4.2: Los operadores cuánticos representan variables clásicas
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- Entender cómo el principio de correspondencia argumenta que existe un operador cuántico único para cada observable clásico.
- Reconocer varios de los operadores cuánticos de uso común
Un observable es una variable dinámica de un sistema que se puede medir experimentalmente (p. ej., posición, impulso y energía cinética). En los sistemas gobernados por la mecánica clásica, es una función de valor real (nunca compleja), sin embargo, en la física cuántica, cada observable en mecánica cuántica está representado por un operador independiente que se utiliza para obtener información física sobre lo observable a partir de la función de onda. Es un principio general de la mecánica cuántica que haya un operador para cada físico observable. Para un observable que está representado en la física clásica por una función\(Q(x,p)\), el operador correspondiente es\(Q(\hat{x},\hat{p})\).
Por cada propiedad observable de un sistema hay un operador mecánico cuántico correspondiente. Esto a menudo se conoce como el Principio de Correspondencia.
Las variables dinámicas clásicas, tales como\(x\) y\(p\), están representadas en la mecánica cuántica por operadores lineales que actúan sobre la función de onda. El operador para la posición de una partícula en tres dimensiones es solo el conjunto de coordenadas\(x\),\(y\), y\(z\), que se escribe como un vector,\(r\):
\[ \begin{align} \vec{r} &= (x , y , z ) \\[4pt] &= x \vec {i} + y \vec {j} + z \vec {k} \label {4.2.1} \end{align} \]
El operador para un componente de impulso lineal es
\[ \hat {p} _x = -i \hbar \dfrac {\partial}{\partial x} \label {4.2.2} \]
y el operador de energía cinética en una dimensión es
\[ \hat {T} _x = \left ( -\dfrac {\hbar ^2}{2m} \right ) \dfrac {\partial ^2}{\partial x^2} \label {4.2.3} \]
y en tres dimensiones
\[ \hat {p} = -i \hbar \nabla \label {4.2.4} \]
y
\[ \hat {T} = \left ( -\dfrac {\hbar ^2}{2m} \right ) \nabla ^2 \label {4.2.5} \]
El operador de energía total se llama operador hamiltoniano,\(\hat{H}\) y consiste en el operador de energía cinética más el operador de energía potencial.
\[\hat {H} = - \frac {\hbar ^2}{2m} \nabla ^2 + \hat {V} (x, y , z ) \label{3-22} \]
El operador hamiltoniano lleva el nombre del matemático irlandés William Hamilton y proviene de su formulación de Mecánica Clásica que se basa en la energía total:
\[\hat{H} = \hat{T} + \hat{V} \nonumber \]
en lugar de la segunda ley de Newton,
\[\vec{F} = m\vec{a} \nonumber \]
En muchos casos solo se considera la energía cinética de las partículas y la energía potencial electrostática o Coulomb debido a sus cargas, pero en general todos los términos que contribuyen a la energía aparecen en el hamiltoniano. Estos términos adicionales dan cuenta de cosas como los campos eléctricos y magnéticos externos y las interacciones magnéticas debidas a los momentos magnéticos de las partículas y su movimiento.
| Nombre | Símbolo observable | Símbolo de operador | Operación |
|---|---|---|---|
| Posición (en 1D) | \(x\) | \(\hat{X}\) | Multiplicar por\(x\) |
| Posición (en 3D) | \(\vec{r}\) | \(\hat{R}\) | Multiplicar por\(\vec{r}\) |
| Momentum (en 1D) | \(p_{x}\) | \(\hat{P_{x}}\) | -\(\imath \hbar \dfrac{d}{dx}\) |
| Momentum (en 3D) | \(\vec{p}\) | \(\hat{P}\) |
-\(\imath \hbar \left[ \hat{i}\ \dfrac{d}{dx} + \hat{j} \dfrac{d}{dy} + \hat{k} \dfrac{d}{dz}\right]\)
|
| Energía cinética (en 1D) | \(T_{x}\) | \(\hat{T_{x}}\) | \(\dfrac{-\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2}{dx^2}\) |
| Energía cinética (en 3D) | \(T\) | \(\hat{T}\) |
\(\dfrac{-\hbar^2}{2m} \left[\dfrac{d^{2}}{dx^{2}} + \dfrac{d^2}{dy^2} + \dfrac{d^2}{dz^2} \right]\) Que se puede simplificar a \(\dfrac{- \hbar^2}{2m}\)\(\bigtriangledown^{2}\) |
| Energía Potencial (en 1D) | \(V(x)\) | \(\hat{V}(x)\) | Multiplicar por\(V(x)\) |
| Energía Potencial (en 3D) | \(V(x,y,z)\) | \(\hat{V}(x,y,z)\) | Multiplicar por\(V(x,y,z)\) |
| Energía Total | \(E\) | \(\hat{E}\) | \(\dfrac{- \hbar^{2}}{2m} \nabla^2 + V(x,y,z)\) |
| Momentum angular (componente del eje x) | \(L_{x}\) | \(\hat{L_{x}}\) | -\(\imath \hbar \left[ y \dfrac{d}{dz} - z \dfrac{d}{dy}\right]\) |
| Momentum angular (componente del eje y) | \(L_{y}\) | \(\hat{L_{y}}\) | -\(\imath \hbar \left[ z \dfrac{d}{dx} - x \dfrac{d}{dz}\right]\) |
| Momentum angular (componente del eje z) | \(L_{z}\) | \(\hat{L_{z}}\) | -\(\imath \hbar \left[ x \dfrac{d}{dy} - y \dfrac{d}{dx}\right]\) |