8.E: Potenciales Centrales (Ejercicios)

1. Una partícula de masa\(m\) se coloca en un pozo esférico finito:\ begin {ecuación} V (r) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
   -V_ {0} &\ text {for} r\ leq a\\
   0 &\ text {for} r>a
   \ end {array}\ right. \ end {ecuación} con\(V_0>0\) y\(a>0\). Encuentra el estado fundamental resolviendo la ecuación radial con\(l=0\). Demostrar que no hay estado tierra-estado si\(V_0\,a^{\,2}< \pi^{\,2}\,\hbar^{\,2}/(8\,m)\).
2. Considere una partícula de masa\(m\) en el potencial del oscilador armónico tridimensional\(V(r)=(1/2)\,m\,\omega^{\,2}\,r^{\,2}\). Resolver el problema mediante la separación de variables en coordenadas esféricas, y, de ahí, determinar los valores propios de energía del sistema.
3. La función de onda normalizada para el estado fundamental de un átomo similar al hidrógeno (hidrógeno neutro\({\rm He}^+\)\({\rm Li}^{++}\),,, etcétera) con carga nuclear\(Z\,e\) tiene la forma\[\psi = A\,\exp(-\beta\,r),\] donde\(A\) y\(\beta\) son constantes, y\(r\) es la distancia entre el núcleo y el electrón. Mostrar lo siguiente:
   1. \(A^2=\beta^{\,3}/\pi\).
   2. \(\beta = Z/a_0\), donde\(a_0=(\hbar^{\,2}/m_e)\,(4\pi\,\epsilon_0/e^{\,2})\).
   3. La energía es\(E=-Z^{\,2}\,E_0\) donde\(E_0 = (m_e/2\,\hbar^{\,2})\,(e^{\,2}/4\pi\,\epsilon_0)^2\).
   4. Los valores de expectativa de las energías potenciales y cinéticas son\(2\,E\) y\(-E\), respectivamente.
   5. El valor de expectativa de\(r\) es\((3/2)\,(a_0/Z)\).
   6. El valor más probable de\(r\) es\(a_0/Z\).
4. Un átomo de tritio se encuentra en su estado fundamental. De pronto el núcleo se descompone en un núcleo de helio, a través de la emisión de un electrón rápido que abandona el átomo sin perturbar al electrón extranuclear, Encuentra la probabilidad de que el\({\rm He}^+\) ion resultante quede en un\(l=0\) estado\(n=1\),. Encuentra la probabilidad de que quede en un\(l=0\) estado\(n=2\),. ¿Cuál es la probabilidad de que el ion quede en un\(l>0\) estado?
5. Calcular las longitudes de onda de los fotones emitidos desde la\(l=0\) transición\(n=2\)\(n=1\),\(l=1\) a, en hidrógeno, deuterio y positronio.
6. Para conservar el impulso lineal, un átomo que emite un fotón debe retroceso, lo que significa que no toda la energía disponible en el salto descendente va al fotón. Encuentra la energía de retroceso de un átomo de hidrógeno cuando emite un fotón en una\(n=1\) transición\(n=2\) a. ¿Qué fracción de la energía de transición es la energía de retroceso?

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)