17.S: Mecánica Relativista (Resumen)

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Teoría Especial de la Relatividad

La Teoría Especial de la Relatividad se basa en los postulados de Einstein;

Las leyes de la naturaleza son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales.
La velocidad de la luz en vacío es la misma en todos los marcos inerciales de referencia.

Para un fotograma cebado que se mueve a lo largo del\(x_1\) eje con velocidad, los postulados de\(v\) Einstein implican las siguientes transformaciones de Lorentz entre los fotogramas móviles (cebados) y estacionarios (no cebados)

Mesa\(\PageIndex{1}\)
\(x^{\prime} = \gamma (x − vt)\)	\(x = \gamma (x^{\prime} + vt^{\prime} )\)
\(y^{\prime} = y\)	\(y = y^{\prime}\)
\(z^{\prime} = z\)	\(z = z^{\prime}\)
\(t^{\prime} = \gamma \left( t + \frac{vx }{c^2}\right)\)	\(t = \gamma \left( t ^{\prime} + \frac{vx^{\prime}}{c^2}\right)\)

donde el\(\gamma\) factor Lorentz\( \gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\)

Las transformaciones de Lorentz se utilizaron para ilustrar la contracción de Lorentz, la dilatación del tiempo y la simultaneidad. Se realizó una revisión elemental de la cinemática relativista, incluyendo discusión sobre la transformación de la velocidad, el momento lineal, el marco del centro de momento, las fuerzas y la energía.

Geometría del espacio-tiempo

Se introdujeron los conceptos de espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Una discusión de los productos escalares de cuatro vectores introdujo el uso de tensores contravariantes y covariantes más la métrica de Minkowski\(g\) donde se definió el producto escalar. También se introdujeron la representación Minkowski del espacio-tiempo y el vector momento-energía cuatro.

Formulación invariante de Lorentz de mecánica lagrangiana

El formalismo lagrangiano extendido invariante de Lorentz, desarrollado por Struckmeier [Str08], basado en el enfoque paramétrico pionero por Lanczos [La49], proporciona una extensión viable invariante de Lorentz de la mecánica lagrangiana convencional que es aplicable para el movimiento de un solo cuerpo en el ámbito de la Teoría Especial de Relatividad.

Formulación invariante de Lorentz de mecánica hamiltoniana

Se introdujo el formalismo hamiltoniano extendido invariante de Lorentz, desarrollado por Struckmeier basado en el enfoque paramétrico pionero por Lanczos. Proporciona una extensión viable invariante de Lorentz de la mecánica hamiltoniana convencional que es aplicable para el movimiento de un solo cuerpo en el ámbito de la Teoría Especial de la Relatividad. En particular, se demostró que el Hamiltoniano extendido invariante de Lorentz se conserva, lo que lo hace ideal para resolver sistemas complicados utilizando la mecánica hamiltoniana mediante el uso de la representación de Poisson Bracket de la mecánica hamiltoniana, transformaciones canónicas y las técnicas Hamilton-Jacobi.

La Teoría General de la Relatividad

Se dio un resumen elemental de los conceptos fundamentales de la Teoría General de la Relatividad y la descripción unificada resultante de la fuerza gravitacional más el movimiento planetario como movimiento geodésico en una estructura riemanniana de cuatro dimensiones. Se demostró que la mecánica variacional era ideal para las aplicaciones de la Teoría General de la Relatividad.

Implicaciones filosóficas

Las ecuaciones de movimiento de Newton, y su Ley de Gravitación, que reinó suprema de 1687 a 1905, han sido derribadas del trono por las teorías de la mecánica relativista de Einstein. Por el contrario, la independencia completa para coordinar marcos en las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas de la mecánica clásica, más el Principio subyacente de la Acción Mínima, son igualmente válidos tanto en los regímenes relativistas como en los no relativistas. En consecuencia, las formulaciones relativistas lagrangianas y hamiltonianas subyacen a gran parte de la física moderna, especialmente la física cuántica, lo que explica por qué la mecánica relativista juega un papel tan importante en la dinámica clásica.