16.8: Dinámica de fluidos viscosos

La dinámica de fluidos viscosos es una rama de la mecánica clásica que juega un papel fundamental en una amplia gama de aspectos de la vida, como el flujo sanguíneo en la anatomía humana, el clima, la ingeniería hidráulica y el transporte por tierra, mar y aire. El flujo de fluido viscoso proporciona naturalezas la manifestación más común de no linealidad y turbulencia en la mecánica clásica, y proporciona una excelente ilustración de posibles soluciones de ecuaciones de movimiento no lineales introducidas en el capítulo\(4\). Una descripción detallada de las turbulencias sigue siendo un problema desafiante y este tema tiene la reputación de ser el último gran problema sin resolver en la mecánica clásica. Hay una historia apócrifa que se le preguntó a Werner Heisenberg, si se le daba la oportunidad, qué le gustaría preguntarle a Dios. Su respuesta fue “Cuando encuentre a Dios, le voy a hacer dos preguntas: ¿Por qué la relatividad? y ¿por qué turbulencia? , realmente creo que sólo tendrá una respuesta a la primera”.

A diferencia de los sólidos, los fluidos no tienen fuerzas de restauración elásticas para soportar la tensión de cizallamiento debido a que el fluido fluye. Las tensiones cortantes en los fluidos son equilibradas por fuerzas viscosas que dependen de la velocidad. Hay dos mecanismos que conducen a un esfuerzo cortante que actúa entre las capas de fluido adyacentes en movimiento relativo. El primer mecanismo implica un flujo laminar donde las fuerzas viscosas producen esfuerzo cortante entre capas adyacentes del fluido que se mueven paralelas a lo largo de líneas de corriente adyacentes a diferentes velocidades. Las fuerzas viscosas generalmente dominan el flujo laminar. Los fluidos de alta viscosidad como la miel presentan flujo laminar y son más difíciles de agitar o verter en comparación con los fluidos de baja viscosidad como el agua. El segundo mecanismo implica flujo turbulento donde el esfuerzo cortante se debe a la transferencia de impulso entre capas adyacentes cuando el flujo se rompe en estructuras de vórtice coherentes a gran escala que transportan la mayor parte de la energía cinética Estos remolinos conducen a un movimiento transversal que transfiere impulso más calor entre capas adyacentes y conduce a un mayor arrastre. El vórtice de punta de ala producido por la punta del ala de una aeronave es un ejemplo de una estructura de vórtice coherente, a gran escala y dinámicamente distinta que tiene un impulso angular considerable y decae por fragmentación en una cascada de estructuras de menor escala.

Ecuación de Navier-Stokes

Las fuerzas viscosas que actúan sobre las estructuras coherentes a pequeña escala eventualmente disipan la energía en movimiento turbulento. La resistencia viscosa se puede manejar en términos de un tensor de tensión\(\mathbf{T}\) análogo a su uso cuando se tienen en cuenta las fuerzas elásticas restauradoras en elasticidad como se discute en el capítulo\(16.5.3\). Es decir, la densidad de fuerza viscosa está relacionada con la desaceleración del elemento de volumen por

\[\frac{\partial}{ \partial t} (\rho \mathbf{v}) = −\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T} \label{16.95}\]

donde están los componentes del tensor de tensión

\[T_{ki} = T_{ik} = P \delta_{ik} + \rho v_i v_k \label{16.96}\]

Tenga en cuenta que el tensor de tensión da el tensor de densidad de flujo de momento, lo que implica un término diagonal proporcional a la presión\(P\), más un término de arrastre viscoso que es proporcional al producto de dos velocidades.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son las ecuaciones fundamentales que caracterizan el flujo de fluido. Se basan en la aplicación de la segunda ley de movimiento de Newton a los fluidos junto con la suposición de que la tensión fluida es la suma de un término viscoso difuso más un término de presión. Combinando la ecuación de Euler\((16.7.11)\),, con\ ref {16.95} da la ecuación de Navier-Stokes

\[\rho \left[ \frac{\partial \mathbf{v}}{ \partial t} + \mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} \right] = −\boldsymbol{\nabla}P + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{ }T+\mathbf{f} \label{16.97}\]

donde\(\rho\) está la densidad del fluido,\(\mathbf{v}\) es el vector de velocidad de flujo,\(P\) la presión,\(\mathbf{T}\) es el término de arrastre viscoso del tensor de esfuerzo cortante, y\(\mathbf{f}\) representa las fuerzas externas del cuerpo por unidad de volumen como la gravedad que actúa sobre el fluido. Para flujo incompresible el término tensor de tensión se simplifica a\(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T} =\mu \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{v}\). Entonces la ecuación de Navier-Stokes simplifica a

\[\rho \left[ \frac{\partial \mathbf{v}}{ \partial t} + \mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} \right] = −\boldsymbol{\nabla}P + \mu \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{v}+\mathbf{f} \label{16.98}\]

donde\(\mu \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{v}\) es el término de arrastre de viscosidad. El lado izquierdo de la Ecuación\ ref {16.98} representa la tasa de cambio de impulso por unidad de volumen mientras que el lado derecho representa la suma de las fuerzas por unidad de volumen que están actuando.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son no lineales debido al\((\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{v}\) término además de ser una función de la velocidad. Esta no linealidad conduce a un amplio espectro de comportamiento dinámico que va desde el flujo laminar ordenado hasta la turbulencia caótica. La solución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes es extremadamente difícil debido al amplio rango dinámico de las dimensiones de las estructuras coherentes involucradas en el movimiento turbulento. Por ejemplo, los cálculos de simulación requieren el uso de una malla de alta resolución que es un desafío para las capacidades de las computadoras de generación actual.

La condición de límite microscópico en la interfaz del sólido y el fluido es que las moléculas de fluido tienen una velocidad tangencial promedio cero en relación con la normal a la interfaz sólido-fluido. Esto implica que existe una capa límite para la cual existe un gradiente en la velocidad tangencial del fluido entre la interfaz sólido-fluido y la velocidad de vapor libre. Este gradiente de velocidad produce vorticidad en el fluido. Cuando las fuerzas viscosas son insignificantes, el momento angular en cualquier estructura de vórtice coherente se conserva, lo que lleva a que el movimiento del vórtice se conserve a medida que se propaga.

Número de Reynolds

El flujo de fluido se puede caracterizar por el número de Reynolds Re que es un número adimensional que es una medida de la relación entre las fuerzas inerciales y\(\rho v^2/L\) las fuerzas viscosas\(\mu v/L^2\). Es decir,

\[\text{Re} \equiv \frac{\text{Inertial forces}}{\text{Viscous forces}} = \frac{\rho vL}{ \mu} = \frac{vL}{ \eta} \label{16.99}\]

donde\(v\) es la velocidad relativa entre el flujo de fluido libre y la superficie sólida,\(L\) es una dimensión lineal característica,\(\mu\) es la viscosidad dinámica del fluido,\(\eta\) es la viscosidad cinemática\((\eta = \frac{\mu }{\rho} )\), y\(\rho\) es la densidad del fluido. La Ley de Similaridad implica que en un número de Reynolds dado, para un cuerpo sólido conformado específico, el flujo de fluido se comporta de manera idéntica independiente del tamaño del cuerpo. Por lo tanto, se pueden usar modelos pequeños en túneles de viento, o tanques de flujo de agua, para modelar con precisión el flujo de fluido que se puede escalar hasta una aeronave o embarcaciones de tamaño completo escalando\(v\) y\(L\) para dar el mismo número de Reynolds.

Flujo de fluido laminar y turbulento

El flujo de fluido sobre un cilindro ilustra las características generales del flujo de fluido. La fuerza de arrastre\(F_D\) que actúa sobre un cilindro de diámetro\(D\) y longitud\(l\), con el eje cilíndrico perpendicular al flujo de fluido, viene dada por

\[F_D = \frac{1}{ 2} \rho v^2C_D Dl \label{16.100}\]

donde\(C_D\) está el coeficiente de arrastre. La figura\(\PageIndex{1 upper}\) muestra la dependencia del coeficiente\(C_D\) de arrastre en función del número de Reynolds, para el flujo de fluido que es transversal a un cilindro circular liso. La parte inferior de la Figura\(\PageIndex{1}\) muestra las líneas de flujo alrededor del cilindro en varios números de Reynolds para los puntos identificados por las letras\(A\),,\(B\),\(C\)\(D\), y\(E\) en la gráfica del coeficiente de arrastre versus el número de Reynolds para un cilindro liso.

Figura\(\PageIndex{1}\): Superior: La dependencia del coeficiente de arrastre\(C_D\) sobre el número de Reynolds Re para el flujo de fluido perpendicular a un cilindro circular liso de diámetro\(D\) y longitud\(l\). Inferior: Patrones de flujo típicos para el flujo que pasa por un cilindro circular en varios números de Reynolds como se indica en la figura superior.

A) A bajas velocidades, donde Re\(\leq 1\), el flujo es laminar alrededor del cilindro en que la baja vorticidad es amortiguada por las fuerzas viscosas y el\(\frac{\partial \mathbf{v}}{ \partial t}\) término en la Ecuación\ ref {16.98} puede ser ignorado. El coeficiente de arrastre\(C_D\) varía inversamente con Re conduciendo a las fuerzas de arrastre que son aproximadamente lineales con la velocidad como se describe en el capítulo\(2.10.5\). El tamaño y las velocidades de las gotas de lluvia en una lluvia ligera corresponden a tales números de Reynolds.

B) Para\(10 < \text{Re} < 30\) el flujo tiene dos vórtices turbulentos inmediatamente detrás del cuerpo en la estela del cilindro, pero el flujo sigue siendo principalmente laminar como se ilustra.

C) Para\(40 < \text{Re} < 250\) el par de vórtices se desprenden alternativamente produciendo una secuencia periódica regular de vórtices aunque el flujo aún es laminar. Esta lámina de vórtice se denomina lámina de vórtice de von Kármán para la cual la velocidad en una posición dada, relativa al cilindro, depende del tiempo en contraste con la situación en números de Reynolds más bajos.

D) Para las fuerzas\(10^3 < \text{Re} < 10^5\) viscosas son despreciables en relación con los efectos inerciales de los vórtices y los vórtices de capa límite tienen menos tiempo para difundirse en la región más grande del fluido, por lo que la capa límite es más delgada. El flujo de capa límite exhibe una turbulencia caótica a pequeña escala en tres dimensiones superpuestas sobre estructuras de vórtice alternas regulares. En este rango\(C_D\) es aproximadamente constante y así las fuerzas de arrastre son proporcionales al cuadrado de la velocidad. Este régimen de números de Reynold corresponde a las velocidades típicas de los automóviles en movimiento.

E) Para Re\(\approx 10^6\), que es típico de una aeronave voladora, dominan los efectos inerciales excepto en la capa límite estrecha cercana a la interfaz sólido-fluido. La región caótica se abre camino más adelante en el cilindro reduciendo el volumen de la capa límite turbulenta caótica lo que resulta en una disminución significativa en\(C_D\). Para un ala de velero que vuela aproximadamente\(50\)\(knots\), la capa límite en el borde de ataque del cilindro se reduce al orden de un milímetro de grosor en el borde de ataque y un centímetro en el borde de salida. En estos números de Reynold, el flujo de aire comprende una capa límite delgada, donde los efectos viscosos son importantes, más el flujo de fluido en la mayor parte del fluido donde dominan los términos inerciales del vórtice y las fuerzas viscosas pueden ignorarse. Es decir, el término tensor de tensión viscosa\(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T}\), en el lado derecho de la Ecuación\ ref {16.97}, puede ignorarse, y la ecuación de Navier-Stokes se reduce a la ecuación de Euler más simple para tal flujo de fluido inviscido.

La importancia de la inercia de los vórtices se ilustra por la persistencia de la estructura del vórtice y la turbulencia en un amplio rango de escalas de longitud características del flujo turbulento. El rango dinámico de la dimensión de las estructuras de vórtices coherentes es enorme. Por ejemplo, en la atmósfera el tamaño del vórtice varía desde\(10^5\)\(m\) el diámetro para los huracanes hasta\(10^{−3}\)\(m\) en capas límite delgadas adyacentes al ala de un avión. La transición de flujo laminar a turbulento se ilustra por el flujo de agua sobre el casco de un barco que implica un flujo laminar en la proa seguido por un flujo turbulento detrás de la ola de proa y en la popa del barco. La amplia extensión de la espuma blanca de agua de mar a lo largo del costado y la popa de un barco ilustra la considerable disipación de energía producida por la turbulencia. La capa límite de un ala de avión estancado es otro ejemplo. En un ángulo de ataque alto, el flujo de aire en la superficie inferior del ala permanece laminar, es decir, el perfil de velocidad de la corriente, en relación con el ala, aumenta suavemente desde cero en la superficie del ala hacia afuera hasta que se encuentra con la velocidad del aire ambiente en la superficie exterior de la capa límite que es del orden de a milímetro de espesor. El flujo en la superficie superior del ala inicialmente es laminar antes de volverse turbulento, punto en el que la capa límite aumenta rápidamente de grosor. Más atrás, el flujo de aire se separa de la superficie del ala y las estructuras de vórtice a gran escala conducen a una capa límite ancha comparable en grosor a la cuerda del ala con movimiento de vórtice que conduce al flujo de aire invirtiendo su dirección adyacente a la superficie superior del ala, lo que aumenta enormemente la resistencia. Cuando los vórtices comienzan a desprenderse de la superficie acotada lo hacen a cierta frecuencia lo que puede provocar vibraciones que pueden conducir a fallas estructurales si la frecuencia de los vórtices de desprendimiento es cercana a la frecuencia de resonancia de la estructura.

Los aerodinamistas e hidrodinamistas gastan un tiempo y esfuerzo considerables diseñando alas de aviones y cascos de barcos para maximizar la longitud de la región laminar de la capa límite y minimizar la resistencia. Cuando el número de Reynolds es grande, las más mínimas imperfecciones en la forma del ala, como una mota de polvo, pueden desencadenar la transición de flujo laminar a flujo turbulento. Los límites entre estructuras coherentes adyacentes a gran escala se identifican sensiblemente en simulaciones por computadora por gran divergencia de las líneas de racionalización en cualquier separatriz. Un gran exponente positivo de Lyapunov, de tiempo finito, identifica la divergencia de las líneas de racionalización que ocurre en una separatriz entre estructuras de vórtices coherentes adyacentes a gran escala, mientras que los exponentes de Lyapunov son negativos para líneas de racionalización convergentes dentro de cualquier estructura coherente. Los cálculos de flujo turbulento a menudo combinan el uso de exponentes de Lyapunov de tiempo finito para identificar estructuras coherentes, además de la mecánica lagrangiana para las ecuaciones de movimiento ya que el lagrangiano es una función escalar, es independiente del marco y da resultados mucho mejores para el movimiento fluido que usar newtoniano mecánica. Así, el enfoque lagrangiano en la continua es ampliamente utilizado para cálculos en aerodinámica, hidrodinámica y estudios de fenómenos atmosféricos como convección, huracanes, tornados, etc.