4.8: Operadores de tensores

Introducción: Vectores y Tensores Cartesianos

La física está llena de vectores:\(\vec{x}\),\(\vec{L}\),\(\vec{S}\) y así sucesivamente. Clásicamente, un vector (tridimensional) se define por sus propiedades bajo rotación: los tres componentes correspondientes a los\(x,y,z\) ejes cartesianos se transforman como\[ V_i\to \sum R_{ij}V_j \tag{4.8.1}\]

con la matriz de rotación habitual, por ejemplo

\[ R_z(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta &-\sin\theta &0 \\ \sin\theta &\cos\theta &0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix} \tag{4.8.2}\]

para rotación alrededor del\(z\) eje. (Usaremos\((x,y,z)\) y\((x_1,y_1,z_1)\) indistintamente.)

Un tensor es una generalización de dicho vector a un objeto con más de un sufijo, como, por ejemplo,\(T_{ij}\) o\(T_{ijk}\) (que tiene 9 y 27 componentes respectivamente en tres dimensiones) con el requisito de que estos componentes se mezclen entre sí bajo rotación por cada sufijo individual siguiendo la regla vectorial, por ejemplo

\[ T_{ijk}\to \sum R_{il}R_{jm}R_{kn}T_{lmn} \tag{4.8.3}\]

donde\(R\) es la misma matriz de rotación que transforma un vector. Los tensores escritos de esta manera se denominan tensores cartesianos (ya que los sufijos hacen referencia a ejes cartesianos). El número de sufijos es el rango del tensor cartesiano, un\(n\) tensor de rango tiene por supuesto\(3^n\) componentes.

Los tensores son comunes en la física: son esenciales para describir el estrés, la distorsión y el flujo en sólidos y líquidos. El tensor inercial es la base para analizar el movimiento angular en la mecánica clásica. Las fuerzas tensoras son importantes en la dinámica del deuterón, y de hecho surgen tensores para cualquier distribución de carga más complicada que un dipolo. Pasando a cuatro dimensiones, y generalizando de las rotaciones a las transformaciones de Lorentz, las ecuaciones de Maxwell se expresan de manera más natural en forma de tensor, y los tensores son centrales para la Relatividad General.

Para volver a la física no relativista, ya que la propiedad definitoria de un tensor es su comportamiento bajo rotaciones, las coordenadas polares esféricas son a veces una base más natural que las coordenadas cartesianas. De hecho, en esa base los tensores (llamados tensores esféricos) tienen propiedades rotacionales estrechamente relacionadas con las de los propios estados de momento angular, como quedará claro en las siguientes secciones.

El Operador de Rotación en Espacio Eigenket Momentum Angular

Como preliminar para discutir tensores generales en mecánica cuántica, revisamos brevemente el operador de rotación y los operadores de vectores cuánticos. (Un tratamiento completo se da en mi conferencia 751.) Recordemos que el operador de rotación girando un ket a través de un ángulo\(\vec{\theta}\) (la dirección vectorial denota el eje de rotación, su magnitud el ángulo girado) es

\[ U(R(\vec{\theta}))=e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}} \tag{4.8.4}\]

Dado que\(\vec{J}\) los desplazamientos con el momento angular total al cuadrado\(\vec{J}^2=j(j+1)\hbar^2\), podemos restringir nuestra atención a un momento angular total dado\(j\), teniendo como de costumbre un conjunto de bases ortonormales\(|j,m\rangle\), o\(|m\rangle\) para abreviar, con\(2j+1\) componentes, un ket general\(|\alpha\rangle\) en este el espacio es entonces:

\[ |\alpha\rangle=\sum_{m=-j}^{j} \alpha_m |m\rangle . \tag{4.8.5}\]

Girando este ket,\[ |\alpha\rangle\to |\alpha'\rangle=e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}} |\alpha\rangle \tag{4.8.6}\]

Poner en un conjunto completo de estados, y usar la notación estándar para los elementos de matriz del operador de rotación,

\[\begin{align} |\alpha'\rangle &=e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}} |\alpha\rangle \\[5pt] &=\sum_{m',m} \alpha_m |m'\rangle \langle m'|e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}}|m\rangle \\[5pt] &= \sum_{m',m} D^{(j)}_{m'm} (R(\vec{\theta})) \alpha_m |m'\rangle .\tag{4.8.7} \end{align}\]

\(D^{(j)}_{m'm}=\langle m'|e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}}|m\rangle\)es notación estándar (ver la conferencia anterior).

Entonces la transformación de rotación ket es

\[ \alpha'_{m'}=\sum_m D^{(j)}_{m'm} \alpha_m, \;\; or\; \alpha'=D\alpha . \tag{4.8.8}\]

con las reglas habituales de multiplicación matricial.

Rotación de un Ket Base

Ahora supongamos que aplicamos el operador de rotación a uno de los kets base\(|j,m\rangle\), ¿cuál es el resultado? \[ e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}}|j,m\rangle =\sum_{m'} |j,m'\rangle \langle j,m'|e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}}|j,m\rangle =\sum_{m'} |j,m'\rangle D^{(j)}_{m'm}(R) \tag{4.8.9}\]

Obsérvese la inversión de m, m 'en comparación con la operación en el conjunto de coeficientes componentes del ket general.

(Tal vez estés pensando: espera un minuto,\(|j,m\rangle\) es un ket en el espacio - se puede escribir\(\sum \alpha_{m''} |j,m''\rangle\) con\(\alpha_{m''}=\delta_{m''m}\), así podríamos usar la regla anterior\( \alpha'_{m'}=\sum_m D^{(j)}_{m'm} \alpha_m\) para obtener

\[\alpha'_{m'}=\sum_m D^{(j)}_{m'm''} \alpha_{m''}= \alpha'_{m'}=\sum_m D^{(j)}_{m'm''} \delta_{m''m}=D^{(j)}_{m'm}.\]

De manera tranquilizadora, esto lleva al mismo resultado que acabamos de encontrar.)

Rotación de un Operador, Operadores Escalares

Al igual que en las formulaciones Schrödinger versus Heisenberg, podemos aplicar el operador de rotación a los kets y dejar solos a los operadores, o podemos dejar los kets solos, y rotar a los operadores:

\[ A\to e^{\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}}Ae^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}}=U^{\dagger}AU \tag{4.8.10}\]

lo que dará los mismos elementos de la matriz, por lo que la misma física.

Un operador escalar es un operador que es invariante bajo rotaciones, por ejemplo el hamiltoniano de una partícula en un potencial esféricamente simétrico. (Hay muchos ejemplos menos triviales de operadores escalares, como el producto punto de dos operadores vectoriales, como en un acoplamiento espín-órbita).

La transformación de un operador bajo una rotación infinitesimal viene dada por:

\[ S\to U^{\dagger}(R)SU(R) \]

con

\[U(R)=1-\frac{i\vec{\varepsilon}\cdot\vec{J}}{\hbar} \tag{4.8.11}\]

de la cual

\[ S \to S+\left[\frac{i\vec{\varepsilon}\cdot\vec{J}}{\hbar}, S\right]. \tag{4.8.12}\]

De ello se deduce que un operador escalar\(S\), que no cambia en absoluto, debe conmutar con todos los componentes del operador de momento angular, y por lo tanto debe tener un conjunto común de eigenkets con, digamos,\(\vec{J}^2\) y\(J_z\).

Operadores de vectores: Definición y Propiedades de Conmutación

Un operador de vector mecánico cuántico\(\vec{V}\) se define requiriendo que los valores de expectativa de sus tres componentes en cualquier estado se transformen como los componentes de un vector clásico bajo rotación.

De ello se deduce que el propio operador debe transformarse vectorialmente,

\[ V'_i = U^{\dagger}(R)V_i U(R)=\sum R_{ij}V_j \tag{4.8.13}\]

Para ver lo que esto implica, es más fácil mirar un caso sencillo. Para una rotación infinitesimal alrededor del\(z\) eje -,

\[ R_z(\varepsilon)=\begin{pmatrix} 1&-\varepsilon&0 \\ \varepsilon&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \tag{4.8.14}\]

el vector transforma

\[ \begin{pmatrix} V_x \\ V_y \\ V_z \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&-\varepsilon&0 \\ \varepsilon&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V_x \\ V_y \\ V_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V_x-\varepsilon V_y \\ V_y+\varepsilon V_x \\ V_z \end{pmatrix} \tag{4.8.15}\]

El operador espacial unitario Hilbert U correspondiente a esta rotación\(U(R_z(\varepsilon)=1-\frac{i\varepsilon J_z}{\hbar}\), por lo que

\[\begin{align} U^{\dagger}V_i U &= (1+i\varepsilon J_z/\hbar)V_i(1-i\varepsilon J_z/\hbar) \\[5pt] &=V_i+\frac{i\varepsilon}{\hbar}[J_z,V_i] \tag{4.8.16} \end{align}\]

El requisito de que las dos transformaciones anteriores, la rotación clásica infinitesimal generada por\(R_z(\varepsilon)\) y la transformación unitaria infinitesimal\(U^{\dagger}(R)V_i U(R)\), sean de hecho lo mismo produce las relaciones de conmutación de un operador vectorial con momento angular:

\[ i[J_z,V_x]=-\hbar V_y \\ i[J_z,V_y]=+\hbar V_x \tag{4.8.17}\]

A partir de este resultado y sus equivalentes cíclicos, los componentes de cualquier operador vectorial\(\vec{V}\) deben satisfacer:

\[ [V_i,J_j]=i\varepsilon_{ijk}\hbar V_k . \tag{4.8.18}\]

Ejercicio: verificar que los componentes de\(\vec{x}\)\(\vec{L}\),, de hecho\(\vec{S}\) satisfacen estas relaciones de conmutación.

(Nota: De manera confusa, hay una situación ligeramente diferente en la que necesitamos rotar a un operador, y da un resultado opuesto. Supongamos que un operador T actúa sobre un ket\(|\alpha\rangle\) para dar el ket\(|\alpha'\rangle=T|\alpha\rangle\). Para los kets\(|\alpha\rangle\) y\(|\alpha'\rangle\) para ir a\(U|\alpha\rangle\) y\(U|\alpha'\rangle\) respectivamente bajo una rotación\(U,T\) en sí debe transformarse como\(T \to UTU^{\dagger}\) (recordar\(U^{\dagger}=U^{-1}\)). El punto es que se trata de un Schrödinger en lugar de una transformación tipo Heisenberg: estamos rotando los kets, no los operadores.)

Advertencia: ¿Un operador vectorial se transforma como los componentes de un vector o como los kets de base del espacio? Lo verás escrito en ambos sentidos, ¡así que ten cuidado!

Ya lo hemos definido como transformante como los componentes:

\[ V'_i = U^{\dagger}(R)V_i U(R)=\sum R_{ij}V_j \tag{4.8.13}\]

pero si ahora tomamos la rotación opuesta, la matriz unitaria\(U(R)\) se sustituye por su inversa\(U^{\dagger}(R)\) y viceversa. Recuerde también que la matriz de rotación espacial ordinaria\(R\) es ortogonal, por lo que su inversa es su transposición, y la ecuación anterior es equivalente a

\[ V'_i = U(R)V_i U^{\dagger}(R)=\sum R_{ji}V_j . \tag{4.8.19}\]

Esta definición de un operador vectorial es que sus elementos se transforman al igual que lo hacen los kets de base del espacio, por lo que es crucial mirar cuidadosamente la ecuación para averiguar cuál es el matriz de rotación, y que es su inversa!

Esta segunda forma de la ecuación es la de uso común.

Operadores de Tensor Cartesiano

De la definición dada anteriormente, bajo rotación los elementos de un tensor cartesiano de rango dos se transforman como:

\[ T_{ij}\to T_{ij}'=\sum \sum R_{ii'}R_{jj'}T_{i'j'}. \tag{4.8.20}\]

donde\(R_{ij}\) es la matriz de rotación para un vector.

Es iluminador considerar un ejemplo particular de un tensor de segundo rango,\(T_{ij}=U_iV_j\), donde\(\vec{U}\) y\(\vec{V}\) son vectores tridimensionales ordinarios.

El problema con este tensor es que es reducible, usar la palabra en el mismo sentido que en nuestra discusión de representaciones grupales es discutir la adición de momenta angular. Es decir, las combinaciones de los elementos pueden disponerse en conjuntos de tal manera que las rotaciones operen únicamente dentro de estos conjuntos. Esto se hace evidente al escribir:

\[ U_iV_j=\frac{\vec{U}\cdot\vec{V}}{3}\delta_{ij}+\frac{(U_iV_j-U_jV_i)}{2}+\left( \frac{U_iV_j+U_jV_i}{2}-\frac{\vec{U}\cdot\vec{V}}{3}\delta_{ij} \right). \tag{4.8.21}\]

El primer término, el producto puntual de los dos vectores, es claramente un escalar bajo rotación, el segundo término, que es un tensor antisimétrico tiene tres componentes independientes que son los componentes vectoriales del producto vectorial\(\vec{U}\times\vec{V}\), y el tercer término es un simétrico tensor sin rastro, que cuenta con cinco componentes independientes. En conjunto, entonces, hay\(1+3+5=9\) componentes, según se requiera.

Tensores esféricos

Observe los números de elementos de estos subgrupos irreducibles:\(1,3,5\) Estos son exactamente los números de elementos de representaciones de momentos angulares para j = 0, 1, 2!

Esto por supuesto no es casualidad: como haremos más explícito a continuación, un vector tridimensional es matemáticamente isomórfico a un giro cuántico uno, el tensor que hemos escrito es por lo tanto un producto directo de dos giros uno, entonces, exactamente como argumentamos al discutir adición de momenta angular, será un Representación reducible del grupo de rotación, y será una suma de representaciones correspondientes a los posibles momentos angulares totales a partir de sumar dos giros uno, es decir,\(j=0, 1, 2\).

Como se discutió anteriormente, los elementos de la matriz del operador de rotación\[ U(R(\vec{\theta}))=e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot \vec{J}}{\hbar}} \tag{4.8.22}\]

dentro de un\(j\) subespacio definido están escritos\[ D^j_{m'm}(R(\vec{\theta}))=\langle j,m'|e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot \vec{J}}{\hbar}} |j,m\rangle \tag{4.8.23}\]

por lo que bajo operador de rotación un estado base\(|j,m\rangle\) se transforma como:\[ e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}} |j,m\rangle =\sum_{m'}|j,m'\rangle \langle j,m'|e^{-\frac{i\vec{\theta}\cdot\vec{J}}{\hbar}} |j,m\rangle =\sum_{m'}|j,m'\rangle  D^{(j)}_{m'm}(R). \tag{4.8.24}\]

El punto esencial es que estos subgrupos irreducibles en los que los tensores cartesianos se descomponen bajo rotación (generalizando a partir de nuestro único ejemplo) forman un conjunto de tensores de base más natural para problemas con simetrías rotacionales.

Definición: tensor esférico

Definimos un tensor esférico de rango\(k\) como un conjunto de\(2k+1\) operadores\(T^q_k\), de\(q=k,k-1,\dots,-k\) tal manera que bajo rotación se transforman entre ellos con exactamente la misma matriz de coeficientes que la de los propios mercados de momento\(2j+1\) angular\(|m\rangle\) para\(k=j\), que es,\[ U(R)T^q_k U^{\dagger}(R)=\sum_{q'}D(k)q'qTq'k . \tag{4.8.25}\]

Para ver las propiedades de estos tensores esféricos, es útil evaluar la ecuación anterior para rotaciones infinitesimales, para lo cual\[ D^{(k)}_{q'q}(\vec{\varepsilon})=\langle k,q'|I-i\vec{\varepsilon}\cdot \vec{J}/\hbar |k,q\rangle =\delta_{q'q}-i\vec{\varepsilon}\cdot \langle k,q'|\vec{J}/\hbar |k,q\rangle .\tag{4.8.26}\]

(El elemento matriz\(\langle k,q'|\vec{J}/\hbar |k,q\rangle\) es solo el coeficiente familiar de Clebsch Gordan en notación cambiada: el rango\(k\) corresponde al habitual\(j\), y\(q\) al número cuántico “magnético”)\(m\).

Específicamente, considere una rotación infinitesimal\(\vec{\varepsilon}\cdot \vec{J}=\varepsilon J_+\). (Estrictamente hablando, esta no es una rotación real, pero al formalismo no le importa, y el resultado que derivamos puede ser confirmado por rotación sobre las\(y\) direcciones\(x\) y y agregando términos apropiados).

La ecuación es\[ (1-i\varepsilon J_+/\hbar )T^q_k (1+i\varepsilon J_+/\hbar )=\sum_{q'}(\delta_{q'q}-i\varepsilon \langle k,q'|J_+/\hbar |k,q\rangle )Tq'k \tag{4.8.27}\]

y equiparar términos lineales en\(\varepsilon\),\[ [J\pm ,T^q_k ]=\pm \hbar \sqrt{(k\mp q)(k\pm q+1)} T^{q\pm 1}_k \\ [Jz,T^q_k ]=\hbar qT^q_k . \tag{4.8.28}\]

Sakurai observa que este conjunto de relaciones de conmutación podría tomarse como la definición de los tensores esféricos.

Nota notacional: hemos seguido a Shankar aquí en tener el rango\(k\) como subíndice, el número cuántico “magnético”\(q\) como superíndice, la misma convención utilizada para los armónicos esféricos (¡pero no para las\(D\) matrices!) Sakurai, Baym y otros tienen el rango arriba, generalmente entre paréntesis, y el número magnético abajo. Afortunadamente, todos usan\(k\) para rango y\(q\) para número cuántico magnético.

Un vector esférico

Los propios mercados de momento\(j=1\) angular son solo los armónicos esféricos familiares\[ Y^0_1=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{z}{r},\; Y^{\pm 1}_1=\mp \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{x\pm iy}{\sqrt{2}r}. \tag{4.8.29}\]

El operador de rotación se transformará\((x,y,z)\) como un vector ordinario en tres espacios, y esto es evidentemente equivalente a\[ |j=1,m\rangle \to \sum_{m'}|j=1,m'\rangle  D^{(j)}_{m'm}(R) \tag{4.8.30}\]

De ello se deduce que la representación esférica de un vector tres\((V_x, V_y, V_z)\) tiene la forma:

\[ T^{\pm 1}_1=\mp \frac{V_x\pm iV_y}{\sqrt{2}}=V^{\pm 1}_1,\; T^0_1=V_z=V^0_1. \tag{4.8.31}\]

En línea con la notación de tensor esférico,\((T^1_1, T^0_1, T^{-1}_1)\) se denotan los componentes\(T^q_1\).

Elementos de matriz de operadores de tensores entre los propios mercados de momento angular

Por definición, un operador tensor irreducible\(T^q_k\) se transforma bajo rotación como un eigenket de momento angular\(|k,q\rangle\). Por lo tanto, rotando el ket\(T^q_k |j,m\rangle\),\[U T^q_k|j,m\rangle=U T^q_k U^{-1}U|j,m\rangle =\sum_{q'}D^{(k)}_{q'q}T^{q'}_k \sum_{m'}D^{(j)}_{m'm}|j,m'\rangle . \tag{4.8.32}\]

El producto de las dos\(D\) matrices que aparecen es precisamente el conjunto de coeficientes para rotar el producto directo de los propios mercados\(|k,q\rangle \otimes |j,m\rangle\) donde\(|k,q\rangle\) está el momento angular que tiene el eigenket\(j=k, m=q\).

Hemos conocido este producto directo de dos propios mercados de momento angular antes: este es solo un sistema que tiene dos momentos angulares, como orbital más momenta angular de giro. Entonces vemos que\(T^q_k\) actuar sobre\(|j,m\rangle\) genera un estado teniendo impulso angular total la suma de\((k,q)\) y\((j,m)\).

Para enlazar (más o menos) con la notación de Shankar: nuestro estado directo del producto\(|k,q\rangle \otimes |j,m\rangle\) es el mismo que\(|k,q;j,m\rangle\) en la notación\(|j_1,m_1;j_2,m_2\rangle\) para un estado de producto de dos momentos angulares (posiblemente incluyendo giros). Tal estado puede escribirse como una suma sobre estados de la forma\(|j_{tot},m_{tot};j_1,j_2\rangle\) donde esto denota un estado de momento angular total\(j_{tot}\),\(z\) - componente de dirección\(m_{tot}\), compuesto por dos giros que tienen impulso angular total\(j_1,j_2\) respectivamente.

Esta es la suma estándar de Clebsch-Gordan:\[ |j_1,m_1;j_2,m_2\rangle =\sum_{j_{tot}=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{m_{tot}=-j_{tot}}^{j_{tot}} |j_{tot},m_{tot};j_1,j_2\rangle \langle j_{tot},m_{tot};j_1,j_2|j_1,m_1;j_2,m_2\rangle . \tag{4.8.33}\]

Los términos sumados dan un operador unitario dentro de este espacio\((2j_1+1)(2j_2+1)\) dimensional, el término\(\langle j_{tot},m_{tot};j_1,j_2|j_1,m_1;j_2,m_2\rangle\) es un coeficiente Clebsch-Gordan. Los únicos coeficientes distintos de cero tienen\(m_{tot}=m_1+m_2\), y\(j_{tot}\) están restringidos como se señaló, así que para dado que\(m_1, m_2\) acabamos de establecer\(m_{tot}=m_1+m_2\), no sumamos más\(m_{tot}\), y la suma de\(j_{tot}\) nuevo comienza en\(|m_{tot}|\).

Traduciendo a nuestra\(|k,q\rangle \otimes |j,m\rangle\) notación, y limpiando,\[ |k,q;j,m\rangle =\sum_{j_{tot}=|q+m|}^{k+j} |j_{tot},q+m;k,j\rangle \langle j_{tot},q+m;k,j|k,q;j,m\rangle . \tag{4.8.34}\]

Ahora podemos evaluar la componente angular del elemento matriz de un operador tensor esférico entre los propios mercados de momento angular: vemos que solo será distinto de cero para\(m_{tot}=m_1+m_2\), y al\(j_{tot}\) menos\(|m_{tot}|\).

El teorema de Wigner-Eckart

En este punto, debemos tener en cuenta que estos operadores de tensores no son necesariamente solo funciones de ángulo. Por ejemplo, el operador de posición es un vector esférico multiplicado por la variable radial\(r\), y los kets que especifican los estados propios atómicos incluirán números cuánticos radiales así como el momento angular, por lo que el elemento matriz de un tensor entre dos estados tendrá la forma\[ \langle \alpha_2,j_2,m_2|T^q_k |\alpha 1,j_1,m_1\rangle , \tag{4.8.35}\]

donde los\(j\) s y\(m\) los denotan los estados propios de momento angular habituales y los\(\alpha\) s son números cuánticos no angulares, como los de los estados radiales.

El punto básico del teorema de Wigner-Eckart es que la dependencia angular de estos elementos de la matriz puede ser factorizada, y viene dada por los coeficientes de Clebsch-Gordan.

Habiéndolo factorizado, la dependencia restante, que está solo en el momento angular total en cada uno de los kets, no en la orientación relativa (y por supuesto en los\(\alpha\)'s), se escribe tradicionalmente como corchete con líneas dobles, es decir,\[ \langle \alpha_2,j_2,m_2j+1|T^q_k |\alpha 1,j_1,m_1\rangle =\frac{\langle \alpha_2,j_2||T_k||\alpha 1,j_1\rangle}{\sqrt{2j+1}}\cdot \langle j_2,m_2|k,q;j_1,m_1\rangle . \tag{4.8.36}\]

El denominador es la normalización convencional del elemento de matriz de doble barra. La prueba se da en, por ejemplo, Sakurai (página 239) y no es tan difícil. La estrategia básica es poner las identidades definitorias\[ [J\pm ,T^q_k ]=\pm \hbar \sqrt{(k\mp q)(k\pm q+1)} T^{q\pm 1}{k} \\ [J_z,T^q_k ]=\hbar qT^q_k \tag{4.8.37}\]

entre\(|\alpha ,j,m\rangle\) sostenes y kets, luego deshazte del\(J_{\pm}\) y\(J_z\) haciéndolos operar en el sujetador o ket. Esto genera una serie de ecuaciones lineales para elementos de\(\langle \alpha_2,j_2,m_2|T^q_k |\alpha 1,j_1,m_1\rangle\) matriz con\(m\) variables que difieren en una, y de hecho este conjunto de ecuaciones lineales es idéntico al conjunto que genera los coeficientes Clebsch-Gordan, por lo que debemos concluir que estos elementos de matriz tensora esférica, oscilando sobre posibles\(m\) y\(j\) valores, son exactamente proporcionales a los coeficientes de Clebsch-Gordan - y ese es el teorema.

Algunas sugerencias para el problema de Shankar 15.3.3: ese primer elemento de matriz proviene de agregar un giro\(j\) a un giro 1, escribir el\(m\) estado máximo habitual, aplicar el operador de descenso a ambos lados para obtener el\(j+1, m=j\) estado de momento angular total, luego encontrar el mismo estado m ortogonal a eso, que corresponde al momento angular total\(j\) (en lugar de\(j+1\)).

Para el operador\(J\), el elemento de matriz Wigner-Eckart se simplifica porque\(J\) no puede afectar\(\alpha\), y también se conmuta con\(J^2\), por lo que no puede cambiar el momento angular total.

Entonces, en la ecuación Wigner-Eckart, reemplace\(T^q_k\) en el lado izquierdo por\(J^0_1\), que es justo\(J_z\). El resultado de (1) debe seguir.

(2) Primero tenga en cuenta que un operador escalar no puede cambiar\(m\). Ya que\(c\) es independiente de\(A\) podemos tomar\(A=J\) para encontrar\(c\).