3.3: La ecuación de Schrödinger es un problema de autovalor

Objetivos de aprendizaje

• Reconocer que cada mecánica cuántica observable está determinada por resolver por un problema de valor propio con diferentes operadores para diferentes observables
• Confirme si una función de onda específica es una función propia de una operación específica y extrae el correspondiente observable (el valor propio)
• Reconocer que la ecuación de Schrödinger, al igual que todas las medibles, es también un problema de autovalor con el valor propio atribuido a la energía total
• Identifique y manipule varios operadores mecánicos cuánticos comunes

Según la definición, un operador que actúa sobre una función da otra función, sin embargo ocurre un caso especial cuando la función generada es proporcional a la original

\[\hat{A}\psi \propto \psi\label{3.3.1a} \]

Este caso puede expresarse en términos de igualdad introduciendo una constante de proporcionalidad\(k\)

\[\hat{A}\psi = k \psi\label{3.3.1b} \]

No todas las funciones resolverán una ecuación como en la Ecuación\ ref {3.3.1b}. Si una función lo hace, entonces\(\psi\) se conoce como función propia y la constante\(k\) se llama su valor propio (estos términos son híbridos con el alemán, siendo los equivalentes puramente ingleses “función característica” y “valor característico”, respectivamente). La resolución de problemas de valores propios se discuten en la mayoría de cursos de álgebra lineal

En mecánica cuántica, cada experimental medible\(a\) es el valor propio de un operador específico (\(\hat{A}\)):

\[\hat{A} \psi=a \psi \label{3.3.2a} \]

\(a\)Los valores propios representan los posibles valores medidos del\(\hat{A}\) operador. Clásicamente, se\(a\) permitiría variar continuamente, pero en la mecánica cuántica,\(a\) normalmente tiene solo un subconjunto de valores permitidos (de ahí el aspecto cuántico). Tanto las ecuaciones de Schrödinger dependientes del tiempo como las independientes del tiempo son las instancias más conocidas de ecuaciones de valores propios en mecánica cuántica, con sus valores propios correspondientes a los niveles de energía permitidos del sistema cuántico.

\[ { \left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})\right]\psi(\vec{r})=E\psi(\vec{r})} \label{3.3.3} \]

El objeto de la izquierda que actúa sobre el\(\psi (x)\) is an example of an operador.

\[ \left[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})\right] \label{3.3.4} \]

En efecto, lo que se dice que hacer es “tomar la segunda derivada de\(\psi (x)\), multiplicar el resultado por\(-(\hbar^2 /2m)\) y luego\(V(x)\psi (x)\) sumar al resultado de eso”. La mecánica cuántica involucra a muchos tipos diferentes de operadores. Éste, sin embargo, juega un papel especial porque aparece en el lado izquierdo de la ecuación de Schrödinger. Se llama el operador hamiltoniano y se denota como

\[\hat{H}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r}) \label{3.3.5} \]

Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo puede escribirse (y más comúnmente) como

\[\hat{H} \psi (x,t) = i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) \label{3.3.6a} \]

y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

\[\hat{H}\psi (x)=E \psi (x) \label{3.3.6b} \]

Tenga en cuenta que la forma funcional de la Ecuación\ ref {3.3.6b} es la misma que la ecuación general del valor propio en la Ecuación\ ref {3.3.1b} donde los valores propios son las energías totales (permitidas) (\(E\)).

El hamiltoniano, que lleva el nombre del matemático irlandés Hamilton, proviene de la formulación de la Mecánica Clásica que se basa en la energía total\(H = T + V\), más que en la segunda ley de Newton,\(F = ma\). La ecuación\(\ref{3.3.6b}\) dice que el operador hamiltoniano opera sobre la función de onda para producir la energía\(E\), que es un escalar (por ejemplo, expresado en julios) multiplicado por la función de onda.

Principio de Correspondencia

Nótese que\(\hat{H}\) se deriva de la energía clásica\(p^2 /2m+V(x)\) simplemente reemplazando\(p \rightarrow -i\hbar(d/dx)\). This is an example of the Correspondence Principle initially proposed by Niels Bohr that estados que el comportamiento de los sistemas descritos por la teoría cuántica reproduce la física clásica en el límite de grandes números cuánticos.

Es un principio general de la Mecánica Cuántica que hay un operador para cada físico observable. Un físico observable es cualquier cosa que se pueda medir. Si la función de onda que describe un sistema es una función propia de un operador, entonces el valor del observable asociado se extrae de la función propia operando en la función propia con el operador apropiado. El valor de lo observable para el sistema es entonces el valor propio, y se dice que el sistema está en un estado propio. Ecuación\(\ref{3.3.6b}\) establece este principio matemáticamente para el caso de la energía como lo observable. Si la función de onda no es la función propia de la operación, entonces la medición dará un valor propio (por definición), pero no necesariamente el mismo para cada medición (esto se discutirá con más detalle en sección posterior).

Operadores Comunes

Aunque teóricamente podríamos llegar a un número infinito de operadores, en la práctica hay algunos que son mucho más importantes que cualquier otro.

• Momentum lineal:

El operador de momento lineal de una partícula que se mueve en una dimensión (la\(x\) dirección) es

\[\hat p_x = -i \hbar \dfrac{\partial}{\partial x} \label{3.3.7} \]

y puede generalizarse en tres dimensiones:

\[ \hat {\vec{p}} = -i \hbar \nabla \label{3.3.8} \]

• Posición

El operador de posición de una partícula que se mueve en una dimensión (la\(x\) dirección) es

\[\hat x = x \label{3.3.9D} \]

y puede generalizarse en tres dimensiones:

\[ \hat {\vec{r}} = \vec{r} \label{3.3.10D} \]

donde\({\vec{r}} = (x,y,z)\).

• Energía cinética

Clásicamente, la energía cinética de una partícula que se mueve en una dimensión (la\(x\) dirección), en términos de impulso, es

\[KE_{classical}= \dfrac{p_x^2}{2m} \label{3.3.9} \]

Quantum mecánicamente, el operador de energía cinética correspondiente es

\[ \hat {KE}_{quantum}= -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\label{3.3.10} \]

y puede generalizarse en tres dimensiones:

\[ \hat {KE}_{quantum}= -\dfrac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \label{3.3.11} \]

• Momentum angular:

El momento angular requiere una discusión más compleja, pero es el producto cruzado del operador de posición\(\hat{\vec{r}}\) y el operador de impulso\(\hat p\)

\[ \hat {\vec{L}} = -i \hbar ( \vec{r} \times \nabla) \label{3.3.12} \]

• Hamiltoniano:

El operador hamiltoniano corresponde a la energía total del sistema

\[\hat {H} = - \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{{\partial}^2}{{\partial x}^2} + V(x) \label{3.3.13} \]

y representa la energía total de la partícula de masa\(m\) en el potencial\(V(x)\). El hamiltoniano en tres dimensiones es

\[\hat{H}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r}) \label{3.3.5a} \]

• Energía Total:

El operador energético a partir de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

\[ i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t)= \hat {H}\Psi(x,t) \label{3.3.14} \]

El lado derecho de la Ecuación\(\ref{3.3.5}\) es el Operador Hamiltoniano. Además de determinar las energías del sistema, el operador hamiltoniano dicta la evolución temporal de la función de onda

\[ \hat {H} \Psi(x,t) = i \hbar \dfrac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} \label{3.3.15} \]

Este aspecto se discutirá con más detalle en otra parte.

Eigenstate, Eigenvalues, Ondas, Medibles y Observables

En general, la función de onda da el “estado del sistema” para el sistema en discusión. Almacena toda la información disponible para el observador sobre el sistema. A menudo en las discusiones sobre mecánica cuántica, los términos eigenstate y wavefunction se usan indistintamente. El término autovalor se utiliza para designar el valor de la cantidad medible asociada con la función de onda.

• Si quieres medir la energía de una partícula, tienes que operar en la función de onda con el operador hamiltoniano (Ecuación\ ref {3.3.5}).
• Si quieres medir el impulso de una partícula, tienes que operar en función de onda con el operador de impulso (Ecuación\ ref {3.3.7}).
• Si quieres medir la posición de una partícula, tienes que operar en función de onda con el operador de posición (Ecuación\ ref {3.3.9D}).
• Si quieres medir la energía cinética de una partícula, tienes que operar en función de onda con el operador de energía cinética (Ecuación\ ref {3.3.10}).

Al discutir los autoestados del Hamiltoniano (\(\hat{H}\)), los valores propios asociados representan energías y dentro del contexto de los operadores de impulso, los valores propios asociados se refieren al impulso de la partícula. Sin embargo, no todas las funciones de onda (\(\psi\)) son estados propios de un operador (\(\phi\)) —y si no lo son, suelen escribirse como superposiciones de estados propios.

\[\psi = \sum_i c_i \phi_i \nonumber \]

Esto se discutirá con más detalle en secciones posteriores.

Si bien la función de onda puede no ser el estado propio de un observable, cuando ese operador opera en esa función de onda, la función de onda se convierte en un estado propio de ese observable y solo se pueden observar valores propios. Otra forma de decirlo es que la función de onda “colapsa” en un estado propio de lo observable. Debido a que los operadores mecánicos cuánticos tienen diferentes formas, sus propios estados asociados son igualmente a menudo (es decir, la mayoría de las veces) diferentes. Por ejemplo, cuando una función de onda es un estado propio de energía total, no será un estado propio de impulso.

Si una función de onda es un estado propio de un operador, (por ejemplo, impulso), ese estado no es necesariamente un estado propio de un operador diferente (por ejemplo, energía), aunque no siempre.

La función de onda inmediatamente después de una medición es un estado propio del operador asociado a esta medición. Lo que sucede con la función de onda después de la medición es un tema diferente.

Ejemplo 3.3.1

Confirme que las siguientes funciones de onda son estados propios de impulso lineal y energía cinética (o ninguno o ambos):

1. \(\psi = A \sin(ax)\)
2. \(\psi = N e^{-ix/\hbar}\)

Estrategia

Esta pregunta es preguntar si la ecuación de valor propio se mantiene para los operadores y estas funciones de onda. Esto es solo preguntar si estas funciones de onda son soluciones a la Ecuación\ ref {3.3.1b} usando los operadores en Ecuaciones\ ref {3.3.7} y\ ref {3.3.10}, es decir, son estas ecuaciones verdaderas:

\[\hat p_x \psi = p_x \psi \label{ex1} \]

\[\hat {KE} \psi = KE \psi \label{ex2} \]

donde\(p_x\) y\(KE\) son los medibles (valores propios) para estos operadores.

Solución

a.

Evaluemos el lado izquierdo del problema del valor propio de impulso lineal (Ecuación\ ref {ex1})

\[ -i \hbar \dfrac{\partial}{\partial x} A \sin(ax) = -i \hbar Aa \cos(ax) \nonumber \]

y comparar al lado derecho de la ecuación\ ref {ex1}

\[ p_x A\sin(ax) \nonumber \]

Estos no son lo mismo así que esta función de onda no es un estado propio de impulso.

Veamos el lado izquierdo del problema del valor propio de la energía cinética (Ecuación\ ref {ex2})

\[ \begin{align*} -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} A \sin(ax) &= -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial}{\partial x} Aa \cos(ax) \\[4pt] &= +\dfrac{\hbar^2}{2m} Aa^2 \sin(ax) \end{align*} \nonumber \]

y comparar al lado derecho

\[ KE A\sin(ax) \nonumber \]

Estos son los mismos, por lo que esta función de onda específica es un estado propio de energía cinética. Además, la energía cinética medida será

\[KE = +\dfrac{\hbar^2}{2m} a^2 \nonumber \]

b.

Veamos el lado izquierdo de la Ecuación\ ref {ex1} para el impulso lineal

\[ -i \hbar \dfrac{\partial}{\partial x} N e^{-ix/\hbar} = -N e^{-ix/\hbar} \nonumber \]

y el lado derecho de la Ecuación\ ref {ex1}

\[ p_x N e^{-ix/\hbar} \nonumber \]

Estos son los mismos por lo que esta función de onda es un estado propio de impulso con impulso\(p_x = -N\).

Veamos el lado izquierdo de la Ecuación\ ref {ex2} para la energía cinética

\[ \begin{align*} -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} N e^{-ix/\hbar} &= + i \dfrac{\hbar}{2m} \dfrac{\partial}{\partial x} N e^{-ix/\hbar} \\[4pt] &= + \dfrac{1}{2m} N e^{-ix/\hbar} \end{align*} \nonumber \]

y el lado derecho

\[ KE N e^{-ix/\hbar} \nonumber \]

Estos son los mismos por lo que esta función de onda es un estado propio de energía cinética. Y la energía cinética medida será

\[KE = \dfrac{1}{2m} \nonumber \]

Esta función de onda es un estado propio de impulso y energía cinética.

Ejercicio 3.3.1

¿Las\(\psi = M e^{-bx}\) funciones son autoestados de impulso lineal y energía cinética (o ninguno o ambos)?

Contestar

\(\psi\)es un estado propio de impulso lineal con un valor propio de\(bi\hbar\) y también un estado propio de energía cinética con un valor propio de\(b^2\).

Colaboradores y Atribuciones

• Seymour Blinder (Professor Emeritus of Chemistry and Physics at the University of Michigan, Ann Arbor)

• Adapted from "Quantum States of Atoms and Molecules" by David M. Hanson, Erica Harvey, Robert Sweeney, Theresa Julia Zielinski