11.9: Efecto Zeeman

Considera un átomo de hidrógeno colocado en un campo magnético externo de magnitud\(z\) dirigido uniforme\(|{\bf B}|\). La modificación al hamiltoniano del sistema es\[H_1 = -\mu\cdot{\bf B},\] donde\[\mu = - \frac{e}{2\,m_e}\,({\bf L} + 2\,{\bf S})\] está el momento magnético total del electrón, incluyendo las contribuciones orbitales y espinas. [Ver Ecuaciones ([e10.57]) — ([e10.59]).] Por lo tanto,\[H_1 = \frac{e\,B}{2\,m_e}\,(L_z+ 2\,S_z).\]

Supongamos que el campo magnético aplicado es mucho más débil que el campo magnético interno del átomo, ([e12.124]). Debido a que la magnitud del campo interno es de aproximadamente 25 tesla, esta es una suposición bastante razonable. En esta situación, podemos tratar\(H_1\) como una pequeña perturbación que actúa sobre los propios estados simultáneos del imperturbable hamiltoniano y la estructura fina hamiltoniana. Por supuesto, estos estados son los autoestados simultáneos de\(L^2\),\(S^2\),\(J^{\,2}\), y\(J_z\). (Ver el apartado anterior.) De ahí que, a partir de la teoría de perturbación estándar, se deba al cambio de energía de primer orden inducido por un campo magnético externo débil\(J_z=L_z+S_z\).\[\begin{aligned} {\mit\Delta} E_{l,1/2;j,m_j} &= \langle l,1/2;j,m_j|H_1|l,1/2;j,m_j\rangle\nonumber\\[0.5ex] &= \frac{e\,B}{2\,m_e}\,\left(m_j\,\hbar + \langle l,1/2;j,m_j|S_z|l,1/2;j,m_j\rangle\right),\end{aligned}\] Ahora bien, según las Ecuaciones ([e11.47]) y ([e11.48]),

\[\label{e12.143} \psi^{(2)}_{j,m_j} = \left(\frac{j+m_j}{2\,l+1}\right)^{1/2}\psi^{(1)}_{m_j-1/2,1/2} + \left(\frac{j-m_j}{2\,l+1}\right)^{1/2}\,\psi^{(1)}_{m_j+1/2,-1/2}\]cuándo\(j=l+1/2\) y\[\psi^{(2)}_{j,m_j} = \left(\frac{j+1-m_j}{2\,l+1}\right)^{1/2}\psi^{(1)}_{m_j-1/2,1/2} - \left(\frac{j+1+m_j}{2\,l+1}\right)^{1/2}\,\psi^{(1)}_{m_j+1/2,-1/2}\] cuándo\(j=l-1/2\). Aquí, los\(\psi^{(1)}_{m,m_s}\) son los autoestados simultáneos de\(L^2\),\(S^2\),\(L_z\), y\(S_z\), mientras que los\(\psi^{(2)}_{j,m_j}\) son los autoestados simultáneos de\(L^2\),\(S^2\),\(J^{\,2}\), y\(J_z\). En particular, \[\label{e12.145} S_z\,\psi^{(1)}_{m,\pm 1/2} = \pm \frac{\hbar}{2}\,\psi^{(1)}_{m,\pm 1/2}.\]se desprende de las ecuaciones ([e12.143]) — ([e12.145]), y la ortormalidad de la\(\psi^{(1)}\), que\[\langle l,1/2;j,m_j|S_z|l,1/2;j,m_j\rangle = \pm \frac{m_j\,\hbar}{2\,l+1}\] cuando\(j=l\pm 1/2\). Así, el desplazamiento de energía inducido cuando un átomo de hidrógeno se coloca en un campo magnético externo, que se conoce como el efecto Zeeman, se convierte en \[\label{e12.147} {\mit\Delta} E_{l,1/2;j,m_j} = \mu_B\,B\,m_j\left(1\pm \frac{1}{2\,l+1}\right)\]donde corresponden los\(\pm\) signos\(j=l\pm 1/2\). Aquí,\[\mu_B = \frac{e\,\hbar}{2\,m_e} = 5.788\times 10^{-5}\,{\rm eV/T}\] se conoce como el magnetrón de Bohr. Por supuesto, el número cuántico\(m_j\) toma valores que difieren por unidad en el rango\(-j\) a\(j\). Por lo tanto, de la Ecuación ([e12.147]) se desprende que el efecto Zeeman divide los estados degenerados caracterizados por\(j=l+1/2\) en estados\(2\,j+1\) igualmente espaciados de espaciado interestatal. \[\label{e12.149} {\mit\Delta} E_{j=l+1/2} = \mu_B\,B\left(\frac{2\,l+2}{2\,l+1}\right).\]Asimismo, el efecto Zeeman divide los estados degenerados caracterizados por\(j=l-1/2\) \(2\,j+1\)estados igualmente espaciados de espaciado interestatal \[\label{e12.150} {\mit\Delta} E_{j=l-1/2} = \mu_B\,B\left(\frac{2\,l}{2\,l+1}\right).\]

En conclusión, en presencia de un campo magnético externo débil, los dos\(1S_{1/2}\) estados degenerados del átomo de hidrógeno se dividen por\(2\,\mu_B\,B\). De igual manera, los cuatro estados degenerados\(2S_{1/2}\) y\(2P_{1/2}\) los estados se dividen por\((2/3)\,\mu_B\,B\), mientras que los cuatro\(2P_{3/2}\) estados degenerados se dividen por\((4/3)\,\mu_B\,B\). Esto se ilustra en la Figura [fzee]. Obsérvese, finalmente, que debido a que no\(\psi^{(2)}_{l,m_j}\) son autoestados simultáneos de los hamiltonianos imperturbables y perturbadores, las ecuaciones ([e12.149]) y ([e12.150]) solo pueden considerarse como los valores de expectativa de los cambios de energía inducidos por el campo magnético. Sin embargo, mientras el campo magnético externo sea mucho más débil que el campo magnético interno, estos valores de expectativa son casi idénticos a los valores medidos reales de los desplazamientos de energía.

Figura 24: El efecto Zeeman para los estados y de un átomo de hidrógeno. Aquí,\(\begin{equation}\epsilon=\mu_{B} B\end{equation}\). No a escala.

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)