18.4: La representación lagrangiana en la teoría cuántica

La noción clásica de coordenadas canónicas y momentos, tiene un análogo cuántico simple que ha permitido que la teoría hamiltoniana de la mecánica clásica, que se basa en coordenadas canónicas, sirva de base para el desarrollo de la mecánica cuántica. La formulación lagrangiana alternativa para la dinámica clásica se describe en términos de coordenadas y velocidades, en lugar de coordenadas y momentos. Las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas están estrechamente relacionadas, y puede parecer que el enfoque lagrangiano es más fundamental. El método lagrangiano permite reunir todas las ecuaciones del movimiento y expresarlas como propiedades estacionarias de la integral de acción, y así puede parecer deseable basar la mecánica cuántica en la teoría lagrangiana de la mecánica clásica. Desafortunadamente, las ecuaciones lagrangianas de movimiento involucran derivadas parciales con respecto a las coordenadas, y sus velocidades, y el significado atribuido a tales derivadas es difícil en la mecánica cuántica. La estrecha correspondencia entre los corchetes de Poisson y las reglas de conmutación conduce naturalmente a la mecánica hamiltoniana. Sin embargo, Dirac demostró que la mecánica lagrangiana puede ser trasladada a la mecánica cuántica utilizando transformaciones canónicas de tal manera que se considera que el lagrangiano clásico es una función de coordenadas en el tiempo\(t\) y\(t + dt\) más que de coordenadas y velocidades.

La motivación para la tesis doctoral de Feynman en 1942, titulada “El principio de menor acción en la mecánica cuántica”, fue cuantificar la acción clásica a distancia en electrodinámica. Esta teoría adoptó un punto de vista global espacio-tiempo para el cual el enfoque hamiltoniano clásico, tal como se utiliza en formulaciones convencionales de mecánica cuántica, es inaplicable. Feynman utilizó el lagrangiano, más el principio de menor acción, para fundamentar su desarrollo de la teoría cuántica de campos. Para parafrasear la Conferencia Nobel de Feynman, utilizó un enfoque físico bastante diferente al habitual punto de vista hamiltoniano para el que se discute con gran detalle el sistema en función del tiempo. Es decir, tienes el campo en este momento, entonces una ecuación diferencial te da el campo en un momento posterior y así sucesivamente; es decir, el enfoque hamiltoniano es un método diferencial de tiempo. En el enfoque de menor acción de Feynman, la acción describe el carácter del camino a lo largo de todo el espacio y el tiempo. El comportamiento de la naturaleza se determina diciendo que todo el camino espacio-tiempo tiene cierto carácter. El uso de la acción involucra términos tanto avanzados como retardados que dificultan la transformación de nuevo a la forma hamiltoniana. El enfoque espacio-tiempo de Feynman está mucho más allá del alcance de este curso. Este tema se desarrollará en cursos avanzados de posgrado sobre teoría cuántica de campos