19.8: Apéndice - Cálculo diferencial vectorial

Este apéndice revisa el cálculo diferencial vectorial que se utiliza ampliamente tanto en la mecánica clásica como en el electromagnetismo.

Operadores diferenciales escalares

Campo escalar

Los operadores diferenciales como el tiempo\(\left( \frac{d}{dt} \right)\) no cambian las propiedades rotacionales de los escalares o vectores adecuados. Un operador escalar\(\frac{d}{ds}\) que actúa sobre un campo escalar\(\phi (xyz)\), en un marco coordinado girado\(\phi^{\prime} (x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime} )\) no cambia.

\[\frac{d\phi^{\prime}}{ds} = \frac{d\phi}{ds} \label{G.1}\]

Campo vectorial

De manera similar para un campo vectorial adecuado

\[\frac{dA^{\prime}_i}{ ds} = \sum_j \lambda_{ij} \frac{dA_j}{ds} \label{G.2}\]

Es decir, la diferenciación de campos escalares o vectoriales con respecto a un operador escalar no cambia el comportamiento rotacional. En particular, los diferenciales escalares de los vectores siguen obedeciendo las reglas de los vectores propios ordinarios. El operador escalar\(\frac{\partial}{ \partial t}\) se utiliza para el cálculo de velocidad o aceleración.

Operadores vectoriales diferenciales en coordenadas cartesianas

Los operadores de diferencial vectorial, como el operador de gradiente, son importantes en la física. La acción de los operadores vectoriales difiere en diferentes ejes ortogonales.

Campo escalar

Considera una función escalar continua de un solo valor\(\phi (x_i, x_j, x_k)\). Desde

\[\phi^{\prime} = \phi \label{G.3}\]

entonces el diferencial parcial con respecto a un componente\(x_i\) del vector\(\mathbf{x}^{\prime}\) da

\[\frac{\partial \phi^{\prime}}{ \partial x^{\prime}_i} = \sum_j \frac{\partial \phi}{ \partial x_j} \frac{\partial x_j}{\partial x^{\prime}_i} \label{G.4}\]

La rotación inversa da que

\[x_j= \sum_k \lambda_{kj}x^{\prime}_k \label{G.5}\]

Por lo tanto

\[\frac{\partial x_j}{\partial x^{\prime}_i } = \sum_k \lambda_{kj} \frac{\partial x^{\prime}_k }{\partial x^{\prime}_i } = \sum_k \lambda_{kj} \delta_{ik} = \lambda_{ij} \label{G.6}\]

Así

\[\frac{\partial \phi^{\prime}}{ \partial x^{\prime}_i} = \sum_j \lambda_{ij}\frac{ \partial \phi}{ \partial x_j} \label{G.7}\]

Ese es el vector derivado que actúa de un campo escalar se transforma como un vector apropiado.

Definir el gradiente, u\(\boldsymbol{\nabla}\) operador, como

\[\boldsymbol{\nabla} \equiv \sum_i \widehat{\mathbf{e}_i} \frac{\partial}{ \partial x_i} \label{G.8}\]

donde\(\widehat{\mathbf{e}_i}\) está el vector unitario a lo largo del\(x_i\) eje. En las coordenadas cartesianas, el operador del vector es,

\[\boldsymbol{\nabla} \equiv \widehat{\mathbf{i}} \frac{\partial}{ \partial x} + \widehat{\mathbf{j}} \frac{\partial}{ \partial y} + \widehat{\mathbf{k}} \frac{\partial }{ \partial z} \label{G.9}\]

El gradiente se aplicó al potencial gravitacional y electrostático para derivar el campo correspondiente. Por ejemplo, para electrostática se demostró que el gradiente del campo de potencial electrostático escalar\(V\) puede escribirse en coordenadas cartesianas como

\[\mathbf{E} = −\boldsymbol{\nabla}V \label{G.10}\]

Tenga en cuenta que el gradiente de un campo escalar produce un campo vectorial. Estás familiarizado con esto si eres esquiador en que la fuerza gravitacional te tira por la línea de descenso más empinada para la pista de esquí.

Campo vectorial

Otra posible operación para el operador del es el producto escalar con un vector. El uso de la definición de un producto escalar en coordenadas cartesianas da

\[\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}=\widehat{\mathbf{i}} \cdot \widehat{\mathbf{i}} \frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\widehat{\mathbf{j}} \cdot \widehat{\mathbf{j}} \frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\widehat{\mathbf{k}} \cdot \widehat{\mathbf{k}} \frac{\partial A_{z}}{\partial z}=\frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z} \label{G.11}\]

Esta derivada escalar de un campo vectorial se llama divergencia. Tenga en cuenta que el producto escalar produce un campo escalar que es invariante a la rotación de los ejes de coordenadas.

El producto vectorial del operador con otro vector, se llama el rizo que se usa ampliamente en física. Se puede escribir en la forma determinante

\[\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \widehat{\mathbf{i}} & \widehat{\mathbf{j}} & \widehat{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial}{ \partial x} & \frac{\partial}{ \partial y} & \frac{\partial}{ \partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} \label{G.12}\]

En contraste con el producto escalar, tanto el gradiente de un campo escalar, como el producto vectorial, son campos vectoriales para los cuales los componentes a lo largo de los ejes de coordenadas se transforman de una manera específica, tal como para mantener constante la longitud del vector, a medida que se gira el marco de coordenadas. Los productos de gradiente, escalar y vector con el\(\boldsymbol{\nabla}\) operador son las derivadas de primer orden de los campos que ocurren con mayor frecuencia en la física.

También se utilizan segundas derivadas de campos. Consideremos algunas posibles combinaciones del producto de dos del operadores.

1)\(\boldsymbol{\nabla} \cdot (\boldsymbol{\nabla}V ) = \nabla^2V\)

El producto escalar de dos operadores del es un escalar bajo rotación. Evaluar el producto escalar en coordenadas cartesianas da

\[\left( \widehat{\mathbf{i}} \frac{\partial}{ \partial x} + \widehat{\mathbf{j}} \frac{\partial}{ \partial y} + \widehat{\mathbf{k}} \frac{\partial}{ \partial z} \right) \cdot \left( \widehat{\mathbf{i}} \frac{\partial V}{ \partial x} + \widehat{\mathbf{j}} \frac{\partial V}{ \partial y} + \widehat{\mathbf{k}} \frac{\partial V}{ \partial z} \right) = \frac{\partial^2 V}{ \partial x^2} + \frac{\partial^2V}{ \partial y^2} + \frac{\partial^2V}{ \partial z^2} \label{G.13}\]

Esto también se puede obtener sin confusión escribiendo este producto como;

\[\boldsymbol{\nabla} \cdot (\boldsymbol{\nabla}V ) = \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla}V = (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla}) V \label{G.14}\]

donde el producto escalar del operador es un escalar, llamado el Laplaciano\(\nabla^2\), dado por

\[\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla} = \nabla^2 \equiv \frac{\partial^2}{ \partial x^2} + \frac{\partial^2}{ \partial y^2} + \frac{\partial^2}{ \partial z^2} \label{G.15}\]

El operador laplaciano se encuentra frecuentemente en la física.

2)\(\boldsymbol{\nabla}\times (\boldsymbol{\nabla}V )=0\)

Obsérvese que el producto vectorial de dos vectores idénticos

\[\mathbf{A} \times \mathbf{A} = 0 \label{G.16}\]

Por lo tanto

\[\boldsymbol{\nabla}\times (\boldsymbol{\nabla}V )=0 \label{G.17}\]

Esto se puede confirmar evaluando los componentes separados a lo largo de cada eje.

3)\(\boldsymbol{\nabla} \cdot (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})=0\)

Esto es cero porque el producto cruzado es perpendicular\(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}\) y por lo tanto el producto punto es cero.

4)\(\boldsymbol{\nabla}\times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) = \boldsymbol{\nabla} \cdot (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}) − \nabla^2\mathbf{A}\)

La identidad

\[\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) − (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \mathbf{C} \label{G.18}\]

se puede utilizar para dar

\[\boldsymbol{\nabla}\times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) = \boldsymbol{\nabla} \cdot (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}) − \nabla^2\mathbf{A} \label{G.19}\]

ya que\(\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla} = \nabla^2\).

Existen escollos en la discusión de segundas derivadas en el sentido de que se supone que ambos operadores operan sobre una misma variable, de lo contrario los resultados son diferentes.

Operadores vectoriales diferenciales en coordenadas curvilíneas

Como se discute en el Apéndice\(19.3\) hay muchas situaciones en las que las simetrías hacen más conveniente el uso de sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales en lugar de coordenadas cartesianas. Por lo tanto, es necesario extender las derivadas vectoriales de coordenadas cartesianas a curvilíneas. La tabla se\(19.3.1\) puede utilizar para expresar derivados de vectores en sistemas de coordenadas curvilíneas.

Gradiente

El gradiente en coordenadas curvilíneas es

\[\boldsymbol{\nabla}f = \frac{1}{h_1} \frac{\partial f}{ \partial q_1} \mathbf{\hat{q}}_1 + \frac{1}{h_2} \frac{\partial f}{ \partial q_2} \mathbf{\hat{q}}_2 + \frac{1}{h_3} \frac{\partial f}{ \partial q_3} \mathbf{\hat{q}}_3 \label{G.20}\]

donde se\(h_i\) listan los coeficientes en la tabla\(19.3.1\). Para coordenadas cilíndricas esto se convierte en

\[\boldsymbol{\nabla}f = \frac{\partial f}{ \partial \rho} \boldsymbol{\hat{\rho}} + \frac{1}{ \rho} \frac{\partial f}{ \partial \varphi } \boldsymbol{\hat{\varphi}} + \frac{\partial f}{ \partial z} \mathbf{\hat{z}} \label{G.21}\]

En coordenadas esféricas

\[\boldsymbol{\nabla}f = \frac{\partial f}{ \partial r} \mathbf{\hat{r}} + \frac{1}{ r} \frac{\partial f}{ \partial \theta} \boldsymbol{\hat{\theta}} + \frac{1}{ r \sin \theta} \frac{\partial f}{ \partial \varphi} \boldsymbol{\hat{\varphi}} \label{G.22}\]

Divergencia

La divergencia se puede expresar como

\[\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A} = \frac{1}{h_1h_2h_3} \left[ \frac{\partial}{ \partial q_1} (A_1h_2h_3) + \frac{\partial}{ \partial q_2 } (A_2h_3h_1) + \frac{\partial}{ \partial q_3} (A_3h_1h_2) \right] \label{G.23}\]

En coordenadas cilíndricas la divergencia es

\[\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{ \partial \rho} (\rho A_{\rho}) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_{\varphi}}{ \partial \varphi} + \frac{\partial A_z}{ \partial z} = \frac{A_{\rho}}{ \rho} + \frac{\partial A_{\rho}}{ \partial \rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_{\varphi}}{ \partial \varphi} + \frac{\partial A_z}{ \partial z} \label{G.24}\]

En coordenadas esféricas la divergencia es

\[\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A} = \frac{1}{ r^2 \sin \theta} \left[ \frac{\partial}{ \partial r} \left( A_r r^2 \sin \theta \right) + \frac{\partial}{ \partial \theta} (A_{\theta} r \sin \theta ) + \frac{\partial}{ \partial \varphi} (A_{\varphi} r) \right] \label{G.25}\]

Curl

\ [\ boldsymbol {\ nabla}\ veces\ mathbf {A} =\ frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}\ begin {vmatrix} h_ {1}\ mathbf {\ hat {q}} _ {1} & h_ {2}\ mathbf {\ hat {q} _ {2} & h_ {3}\ mathbf {\ hat {q}} _ {3}\
\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ parcial q_ {1}} &\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ parcial} {\ parcial} {\ parcial q_ {3}}\\ h_ {1} A _ {1} & h_ {2} A_ {2} & h_ {3} A_ {3}\ fin {vmatrix}\ etiqueta {G.26}\]

En coordenadas cilíndricas el rizo es

\ [\ negridsymbol {\ nabla}\ veces\ mathbf {A} =\ frac {1} {\ rho}\ begin {vmatrix}
\ boldsymbol {\ hat {\ rho}} &\ rho\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}} &\ mathbf {\ hat {z}}\\ frac {
\ parcial} {\ parcial\ rho} &\ frac {\ parcial} {\ parcial\ varphi} &\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ z parcial}\\
A_ {\ rho} &\ rho A_ {\ varphi} & A_ {z}\ end {vmatrix}\ etiqueta {G.27}\]

En coordenadas esféricas el rizo es

\ [\ negridsymbol {\ nabla}\ veces\ mathbf {A} =\ frac {1} {r^ {2}\ sin\ theta}\ begin {vmatrix}
\ mathbf {\ hat {r}} & r\ negridsymbol {\ hat {\ theta}} & r\ sin\ theta\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}\
\ frac {\ parcial} {\ r parcial} &\ frac {\ parcial} {\ parcial\ theta} &\ frac {\ parcial} {\ parcial\ varphi}\\
A_ {r} & r\ rho A_ {\ theta} & r\ sin\ theta A_ {\ varphi}\ end {vmatrix}\ etiqueta {G.28}\]

Laplaciano

Tomando la divergencia del gradiente de un escalar da

\[\nabla^2f = \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla}f = \frac{1}{h_1h_2h_3} \left[ \frac{\partial}{ \partial q_1} \left(\frac{h_2h_3 }{h_1} \frac{\partial f}{ \partial q_1} \right) + \frac{\partial}{ \partial q_2} \left(\frac{h_3h_1}{h_2} \frac{\partial f}{ \partial q_2} \right) + \frac{\partial}{ \partial q_3} \left(\frac{h_1h_2 }{h_3} \frac{\partial f}{ \partial q_3} \right)\right] \label{G.29}\]

El Laplaciano de una función escalar\(f\) en coordenadas cilíndricas es

\[\nabla^2f = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{ \partial \rho} \left( \rho \frac{\partial f}{ \partial \rho} \right) + \frac{1}{ \rho^2} \frac{\partial^2f}{ \partial \varphi^2} + \frac{\partial^2f}{ \partial z^2} \label{G.30}\]

El Laplaciano de una función escalar\(f\) en coordenadas esféricas es

\[\nabla^2f = \frac{1}{ r^2} \frac{\partial}{ \partial r} \left( r^2 \frac{\partial f}{ \partial r} \right) + \frac{1}{ r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{ \partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial f}{ \partial \theta} \right) + \frac{1}{ r^2 \sin \theta } \frac{ \partial^2f}{ \partial \varphi^2} \label{G.31}\]

El gradiente, divergencia, rizo y laplaciano se utilizan ampliamente en sistemas de coordenadas curvilíneas cuando se trata de campos vectoriales en mecánica newtoniana, electromagnetismo y flujo de fluidos.