11.8: Estructura Fina del Hidrógeno

De acuerdo con la relatividad especial, la energía cinética (es decir, la diferencia entre la energía total y la energía de masa de reposo) de una partícula de masa de reposo\(m\) e impulso\(p\) es\[T = \sqrt{p^{\,2}\,c^{\,2}+m^{\,2}\,c^{\,4}} - m\,c^{\,2}.\] En el límite no relativista\(p\ll m\,c\), podemos expandir la raíz cuadrada en el anterior expresión para dar\[T = \frac{p^{\,2}}{2\,m}\left[1- \frac{1}{4}\left(\frac{p}{m\,c}\right)^2+ {\cal O}\left(\frac{p}{m\,c}\right)^4\right].\] De ahí, Por\[T \simeq \frac{p^{\,2}}{2\,m} - \frac{p^{\,4}}{8\,m^{\,3}\,c^{\,2}}.\] supuesto, reconocemos el primer término en el lado derecho de esta ecuación como la expresión no relativista estándar para la energía cinética. El segundo término es la corrección relativista de orden más bajo a esta energía. Consideremos el efecto de este tipo de corrección sobre los niveles de energía de un átomo de hidrógeno. Entonces, el imperturbable hamiltoniano viene dado por la ecuación ([e12.58]), y el perturbador hamiltoniano toma la forma\[H_1 = - \frac{p^{\,4}}{8\,m_e^{\,3}\,c^{\,2}}.\]

Ahora, de acuerdo con la teoría estándar de perturbación de primer orden (ver Sección 1.4), la corrección relativista de orden más bajo a la energía de un estado de átomo de hidrógeno caracterizado por los números cuánticos estándar\(n\)\(l\),, y\(m\) está dada por\[\begin{aligned} {\mit\Delta} E_{nlm} &= \langle n,l,m|H_1|n,l,m\rangle = - \frac{1}{8\,m_e^{\,3}\,c^{\,2}}\, \langle n,l,m|p^{\,4}|n,l,m\rangle\nonumber\\[0.5ex] &= - \frac{1}{8\,m_e^{\,3}\,c^{\,2}}\, \langle n,l,m|p^{\,2}\,p^{\,2}|n,l,m\rangle.\end{aligned}\] Sin embargo, Schrödinger ecuación para un átomo de hidrógeno no perturbado se puede escribir\[p^{\,2}\,\psi_{n,l,m} = 2\,m_e\,(E_n-V)\,\psi_{n,l,m},\] donde\(V=-e^{\,2}/(4\pi\,\epsilon_0\,r)\). Debido a que\(p^{\,2}\) es un operador hermitiano, se\[\begin{aligned} {\mit\Delta} E_{nlm} &= -\frac{1}{2\,m_e\,c^{\,2}}\,\langle n,l,m|(E_n -V)^{\,2}|n,l,m\rangle\nonumber\\[0.5ex] &= -\frac{1}{2\,m_e\,c^{\,2}}\left(E_n^{\,2} - 2\,E_n\,\langle n,l,m|V|n,l,m\rangle + \langle n,l,m|V^{\,2}|n,l,m\rangle\right)\nonumber\\[0.5ex] &= -\frac{1}{2\,m_e\,c^{\,2}}\left[ E_n^{\,2} + 2\,E_n\left(\frac{e^{\,2}}{4\pi\,\epsilon_0}\right)\left\langle \frac{1}{r}\right\rangle + \left(\frac{e^{\,2}}{4\pi\,\epsilon_0}\right)^2\left\langle\frac{1}{r^{\,2}}\right\rangle\right].\end{aligned}\] deduce que De las Ecuaciones ([e9.74]) y ([e9.75]) que\[\begin{aligned} {\mit\Delta} E_{nlm} &= -\frac{1}{2\,m_e\,c^{\,2}}\left[ E_n^{\,2} + 2\,E_n\left(\frac{e^{\,2}}{4\pi\,\epsilon_0}\right)\frac{1}{n^{\,2}\,a_0} + \left(\frac{e^{\,2}}{4\pi\,\epsilon_0}\right)^2\frac{1}{(l+1/2)\,n^{\,3}\,a_0^{\,2}}\right].\nonumber\\[0.5ex]&\end{aligned}\] Finalmente, haciendo uso de Ecuaciones ([e9.55]), ([e9.56]), y ([e9.57]), la expresión anterior reduce a

\[\label{e12.121} {\mit\Delta} E_{nlm} = E_n\,\frac{\alpha^{\,2}}{n^{\,2}}\left(\frac{n}{l+1/2}-\frac{3}{4}\right),\]donde\[\alpha = \frac{e^{\,2}}{4\pi\,\epsilon_0\,\hbar\,c}\simeq \frac{1}{137}\] es la constante de estructura fina adimensional.

Tenga en cuenta que la derivación anterior supone implícitamente que\(p^{\,4}\) es un operador hermitiano. Resulta que este no es el caso de los\(l=0\) estados. No obstante, algo fortuitamente, nuestro cálculo todavía da la respuesta correcta cuando\(l=0\). Obsérvese, también, que somos capaces de emplear la teoría de perturbación no degenerada en el cálculo anterior, utilizando\(\psi_{nlm}\) los propios estados, porque el hamiltoniano perturbador conmuta con ambos\(L^2\) y\(L_z\). De ello se deduce que no hay acoplamiento entre estados con números diferentes\(l\) y\(m\) cuánticos. De ahí que todos los estados acoplados tengan diferentes números\(n\) cuánticos, y por lo tanto tienen diferentes energías.

Ahora, un electrón en un átomo de hidrógeno experimenta un campo eléctrico\[{\bf E} = \frac{e\,{\bf r}}{4\pi\epsilon_0\,r^{\,3}}\] debido a la carga en el núcleo. Sin embargo, según la teoría electromagnética, una partícula no relativista que se mueve en un campo eléctrico\({\bf E}\) con velocidad\({\bf v}\) también experimenta un campo magnético efectivo

\ begin {ecuación}\ mathbf {B} =-\ frac {\ mathbf {v}\ times\ mathbf {E}} {c^ {2}}\ end {ecuación} Recordemos, que un electrón posee un momento magnético [ver Ecuaciones ([e10.58]) y ([e10.59])]\[\mu = - \frac{e}{m_e}\,{\bf S}\] debido a su momento angular de giro,\({\bf S}\). Nosotros, por lo tanto, esperamos una contribución adicional al hamiltoniano de un átomo de hidrógeno de la forma [ver Ecuación ([e10.60a])]\[\begin{aligned} H_1 = - \mu\cdot {\bf B}=- \frac{e^{\,2}}{4\pi\,\epsilon_0\,m_e\,c^{\,2}\,r^{\,3}}\,{\bf v}\times {\bf r}\cdot{\bf S}= \frac{e^{\,2}}{4\pi\,\epsilon_0\,m_e^{\,2}\,c^{\,2}\,r^{\,3}}\,{\bf L}\cdot {\bf S},\end{aligned}\] donde\({\bf L} = m_e\,{\bf r}\times {\bf v}\) está el momento angular orbital del electrón. Este efecto se conoce como acoplamiento espín-órbita. Resulta que la expresión anterior es demasiado grande, por un factor 2, debido a un oscuro efecto relativista conocido como Thomas precesión. De ahí que la verdadera corrección de espín-órbita al hamiltoniano sea

\[\label{e12.127} H_1 = \frac{e^{\,2}}{8\pi\,\epsilon_0\,m_e^{\,2}\,c^{\,2}\,r^{\,3}}\,{\bf L}\cdot {\bf S}.\]Ahora apliquemos la teoría de la perturbación al átomo de hidrógeno, utilizando la expresión anterior como el hamiltoniano perturbador.

Ahora,\[{\bf J} = {\bf L} + {\bf S}\] es el momento angular total del sistema. De ahí,\[J^{\,2} = L^2+S^2+ 2\,{\bf L}\cdot{\bf S},\] dando\[{\bf L}\cdot {\bf S} = \frac{1}{2}\,(J^{\,2}-L^2-S^2).\] Recall, de la Sección [s11.2], que mientras\(J^{\,2}\) se desplaza con ambos\(L^2\) y\(S^2\), no conmuta con ninguno\(L_z\) ni\(S_z\). De ello se deduce que el perturbador hamiltoniano ([e12.127]) también conmuta con ambos\(L^2\) y\(S^2\), pero no conmuta con ninguno\(L_z\) ni\(S_z\). De ahí que los autoestados simultáneos de los imperturbables hamiltonianos ([e12.58]) y los hamiltonianos perturbadores ([e12.127]) son los mismos que los autoestados simultáneos de\(L^2\)\(S^2\), y\(J^{\,2}\) discutidos en la Sección [s11.3]. Es importante saberlo porque, según la Sección 1.6, sólo podemos aplicar con seguridad la teoría de la perturbación a los autoestados simultáneos de los hamiltonianos imperturbables y perturbadores.

Adoptando la notación introducida en la Sección [s11.3], deja\(\psi^{(2)}_{l,s;j,m_j}\) ser un autoestado simultáneo de\(L^2\)\(S^2\),\(J^{\,2}\),, y\(J_z\) correspondiente a los valores propios\[\begin{aligned} L^2\,\psi^{(2)}_{l,s;j,m_j} &= l\,(l+1)\,\hbar^{\,2}\,\psi^{(2)}_{l,s;j,m_j},\\[0.5ex] S^2\,\psi^{(2)}_{l,s;j,m_j} &= s\,(s+1)\,\hbar^{\,2}\,\psi^{(2)}_{l,s;j,m_j},\\[0.5ex] J^{\,2}\,\psi^{(2)}_{l,s;j,m_j} &= j\,(j+1)\,\hbar^{\,2}\,\psi^{(2)}_{l,s;j,m_j},\\[0.5ex] J_z\,\psi^{(2)}_{l,s;j,m_j} &= m_j\,\hbar\,\psi^{(2)}_{l,s;j,m_j}.\end{aligned}\] Según la teoría estándar de perturbación de primer orden, el desplazamiento de energía inducido en tal estado por acoplamiento espín-órbita es dado por\[\begin{aligned} {\mit\Delta} E_{l,1/2;j,m_j} &= \langle l,1/2;j,m_j|H_1|l,1/2;j,m_j\rangle\nonumber\\[0.5ex] &= \frac{e^{\,2}}{16\pi\,\epsilon_0\,m_e^{\,2}\,c^{\,2}}\left\langle 1,1/2;j,m_j\left|\frac{J^{\,2}-L^2-S^2}{r^{\,3}}\right|l,1/2;j,m_j\right\rangle\nonumber\\[0.5ex] &= \frac{e^{\,2}\,\hbar^{\,2}}{16\pi\,\epsilon_0\,m_e^{\,2}\,c^{\,2}}\,\left[j\,(j+1)-l\,(l+1)-3/4\right]\,\left\langle\frac{1}{r^{\,3}}\right\rangle.\end{aligned}\] Aquí, hemos hecho uso del hecho de que\(s=1/2\) para un electrón. De la Ecuación ([e9.75a]) se deduce que\[{\mit\Delta} E_{l,1/2;j,m_j}= \frac{e^{\,2}\,\hbar^{\,2}}{16\pi\,\epsilon_0\,m_e^{\,2}\,c^{\,2}\,a_0^{\,3}}\left[\frac{j\,(j+1)-l\,(l+1)-3/4}{l\,(l+1/2)\,(l+1)\,n^{\,3}}\right],\] dónde\(n\) está el número cuántico radial. Finalmente, haciendo uso de las ecuaciones ([e9.55]), ([e9.56]) y ([e9.57]), la expresión anterior reduce a

\[\label{e12.137} {\mit\Delta} E_{l,1/2;j,m_j}= E_n\,\frac{\alpha^{\,2}}{n^{\,2}}\left[ \frac{n\,\left\{3/4+l\,(l+1)-j\,(j+1)\right\}}{2\,l\,(l+1/2)\,(l+1)}\right],\]donde\(\alpha\) está la constante de estructura fina. Una comparación de esta expresión con la Ecuación ([e12.121]) revela que el desplazamiento de energía debido al acoplamiento espín-órbita es del mismo orden de magnitud que el debido a la corrección relativista de orden más bajo al hamiltoniano. Podemos sumar estas dos correcciones juntas (aprovechando el hecho de que\(j=l\pm 1/2\) para un átomo de hidrógeno, ver Sección [s11.3]) para obtener un desplazamiento neto de energía de

\[\label{e12.138} {\mit\Delta} E_{l,1/2;j,m_j}= E_n\,\frac{\alpha^{\,2}}{n^{\,2}}\left(\frac{n}{j+1/2}-\frac{3}{4}\right).\]Esta modificación de los niveles de energía de un átomo de hidrógeno debido a una combinación de relatividad y acoplamiento espín-órbita se conoce como estructura fina.

Ahora bien, es convencional referirse a los autoestados energéticos de un átomo de hidrógeno que también son autoestados simultáneos de\(J^{\,2}\) como\(nL_j\) estados, donde\(n\) está el número cuántico radial,\(L=(S,P,D,F,\cdots)\) como\(l=(0,1,2,3,\cdots)\), y\(j\) es el número cuántico de momento angular total. Examinemos el efecto del desplazamiento energético de la estructura fina ([e12.138]) sobre estos autoestados para\(n=1,2\) y 3.

Porque\(n=1\), a falta de estructura fina, hay dos\(1S_{1/2}\) estados degenerados. Según la Ecuación ([e12.138]), la estructura fina inducida por los desplazamientos de energía de estos dos estados son los mismos. De ahí que la estructura fina no rompa la degeneración de los dos\(1S_{1/2}\) estados de hidrógeno.

Porque\(n=2\), a falta de estructura fina, hay dos\(2S_{1/2}\) estados, dos\(2P_{1/2}\) estados, y cuatro\(2P_{3/2}\) estados, todos los cuales son degenerados. Según la Ecuación ([e12.138]), la estructura fina indujo los desplazamientos de energía de\(2P_{1/2}\) los estados\(2S_{1/2}\) y son los mismos entre sí, pero son diferentes del desplazamiento energético inducido de los\(2P_{3/2}\) estados. De ahí que la estructura fina no rompa la degeneración de los\(2P_{1/2}\) estados\(2S_{1/2}\) y del hidrógeno, sino que rompe la degeneración de estos estados en relación con los\(2P_{3/2}\) estados.

Porque\(n=3\), a falta de estructura fina, hay dos\(3S_{1/2}\) estados, dos\(3P_{1/2}\) estados, cuatro\(3P_{3/2}\) estados, cuatro\(3D_{3/2}\) estados, y seis\(3D_{5/2}\) estados, todos los cuales son degenerados. Según la Ecuación ([e12.138]), la estructura fina divide estos estados en tres grupos: los\(3P_{1/2}\) estados\(3S_{1/2}\) y, los\(3D_{3/2}\) estados\(3P_{3/2}\) y, y los\(3D_{5/2}\) estados.

El efecto del desplazamiento de energía de estructura fina sobre los estados de energía\(n=1\), 2 y 3 de un átomo de hidrógeno se ilustra en la figura siguiente:

Figura 23: Efecto del desplazamiento energético de estructura fina sobre los estados y 3 de un átomo de hidrógeno. No a escala.

Obsérvese, finalmente, que aunque la expresión ([e12.137]) no tiene un valor bien definido para\(l=0\), cuando se agrega a la expresión ([e12.121]) ésta, algo fortuitamente, da lugar a una expresión ([e12.138]) que está bien definida y correcta cuando\(l=0\).

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)