18.2: Breve resumen de los orígenes de la teoría cuántica
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La última década del\(19^{th}\) siglo vio la culminación de la física clásica. Para 1900 los científicos pensaban que las leyes básicas de la mecánica, el electromagnetismo y la mecánica estadística se entendían y se preocupaban de que la física futura se redujera a confirmar teorías al quinto decimal, con pocos descubrimientos nuevos importantes por hacer. Sin embargo, desarrollos técnicos como fotografía, bombas de vacío, bobina de inducción, etc., llevaron a importantes descubrimientos que revolucionaron la física y derrocaron la mecánica clásica de su trono a principios de\(20^{th}\) siglo. Cuadro\(\PageIndex{1}\) resume algunos de los principales hitos previos al desarrollo de la mecánica cuántica.
Max Planck buscó una explicación de la forma espectral de la radiación electromagnética de cuerpo negro. Encontró una interpolación entre dos teorías contradictorias, una que reproducía el comportamiento de longitud de onda corta y la otra el comportamiento de longitud de onda larga. La interpolación de Planck requirió asumir que la radiación electromagnética no se emitía con un rango continuo de energías, sino que la radiación electromagnética se emite en haces discretos de energía llamados cuantos. En diciembre de 1900 presentó su teoría que reproducía precisamente la distribución espectral medida del cuerpo negro asumiendo que la energía transportada por un solo cuántico debe ser un múltiplo entero de\(h\nu \):
\[E = h\nu = \frac{hc}{ \lambda} \label{18.1}\]
donde\(\nu\) es la frecuencia de la radiación electromagnética y la constante de Planck,\(h = 6.62610^{−34}\)\(J \cdot s\) fue el parámetro de mejor ajuste de la interpolación. Es decir, Planck asumió que la energía viene en haces discretos de energía iguales a los\(h\nu\) que se llaman cuantos. Al hacer esta suposición extrema, en un acto de desesperación, Planck pudo reproducir el espectro experimental de radiación del cuerpo negro. La suposición de que la energía se intercambiaba en haces insinuó que las leyes clásicas de la física eran inadecuadas en el dominio microscópico. Los físicos de la generación anterior inicialmente se negaron a creer la hipótesis de Planck que subyace a la teoría cuántica. Fueron los físicos de nueva generación, como Einstein, Bohr, Heisenberg, Born, Schrödinger y Dirac, quienes desarrollaron la hipótesis de Planck que conducía a la teoría cuántica revolucionaria.
En 1905, Einstein predijo la existencia del fotón, derivó la teoría del calor específico, así como derivando la Teoría de la Relatividad Especial. Es notable darse cuenta de que desarrolló estas tres teorías revolucionarias en un año, cuando solo tenía 26 años. Einstein descubrió una inconsistencia en la derivación de Planck de la distribución espectral del cuerpo negro en el sentido de que asumió que la parte estadística de la energía está cuantificada, mientras que la radiación electromagnética asumió las ecuaciones de Maxwell con energías del oscilador siendo continuas. Planck exigió que la luz de frecuencia\(\nu\) se empaquetara en cuantos cuyas energías fueran múltiplos de\(h\nu \), pero Planck nunca pensó que la luz tendría un comportamiento similar a partículas. Newton creía que la luz involucraba corpúsculos, y Hamilton desarrolló la teoría Hamilton-Jacobi buscando describir la luz en términos de la teoría del corpúsculo. Sin embargo, Maxwell había convencido a los físicos de que la luz era un fenómeno de onda; la interferencia más los efectos de difracción fueron manifestaciones convincentes de las propiedades onduladas de la luz. Para reproducir la predicción de Planck, Einstein tuvo que tratar la radiación de cuerpo negro como si consistiera en un gas de fotones, teniendo cada fotón energía\(E = h\nu \). Este fue un concepto revolucionario que volvió a la teoría corpúscula de la luz de Newton. Einstein se dio cuenta de que había pruebas directas de su hipótesis fotónica, una de las cuales es el efecto fotoeléctrico. Según Einstein, cada fotón tiene una energía\(E = h\nu \), en contraste con el caso clásico donde la energía del fotoelectrón depende de la intensidad de la luz. Einstein predijo que el electrón expulsado tendrá una energía cinética
\[KE = h\nu − W \label{18.2}\]
donde\(W\) está la función de trabajo que es la energía necesaria para eliminar un electrón de un sólido.
Muchos científicos mayores, incluido Planck, aceptaron la teoría de la relatividad de Einstein pero se mostraron escépticos sobre el concepto de fotones, incluso después de que el concepto de fotones de Einstein fuera reivindicado en 1915 por Millikan quien demostró que, como se predijo, la energía del fotoelectrón expulsado dependía de la frecuencia, y no de la intensidad, de la luz. En 1923 Compton's demostró que la radiación electromagnética dispersada por electrones libres obedeció simples leyes de dispersión de dos cuerpos que finalmente convencieron a los muchos escépticos de la existencia del fotón.
| Fecha | Autor | Desarrollo |
|---|---|---|
| 1887 | Hertz | Descubierto el efecto fotoeléctrico |
| 1895 | Röntgen | Rayos X descubiertos |
| 1896 | Becquerel | Radiactividad descubierta |
| 1897 | J.J. Thomson | Descubierto la primera partícula fundamental, el electrón |
| 1898 | Pierre & Marie Curie | Demostró que el torio es radiactivo que fundó la física nuclear |
| 1900 | Planck | Cuantización\(E = h\nu\) explicó el espectro de cuerpo negro |
| 1905 | Einstein | Teoría de la relatividad especial |
| 1905 | Einstein | Predijo la existencia del fotón |
| 1906 | Einstein | Se utilizó la constante de Planck para explicar calores específicos de sólidos |
| 1909 | Millikan | El experimento de caída de petróleo midió la carga en el electrón |
| 1911 | Rutherford | Descubierto el núcleo atómico con radio\(10^{−15}\)\(m\) |
| 1912 | Bohr | Modelo Bohr del átomo explicó los estados cuantificados del hidrógeno |
| 1914 | Moseley | Los espectros de rayos X determinaron el número atómico de los elementos. |
| 1915 | Millikan | Se utilizó el efecto fotoeléctrico para confirmar la hipótesis del fotón. |
| 1915 | Wilson-Sommerfeld | Cuantificación propuesta de la integral acción-ángulo |
| 1921 | Stern-Gerlach | Cuantificación espacial observada en campo magnético no uniforme |
| 1923 | Compton | La dispersión de rayos X en Compton confirmó la hipótesis de los fotones |
| 1924 | Broglie | Dualidad onda-partícula postulado para materia y ondas EM |
| 1924 | Bohr | Declaración explícita del principio de correspondencia |
| 1925 | Pauli | Postuló el principio de exclusión |
| 1925 | Goudsmit-Uhlenbeck | Postuló el giro del electrón de\(s = \frac{1}{2} \hbar\) |
| 1925 | Heisenberg | Mecánica matricial representación de la teoría cuántica |
| 1925 | Dirac | Corchetes de Poisson relacionados y relaciones de conmutación |
| 1926 | Schrödinger | Mecánica de olas |
| 1927 | G.P. Thomson/Davisson | La difracción de electrones probó la naturaleza de onda |
| 1928 | Dirac | Desarrolló la ecuación de onda relativista de Dirac |
Modelo Bohr del átomo
El experimento de dispersión de Rutherford, realizado en Manchester en 1911, descubrió que el átomo de Au comprendía un núcleo de carga positiva de radio\(\approx 10^{−14}\)\(m\) que es mucho más pequeño que el\(1.35 \times 10^{−10}\)\(m\) radio del átomo de Au. Estimulado por este descubrimiento, Niels Bohr se unió a Rutherford en Manchester en 1912 donde desarrolló el modelo Bohr del átomo. Esta teoría fue notablemente exitosa a pesar de tener serias inconsistencias y deficiencias. Los supuestos modelo de Bohr fueron:
- La radiación electromagnética se cuantifica con\(E = h\nu \).
- La radiación electromagnética presenta un comportamiento característico de la emisión de fotones con energía\(E = h\nu\) e impulso\(p = \frac{h\nu}{c}\). Es decir, exhibe un comportamiento tanto de onda como de partícula.
- Los electrones se encuentran en órbitas estacionarias que no irradian, lo que contradice las predicciones del electromagnetismo clásico.
- Las órbitas se cuantifican de tal manera que el momento angular del electrón es un múltiplo entero de\(\frac{h}{ 2\pi} = \hbar \).
- La radiación electromagnética atómica se emite con energía fotónica igual a la diferencia de energía de unión entre los dos niveles atómicos involucrados. \(h\nu = E_1 − E_2\)
Los dos primeros supuestos se deben a Planck y Einstein, mientras que los tres últimos fueron hechos por Niels Bohr.
Las deficiencias del modelo de Bohr fueron los problemas filosóficos de violar los principios de la física clásica al explicar los átomos similares al hidrógeno, es decir, la teoría era prescriptiva, no deductiva. El modelo de Bohr se basó implícitamente en el supuesto de que la teoría cuántica contiene la mecánica clásica como caso limitante. Bohr declaró explícitamente esta suposición a la que llamó el principio de correspondencia, y que jugó un papel fundamental en el desarrollo de la teoría cuántica más antigua. En 1924 Bohr justificó las inconsistencias de la antigua teoría cuántica escribiendo “Como se enfatiza frecuentemente, estos principios, aunque se formulen con la ayuda de concepciones clásicas, deben considerarse puramente como leyes de la teoría cuántica, que nos dan, sin soportar la naturaleza formal de la teoría cuántica, una esperanza en el futuro de una teoría consistente, que al mismo tiempo reproduce los rasgos característicos de la teoría cuántica, importantes para su aplicabilidad, y, sin embargo, puede considerarse como una generalización racional de la electrodinámica clásica”.
La vieja teoría cuántica fue notablemente exitosa en la reproducción del espectro de cuerpo negro, calores específicos de sólidos, el átomo de hidrógeno y la tabla periódica de los elementos. Desafortunadamente, desde un punto de vista metodológico, la teoría fue una mezcla de hipótesis, principios, teoremas y recetas computacionales, más que una teoría lógica consistente. Cada problema se resolvió primero en términos de mecánica clásica, y luego pasaría por un misterioso procedimiento de cuantificación que implicaba el principio de correspondencia. Aunque construida sobre la base de la mecánica clásica, requería las hipótesis de Bohr que violaban las leyes de la mecánica clásica y las predicciones de las ecuaciones de Maxwell.
Cuantización
Para 1912 Planck, y otros, habían abandonado el concepto de que la teoría cuántica era una rama de la mecánica clásica, y estaban buscando ver si la mecánica clásica era un caso especial de una física cuántica más general, o la física cuántica era una ciencia completamente fuera de la mecánica clásica. También estaban tratando de encontrar una razón consistente y racional de cuantificación para reemplazar el supuesto ad hoc de Bohr.
En 1912 Sommerfeld propuso que, en cada proceso elemental, el átomo gana o pierde una cantidad definida de acción entre tiempos\(t_0\) y\(t\) de
\[S = \int^t_{t_0} L(t^{\prime} )dt^{\prime} \label{18.3}\]
donde\(S\) está el análogo cuántico de la función de acción clásica. Se ha demostrado que el principio clásico de menor acción establece que la función de acción es estacionaria para pequeñas variaciones de la trayectoria. En 1915 Wilson y Sommerfeld reconocieron que la cuantificación del momento angular podría expresarse en términos de la integral acción-ángulo, es decir, ecuación\((15.5.1)\). Postularon que, para cada coordenada, se cuantifica la variable acción-ángulo
\[\oint p_k dq_k = nh \label{18.4}\]
donde la integral variable de ángulo de acción es durante un período completo del movimiento. Es decir, postularon que el espacio de fase de Hamilton está cuantificado, pero la granularidad microscópica es tal que la cuantificación sólo se manifiesta para dominios de tamaño atómico. Es decir,\(n\) es un número entero pequeño para los sistemas atómicos en contraste con\(n \approx 10^{64}\) para el sistema de dos cuerpos Tierra-Sol.
Sommerfeld reconoció que la cuantificación de más de un grado de libertad es necesaria para obtener una descripción más precisa del átomo de hidrógeno. Sommerfeld reprodujo los datos experimentales asumiendo la cuantificación de los tres grados de libertad,
\[\oint p_r dr = n_1h \quad \oint p_{\theta} d\theta = n_2h \quad \oint p_{\phi} d\phi = n_3h \label{18.5}\]
y resolver la teoría Hamilton-Jacobi por separación de variables. En 1916 el modelo de Bohr-Sommerfeld resolvió las órbitas clásicas para el átomo de hidrógeno, incluyendo correcciones relativistas como se describe en el ejemplo\(17.7.1\). Esta reprodujo la estructura fina observada en los espectros ópticos del hidrógeno. El uso de la transformación canónica a variables de ángulo de acción demostró ser el enfoque ideal para resolver muchos de estos problemas en la mecánica cuántica. En 1921, Stern y Gerlach demostraron la cuantificación del espacio al observar la división de haces atómicos desviados por campos magnéticos no uniformes. Este resultado fue un gran triunfo para la teoría cuántica. Sommerfeld declaró que “con su audaz método experimental, Stern y Gerlach demostraron no solo la existencia de la cuantificación espacial, también demostraron la naturaleza atómica del momento magnético, su origen teórico cuántico y su relación con la estructura atómica de la electricidad”.
En 1925, el Principio de Exclusión de Pauli propuso que no más de un electrón puede tener números cuánticos idénticos y que el estado electrónico atómico está especificado por cuatro números cuánticos. Dos estudiantes, Goudsmit y Uhlenbeck sugirieron que un cuarto número cuántico de dos valores era el espín electrónico de\(\pm \frac{\hbar}{2}\). Esto proporcionó una explicación plausible para la estructura de los átomos de múltiples electrones.
Dualidad onda-partícula
En su tesis doctoral de 1924, el príncipe Louis de Broglie propuso la hipótesis de la dualidad onda-partícula que fue un desarrollo fundamental en la teoría cuántica. de Broglie utilizó el concepto clásico de un paquete de ondas de materia, análogo a los paquetes de ondas clásicos discutidos en el capítulo\(3.11\). Supuso que tanto las velocidades de grupo como de señal de un paquete de ondas de materia deben ser iguales a la velocidad de la partícula correspondiente. Por analogía con la relación de Einstein para el fotón, y utilizando la Teoría de la Relatividad Especial, de Broglie asumió que
\[\hbar \omega = E = \frac{mc^2}{\sqrt{\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)}} \label{18.6}\]
La velocidad del grupo se requiere para igualar la velocidad de la masa
\[v_{group} = \left(\frac{d\omega}{ dk} \right) = \left(\frac{d\omega}{ dv } \right) \left(\frac{dv }{dk} \right) = v \label{18.7}\]
Esto da
\[\frac{dk }{dv} = \frac{1}{ v} \left(\frac{d\omega}{ dv} \right) = \left( \frac{m}{\hbar} \right) \left( 1 − \frac{v^2}{ c^2} \right)^{− \frac{3}{ 2}} \label{18.8}\]
Integración de esta ecuación asumiendo que\(k = 0\) cuando\(v = 0\), luego da
\[\hbar \mathbf{k} = \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{\left(1-\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}{c^2}\right)}} = \mathbf{p} \label{18.9}\]
Esta relación, derivada por de Broglie, es necesaria para asegurar que la partícula se desplaza a la velocidad de grupo del paquete de ondas que caracteriza a la partícula. Obsérvese que aunque las relaciones utilizadas para caracterizar las ondas de materia son puramente clásicas, el contenido físico de tales ondas va más allá de la física clásica. En 1927 C. Davisson y G.P. Thomson observaron independientemente la difracción de electrones confirmando la dualidad onda/partícula para el electrón. Irónicamente, J.J. Thomson descubrió que el electrón era una partícula, mientras que su hijo lo atribuía a una onda electrónica.
Heisenberg desarrolló la formulación matricial moderna de la teoría cuántica en 1925; en ese momento tenía 24 años. Unos meses después, Schrödinger desarrolló una mecánica de olas basada en el concepto de dualidad onda-partícula de De Broglie. La mecánica matricial, y la mecánica de ondas, las teorías cuánticas son radicalmente diferentes. El enfoque algebraico de Heisenberg emplea cantidades no transitables y técnicas matemáticas desconocidas que enfatizan la discreción característica del aspecto corpúsculo. En contraste, Schrödinger utilizó el enfoque analítico familiar que es una extensión de las leyes clásicas del movimiento y las ondas que enfatizaron el elemento de continuidad.