partes, a saber

1. el cambio durante\(dt\) la velocidad en un punto fijo en el espacio, y
2. la diferencia entre las velocidades en ese mismo instante en el tiempo en dos puntos desplazados una\(d\mathbf{r}\) distancia entre sí, donde\(d\mathbf{r}\) es la distancia movida por una partícula de fluido dada durante el tiempo\(dt\).

La primera parte viene dada por\(\frac{\partial \mathbf{v}}{ \partial t} dt\) en un punto dado\((x,y,z)\) en el espacio. La segunda parte es igual a

\[dx\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial x} + dy \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial y} + dz \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial z} = (d\mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{v} \label{16.85}\]

Así

\[d\mathbf{v} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} dt + (d\mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{v} \label{16.86}\]

Dividir ambos lados por\(dt\) da que la aceleración de los átomos en el fluido es igual

\[\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{v} \label{16.87}\]

Ecuación sustituta\ ref {16.87} en\ ref {16.84} da

\[\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{v} = −\frac{1}{ \rho} \boldsymbol{\nabla}P \label{16.88}\]

Esta es la ecuación de Euler para la hidrodinámica. Los dos términos de la izquierda representan la aceleración en los componentes individuales del fluido, mientras que el lado derecho enumera la densidad de fuerza que produce la aceleración.

Se pueden agregar fuerzas adicionales al lado derecho. Por ejemplo, la densidad de fuerza gravitacional se\(\rho \mathbf{g}\) puede expresar en términos del potencial escalar gravitacional\(V\) para ser

\[\rho \mathbf{g} = −\boldsymbol{\rho}\boldsymbol{\nabla}V \label{16.89}\]

La inclusión de la densidad de fuerza de campo gravitacional en la ecuación de Euler da

\[\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t }+ (\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{v} = −\frac{1}{ \rho} \boldsymbol{\nabla} (P + \rho V ) \label{16.90}\]

Flujo irrotacional y ecuación de Bernoulli

El flujo aerodinámico corresponde al flujo irrotacional, es decir,\(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}\). Dado que el flujo irrotacional está libre de rizos, las líneas de flujo de velocidad pueden ser representadas por un campo de potencial escalar\(\phi\). Eso es

\[\mathbf{v} = −\boldsymbol{\nabla}\phi \label{16.91}\]

Este campo de potencial escalar se\(\phi\) puede utilizar para derivar el campo de velocidad vectorial para el flujo irrotacional.

Tenga en cuenta que el\((\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{v}\) término en la Ecuación de Euler\ ref {16.90} se puede reescribir usando la identidad vectorial

\[(\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{v} = \frac{1}{ 2} \boldsymbol{\nabla} ( v^2) − \mathbf{v} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{v} \label{16.92}\]

Insertando la Ecuación\ ref {16.92} en la Ecuación de Euler\ ref {16.90} luego da.

\[\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} = \mathbf{v} \times \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{v}−\frac{1}{ \rho} \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{1}{ 2} \rho v^2 + P + \rho V \right) \label{16.93}\]

El flujo potencial corresponde al flujo irrotacional independiente del tiempo, es decir, ambos\(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} = 0\) y\(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{v} = 0\). Para flujo potencial La ecuación\ ref {16.93} se reduce a

\[\boldsymbol{\nabla} \left( \frac{1}{ 2} \rho v^2 + P + \rho V \right) = 0 \nonumber\]

lo que implica que

\[\left( \frac{1}{ 2} \rho v^2 + P + \rho V \right) = \text{ constant} \label{16.94}\]

Esta es la famosa ecuación de Bernoulli que relaciona la interacción de la velocidad del fluido, la presión y la energía gravitacional. La ecuación de Bernoulli juega un papel importante tanto en la hidrodinámica como en la aerodinámica.

Flujo de gas

La dinámica de fluidos aplicada a los gases es una extensión directa de la dinámica de fluidos que emplea conceptos termodinámicos estándar. El siguiente ejemplo ilustra la aplicación de la mecánica de fluidos para calcular la velocidad del sonido en un gas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Acoustic Waves in a Gas

La propagación de ondas acústicas en un gas proporciona un ejemplo de uso de la densidad lagrangiana tridimensional. Solo las ondas longitudinales ocurren en un gas y la velocidad viene dada por la termodinámica del gas. Dejar que el desplazamiento de cada molécula de gas sea designado por la coordenada general\(\mathbf{q}\) con la velocidad correspondiente\(\mathbf{\dot{q}}\). Sea la densidad del gas\(\rho\), entonces la densidad\((KED)\) de energía cinética de un volumen infinitossimal de gas\(\Delta \tau\) viene dada por

\[\Delta (KED) = \frac{1}{ 2} \rho_0 \mathbf{\dot{q}}^2 \nonumber\]

Las rápidas contracciones y expansiones del gas en una onda acústica ocurren adiabáticamente de tal manera que el producto\(P V^{\gamma}\) es una constante, donde

\[\gamma = \frac{\text{specific heat at constant pressure}}{\text{specific heat at constant volume}}. \nonumber\]

Por lo tanto, el cambio en la densidad de energía potencial\(\Delta (PED)\) se da a segundo orden por

\[\Delta (PED) = \frac{1}{\tau_0} \int^{ V_0+\Delta V}_{V_0} P d\tau = \frac{P_0}{\tau_0} \Delta \tau + \frac{1}{ 2\tau_0} \left( \frac{\partial P}{ \partial \tau} \right)_0 (\Delta \tau )^2 = \frac{P_0}{\tau_0} \Delta \tau − \frac{1}{ 2\tau_0} \left( \gamma \frac{P_0}{\tau_0} \right) (\Delta \tau )^2 \nonumber\]

Dado que el volumen y la densidad están relacionados por

\[\tau_o = \frac{M}{\rho_0} \nonumber\]

entonces el cambio fraccionario en la densidad\(\sigma\) se relaciona con la densidad por

\[\rho = \rho_0(1 + \sigma ) \nonumber\]

Esto implica que la densidad de energía potencial\((PED)\) viene dada por

\[\Delta (PED) = \left[ P_0\sigma + \gamma \frac{P_0}{ 2} \sigma^2 \right] \nonumber\]

La masa que fluye fuera del volumen\(V_0\) debe ser igual al cambio fraccionario en la densidad del volumen, es decir

\[\rho_0\int \mathbf{q} \cdot \mathbf{dS} = −\boldsymbol{\rho}_0 \int \sigma d\tau \nonumber\]

El teorema de la divergencia da que

\[\int \mathbf{q} \cdot \mathbf{dS} =\int \nabla \cdot \mathbf{q} d\tau = −\int \sigma d\tau \nonumber\]

Así la densidad\(\sigma \) viene dada por menos la divergencia de\(\mathbf{q}\)

\[\sigma = −\nabla \cdot \mathbf{q} \nonumber\]

Esto permite que la densidad de energía potencial se escriba como

\[\Delta (PED) = −P_0\nabla \cdot \mathbf{q} + \frac{\gamma P_0}{ 2} (\nabla \cdot \mathbf{q})^2 \nonumber\]

Combinando la densidad de energía cinética y la densidad de energía potencial da la densidad lagrangiana completa para que una onda acústica en un gas sea

\[\mathfrak{L} = \frac{1}{2} \rho_0 \mathbf{\dot{q}}^2 + P_0 \nabla \cdot \mathbf{q} − \frac{\gamma P_0}{ 2} (\nabla \cdot \mathbf{q})^2 \nonumber\]

Insertar esta densidad lagrangiana en las ecuaciones correspondientes de movimiento, ecuación\((16.3.16)\), da que

\[\nabla^2\mathbf{q}− \frac{\rho_0}{ \gamma P_0} \frac{d^2\mathbf{q}}{ dt^2} = 0 \nonumber\]

donde\(P_0\) y\(\rho_0\) son la presión ambiente y densidad del gas. Esta es la ecuación de onda donde la velocidad de fase del sonido viene dada por

\[v_{phase} = \sqrt{\frac{\gamma P_0}{ \rho_0}} \nonumber\]