11.2: Notación mejorada

Antes de comenzar nuestra investigación, es útil introducir alguna notación mejorada. Que el\(\psi_i\) sea un conjunto completo de autoestados del hamiltoniano,\(H\), correspondientes a los valores propios\(E_i\): es decir,\[H\,\psi_i = E_i\,\psi_i.\] Ahora, esperamos que el\(\psi_i\) sea ortonormal. (Ver Sección [seig].) En una dimensión, esto implica que \[\label{e12.1} \int_{-\infty}^\infty \psi_i^\ast\,\psi_j\,dx = \delta_{ij}.\]En tres dimensiones (ver Capítulo [sthree]), la expresión anterior generaliza a

\[\label{e12.2} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \psi_i^\ast\,\psi_j\,dx\,dy\,dz = \delta_{ij}.\]Por último, si los\(\psi_i\) son espinores (ver Capítulo [sspin]) entonces tenemos

\[\label{e12.3} \psi_i^\dagger\,\psi_j = \delta_{ij}.\]La generalización al caso donde\(\psi\) es producto de una función ondulada regular y una espinor es bastante obvia. Podemos representar todas las posibilidades anteriores escribiendo\[\langle \psi_i|\psi_j\rangle \equiv \langle i|j\rangle = \delta_{ij}.\] Aquí, el término entre paréntesis angulares representa las integrales que aparecen en las Ecuaciones ([e12.1]) y ([e12.2]) en el espacio regular uno y tridimensional, respectivamente, y el producto espinor que aparece en la Ecuación ( [e12.3]) en spin-space. La ventaja de nuestra nueva notación es su gran generalidad: es decir, puede tratar con funciones de onda unidimensionales, funciones de onda tridimensionales, espinores, etcétera.

Ampliando una función de onda general\(\psi_a\), en términos de los propios estados energéticos\(\psi_i\),, obtenemos

\[\label{e12.7} \psi_a = \sum_i c_i\,\psi_i.\]En una dimensión, los coeficientes de expansión toman la forma (ver Sección [seig])\[c_i = \int_{-\infty}^\infty\psi_i^\ast\,\psi_a\,dx,\] mientras que en tres dimensiones obtenemos\[c_i = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\psi_i^\ast\,\psi_a\,dx\,dy\,dz.\] Finalmente, si\(\psi\) es un spinor entonces\[c_i = \psi_i^\dagger\,\psi_a.\] tenemos Podemos representar todas las posibilidades anteriores escribiendo\[c_i =\langle\psi_i|\psi_a\rangle\equiv \langle i|a\rangle.\] La expansión ([e12.7]) se convierte así \[\label{e12.13a} \psi_a = \sum_i\langle\psi_i|\psi_a\rangle\,\psi_i\equiv \sum_i \langle i|a\rangle\,\psi_i.\]Incidentalmente, se deduce que\[\langle i|a\rangle^\ast=\langle a| i\rangle.\]

Finalmente, si\(A\) es un operador general, y la función de onda\(\psi_a\) se expande de la manera mostrada en la Ecuación ([e12.7]), entonces\(A\) se escribe el valor de expectativa de (ver Sección [seig])

\[\label{e12.14} \langle A\rangle = \sum_{i,j} c_i^\ast\,c_j\,A_{ij}.\]Aquí, como era de esperar,\(A_{ij}\) se conocen como los elementos de la matriz de\(A\). En una dimensión, los elementos de la matriz toman la forma\[A_{ij} = \int_{-\infty}^\infty\psi_i^\ast\,A\,\psi_j\,dx,\] mientras que en tres dimensiones obtenemos\[A_{ij} = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\psi_i^\ast\,A\,\psi_j\,dx\,dy\,dz.\] Finalmente, si\(\psi\) es un spinor entonces\[A_{ij}=\psi_i^\dagger\,A\,\psi_j.\] tenemos Podemos representar todas las posibilidades anteriores escribiendo\[A_{ij}=\langle \psi_i|A|\psi_j\rangle \equiv \langle i|A|j\rangle.\] La expansión ([e12.14]) se convierte así

\[\label{e12.20a} \langle A\rangle \equiv\langle a|A|a\rangle= \sum_{i,j} \langle a|i\rangle \langle i|A|j\rangle \langle j|a\rangle.\]Por cierto, se deduce que [ver Ecuación ([e5.48])]\[\langle i|A|j\rangle^\ast=\langle j| A^\dagger|i\rangle.\] Finalmente, se desprende de la Ecuación ([e12.20a]) que

\[\label{e12.20} \sum_{i} |i\rangle \langle i| \equiv 1,\]donde\(\psi_i\) son un conjunto completo de estados propios, y 1 es el operador de identidad.

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)