16.9: Resumen e implicaciones

El objetivo de este capítulo es proporcionar una visión de la mecánica clásica de la continua que introduce las formulaciones de densidad lagrangiana y densidad hamiltoniana de la mecánica clásica.

Formulación de densidad lagrangiana

En tres dimensiones la densidad lagrangiana\(\mathfrak{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q}}{ dt} ,\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q}, x, y, z, t)\) se relaciona con la lagrangiana\(L\) tomando el volumen integral de la densidad lagrangiana.

\[L = \int \mathfrak{L}(\mathbf{q}, \frac{d\mathbf{q} }{dt }, \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q}, x, y, z, t)d\tau \label{16.21}\]

La aplicación del principio de Hamilton a la densidad lagrangiana tridimensional conduce al siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales de movimiento

\[\frac{\partial}{\partial t }\left(\frac{ \partial \mathfrak{L}}{\frac{ \partial \mathbf{q} }{\partial t}} \right) + \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{ \partial \mathfrak{L}}{\frac{ \partial \mathbf{q} }{\partial x}} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{ \partial \mathfrak{L}}{\frac{ \partial \mathbf{q} }{\partial y}} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{ \partial \mathfrak{L}}{\frac{ \partial \mathbf{q} }{\partial z}} \right) − \frac{\partial \mathfrak{L}} {\partial \mathbf{q}} = 0 \label{16.22}\]

Formulación de densidad hamiltoniana

En el límite de que las coordenadas\(q,p\) son continuas, entonces la densidad hamiltoniana se puede expresar en términos de una integral de volumen sobre la densidad de momento\(\pi\) y la densidad lagrangiana\(\mathfrak{L}\) donde

\[\boldsymbol{\pi} \equiv \frac{\partial \mathfrak{L}}{ \partial \mathbf{\dot{q}}} \label{16.27}\]

Entonces la definición obvia de la densidad hamiltoniana\(\mathfrak{H}\) es

\[H = \int \mathfrak{H} dV = \int (\boldsymbol{\pi} \cdot \mathbf{\dot{q}} - \mathfrak{L}) d\tau \label{16.28}\]

donde la densidad hamiltoniana viene dada por

\[\mathfrak{H} =\boldsymbol{\pi} \cdot \mathbf{\dot{q}} − \mathfrak{L} \label{16.29}\]

Estas formulaciones de densidad lagrangiana y hamiltoniana son de considerable importancia para la teoría de campo y la mecánica de fluidos.

Sólidos elásticos lineales

La teoría de sistemas continuos se aplicó al caso de sólidos elásticos lineales. El tensor de tensión\(\mathbf{T}\) es un tensor de rango 2 definido como la relación entre el vector de fuerza\(d\mathbf{F}\) y el vector de elemento de superficie\(d\mathbf{A}\). Es decir, el vector de fuerza viene dado por el producto interno del tensor de tensión\(\mathbf{T}\) y el vector de elemento de superficie\(d\mathbf{A}\).

\[d\mathbf{F} = \mathbf{T}\cdot d\mathbf{A} \label{16.33}\]

El tensor de cepa\(\boldsymbol{\sigma}\) también es un tensor de rango 2 definido como la relación entre el vector de cepa\(\boldsymbol{\xi}\) y el área infinitesimal\(d\mathbf{A}\).

\[d\boldsymbol{\xi} = \boldsymbol{\sigma}\cdot d\mathbf{A} \label{16.38}\]

donde la forma componente del tensor de tensión de rango 2 es

\[\boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{ 2 } \begin{vmatrix} \frac{d\xi_1 }{dx_1} & \frac{d\xi_1}{ dx_2} & \frac{d\xi_1 }{dx_3} \\ \frac{d\xi_2}{ dx_1} & \frac{d\xi_2 }{dx_2} & \frac{d\xi_2 }{dx_3} \\ \frac{d\xi_3}{ dx_1} & \frac{d\xi_3}{ dx_2 } & \frac{d\xi_3}{ dx_3} \end{vmatrix} \label{16.39}\]

El módulo de elasticidad se define como la pendiente de la curva tensión-deformación. Para materia lineal, homogénea y elástica, la densidad de energía potencial se\(U\) separa en componentes diagonales y fuera de la diagonal del tensor de tensión

\[U = \frac{1}{2} \left[ \lambda \sum_i (\sigma_{ii})^2 + 2\mu \sum_{ik} (\sigma_{ik})^2 \right] \label{16.42}\]

donde las constantes\(\lambda\) y\(\mu\) son los módulos de elasticidad de Lamé que son positivos. El tensor de tensión está relacionado con el tensor de tensión por

\[T_{ij} = \lambda \delta_{ij} \sum_k \frac{\partial\xi_k }{\partial x_k} + \mu \left( \frac{d\xi_i}{ dx_j } + \frac{d\xi_j}{ dx_i} \right) = \lambda \delta_{ij} \sum_k \sigma_{kk} + 2\mu \sigma_{ij} \label{16.43}\]

Teoría del campo electromagnético

El tensor de tensión Maxwell de rango 2\(\mathbf{T}\) tiene componentes

\[T_{ij} \equiv \epsilon_0 \left( E_iE_j − \frac{1}{2} \delta_{ij}E^2 \right) + \frac{1 }{\mu_0} \left( B_iB_j − \frac{1}{2} \delta_{ij}B^2 \right) \label{16.71}\]

El teorema de divergencia permite que la fuerza electromagnética total, actuando del volumen\(\tau\), sea escrita como

\[\mathbf{F}= \int \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T} −\epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \mathbf{S} }{\partial t} \right) d \tau = \oint \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a}−\epsilon_0\mu_0 \frac{d}{dt} \int \mathbf{Sd}\boldsymbol{\tau} \label{16.74}\]

La densidad de flujo de momento total viene dada por

\[\frac{\partial}{ \partial t} (\boldsymbol{\pi}_{mech} + \boldsymbol{\pi}_{field}) = \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T} \label{16.79}\]

donde la densidad de momento del campo electromagnético viene dada por el vector Poynting\(\mathbf{S}\) como\(\boldsymbol{\pi}_{field}=\epsilon_0 \mu_0 \mathbf{S}\).

Dinámica de fluidos ideal

La conservación masiva conduce a la ecuación de continuidad

\[\frac{\partial \rho }{ \partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot (\rho \mathbf{v})=0 \label{16.82}\]

La ecuación hidrodinámica de Euler da

\[\frac{\partial \mathbf{v} }{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{v} = −\frac{1}{ \rho} \boldsymbol{\nabla} (P + \rho V ) \label{16.90}\]

donde\(V\) está el potencial gravitacional escalar. Si el flujo es irrotacional e independiente del tiempo, entonces

\[\left(\frac{1}{ 2} \rho v^2 + P + \rho V \right) = \text{ constant} \label{16.94}\]

Dinámica de fluidos viscosos

Para flujo incompresible el término tensor de tensión se simplifica a\(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{T} =\mu \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{v}\). Entonces la ecuación de Navier-Stokes se convierte en

\[\rho \left[ \frac{\partial \mathbf{v} }{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} \right] = −\boldsymbol{\nabla}P + \mu \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{v}+ \mathbf{f} \label{16.98}\]

donde\(\mu \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{v}\) es el término de arrastre de viscosidad. El lado izquierdo de la Ecuación\ ref {16.98} representa la tasa de cambio de impulso por unidad de volumen mientras que el lado derecho representa la suma de las fuerzas por unidad de volumen que están actuando.

El número de Reynolds es un número adimensional que caracteriza la relación de fuerzas inerciales a fuerzas viscosas en un medio viscoso. Se discutió la evolución del flujo de flujo laminar a flujo turbulento, con incremento del número de Reynolds.

La mecánica clásica de los campos continuos abarca una gama notablemente amplia de fenómenos con aplicaciones importantes al flujo de fluido laminar y turbulento, gravitación, electromagnetismo, relatividad y campos cuánticos.