11.1: Ejercicios

1. Considerar el sistema biestatal investigado en la Sección 1.3. Mostrar que las expresiones más generales para los valores propios y autoestados de energía perturbados son\[\begin{aligned} E_1'&= E_1 + e_{11}+\frac{|e_{12}|^{\,2}}{E_1-E_2}+{\cal O}(\epsilon^{\,3}),\nonumber\\[0.5ex] E_2' &= E_2+e_{22}- \frac{|e_{12}|^{\,2}}{E_1-E_2}+{\cal O}(\epsilon^{\,3}),\nonumber\end{aligned}\] y\[\begin{aligned} \psi_1' &= \psi_1+ \frac{e_{12}^{\,\ast}}{E_1-E_2}\,\psi_2 + {\cal O}(\epsilon^{\,2}),\nonumber\\[0.5ex] \psi_2' &= \psi_2 -\frac{e_{12}}{E_1-E_2}\,\psi_1+{\cal O}(\epsilon^{\,2}),\nonumber\end{aligned}\] respectivamente. Aquí,\(\epsilon = |e_{12}|/(E_1-E_2)\ll 1\). Se puede suponer que\(|e_{11}|/(E_1-E_2)\),\(|e_{22}|/(E_1-E_2)\sim {\cal O}(\epsilon)\).
2. Considerar el sistema biestatal investigado en la Sección 1.3. Demostrar que si los autoestados energéticos imperturbables también son autoestados del perturbador hamiltoniano entonces\[\begin{aligned} E_1'&= E_1 + e_{11},\nonumber\\[0.5ex] E_2' &= E_2+e_{22},\nonumber\end{aligned}\] y\[\begin{aligned} \psi_1' &= \psi_1 \nonumber\\[0.5ex] \psi_2' &= \psi_2\nonumber\end{aligned}\] a todos los órdenes en la expansión de perturbación.
3. Considerar el sistema biestatal investigado en la Sección 1.3. Mostrar que si los autoestados energéticos imperturbados son degenerados, de manera que\(E_1=E_2=E_{12}\), entonces las expresiones más generales para los autovalores y autoestados de energía perturbados son y\[\psi^\pm= \langle 1|\psi^\pm\rangle\, \psi_1+\langle 2|\psi^\pm\rangle\,\psi_2,\] respectivamente, donde\[E^\pm = E_{12}+e^\pm,\]\[e^\pm = \frac{1}{2}\,(e_{11}+e_{22})\pm \frac{1}{2}\left[(e_{11}-e_{22})^2+4\,|e_{12}|^{\,2}\right]^{1/2},\] y\[\frac{\langle 1|\psi^\pm\rangle}{\langle 2|\psi^\pm\rangle}=-\left(\frac{e_{12}}{e_{11}-e^\pm}\right)=-\left(\frac{e_{22}-e^{\pm}}{e_{12}^{\,\ast}}\right).\] Demostrar que los\(\psi^\pm\) son los simultáneos estados propios del hamiltoniano imperturbado,\(H_0\), y el hamiltoniano perturbado,\(H_1\), y que los\(e^\pm\) son los valores propios correspondientes de\(H_1\).
4. Calcular el cambio de energía de orden más bajo en el estado base del oscilador armónico unidimensional cuando\[V = \lambda\,x^{\,4}\] se agrega la perturbación a\[H = \frac{p_x^{\,2}}{2\,m} + \frac{1}{2}\,m\,\omega^{\,2}\,x^{\,2}.\]

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)