9.1: Teoría de la perturbación independiente del tiempo

Si un átomo (no necesariamente en su estado fundamental) se coloca en un campo eléctrico externo, los niveles de energía cambian y las funciones de onda se distorsionan. Esto se llama el efecto Stark. Los nuevos niveles de energía y funciones de onda podrían encontrarse en principio escribiendo un hamiltoniano completo, incluyendo el campo externo, y encontrando los propios bienes. Esto realmente se puede hacer en un caso: el átomo de hidrógeno, pero incluso ahí, si el campo externo es pequeño comparado con el campo eléctrico dentro del átomo (que es miles de millones de voltios por metro) es más fácil calcular los cambios en los niveles de energía y las funciones de onda con un esquema de sucesivas correcciones a la valores de campo cero. Este método, denominado teoría de la perturbación, es el método más importante para resolver problemas en la mecánica cuántica, y es ampliamente utilizado en física atómica, materia condensada y física de partículas.

Cabe señalar que existen problemas que no pueden resolverse utilizando la teoría de la perturbación, incluso cuando la perturbación es muy débil, aunque tales problemas son la excepción y no la regla. Uno de esos casos es el problema unidimensional de partículas libres perturbadas por un potencial localizado de resistencia\(\lambda\). Como encontramos anteriormente en el curso, encender un potencial atractivo arbitrariamente débil hace que la función de onda de partículas\(k=0\) libres caiga por debajo del continuo de las energías de onda plana y se convierta en un estado ligado localizado con energía vinculante de orden\(\lambda^2\). Sin embargo, cambiando el signo de\(\lambda\) para dar un potencial repulsivo no hay estado límite, el estado de onda del plano de energía más baja se mantiene en la energía cero. Por lo tanto, el cambio de energía al encender la perturbación no se puede representar como una serie de potencia en\(\lambda\), la fuerza de la perturbación. Esta dificultad particular no ocurre en general en tres dimensiones, donde potenciales arbitrariamente débiles no dan estados ligados, excepto por ciertos problemas de muchos cuerpos (como el problema del par Cooper) donde el principio de exclusión reduce la dimensionalidad efectiva de los estados disponibles.

La serie Perturbación

Comenzamos con un hamiltoniano\(H^0\) que ha conocido los propios y las energías propias:\[ H^0|n^0\rangle=E^0_n|n^0\rangle. \label{9.1.1}\]

La tarea es encontrar cómo cambian estos bienes y energías propias si se agrega un término pequeño\(H^1\) (un campo externo, por ejemplo) al hamiltoniano, así:\[ (H^0+H^1)|n\rangle=E_n|n\rangle. \label{9.1.2}\]

Es decir, al encender\(H^1\),\[ |n^0\rangle\to |n\rangle,\;  E^0_n\to E_n. \label{9.1.3}\]

La suposición básica en la teoría de la perturbación\(H^1\) es que es lo suficientemente pequeña como para que las correcciones principales sean del mismo orden de magnitud que\(H^1\) ella misma, y las verdaderas energías pueden ser cada vez mejor aproximadas por una serie sucesiva de correcciones, cada una de orden\(H^1/H^0\) comparada con la anterior.

La estrategia, entonces, es expandir la verdadera función de onda y la correspondiente energía propia como serie en\(H^1/H^0\). Estas series se introducen luego en\((H^0+H^1)|n\rangle=E_n|n\rangle\), y términos del mismo orden de magnitud\(H^1/H^0\) en los dos lados se establecen iguales. Las ecuaciones así generadas se resuelven una a una para dar resultados progresivamente más precisos.

Para facilitar la identificación de términos del mismo orden\(H^1/H^0\) en los dos lados de la ecuación, es conveniente introducir un parámetro adimensional\(\lambda\) que siempre va con\(H^1\), y luego expandirse\(|n\rangle,\; E_n\) como series de potencia en\(\lambda\)\(|n\rangle=|n^0\rangle+\lambda|n^1\rangle+\lambda^2|n^2\rangle+\dots\),, etc.\(|n^m\rangle\) multiplicado por\(\lambda^m\) es, pues, de orden\((H^1/H^0)^m\).

Esto\(\lambda\) es puramente un dispositivo de contabilidad: ¡lo pondremos igual a 1 cuando hayamos terminado! Simplemente está ahí para hacer un seguimiento de los órdenes de magnitudes de los diversos términos.

Poner las expansiones de la serie\(|n\rangle,\; E_n\) en\[ (H^0+\lambda H^1)|n\rangle=E_n|n\rangle \label{9.1.4}\]

tenemos

\[ \begin{matrix} (H^0+\lambda H^1)(|n^0\rangle+\lambda|n^1\rangle+\lambda^2|n^2\rangle+\dots) \\ =(E^0_n+\lambda E^1_n+\lambda^2E^2_n+\dots)(|n^0\rangle+\lambda|n^1\rangle+\lambda^2|n^2\rangle+\dots). \end{matrix} \label{9.1.5}\]

Ya estamos listos para igualar las dos partes término por término en poderes de\(\lambda\).

Orden Cero de Energía

El término de orden cero (\(\lambda =0\)), por supuesto, solo devuelve

\[H^0|n^0\rangle=E^0_n|n^0\rangle\]

Orden Cero de los Estados Propios

\[|n^0\rangle=|n^0\rangle\]

Primer orden de energía

Coincidencia de los términos lineales\(\lambda\) en ambos lados:\[ H^0|n^1\rangle+H^1|n^0\rangle=E^0_n|n^1\rangle+E^1_n|n^0\rangle. \label{9.1.6}\]

Esta ecuación es la clave para encontrar el cambio de primer orden en la energía\(E^1_n\). Tomando el producto interno de ambos lados con\(\langle n^0|\):\[ \langle n^0|H^0|n^1\rangle+\langle n^0|H^1|n^0\rangle=\langle n^0|E^0_n|n^1\rangle+\langle n^0|E^1_n|n^0\rangle, \label{9.1.7}\]

luego usando\(\langle n^0|H^0=\langle n^0|E^0_n\), y\(\langle n^0|n^0\rangle=1\), encontramos\[ E^1_n=\langle n^0|H^1|n^0\rangle. \label{9.1.8}\]

Tomando ahora\(\lambda=1\), hemos establecido que el cambio de primer orden en la energía de un estado resultante de agregar un término perturbador\(H^1\) al hamiltoniano es solo el valor de expectativa de\(H^1\) en ese estado.

Por ejemplo, podemos estimar la energía del estado fundamental del átomo de helio tratando la repulsión electrostática entre los electrones como una perturbación. El estado fundamental de orden cero tiene los dos electrones (espín opuesto) en la función de onda del átomo de hidrógeno del estado fundamental (escalado para duplicar la carga nuclear). La corrección de energía de primer orden\(E^1_0\) se da entonces calculando el valor de expectativa\(\langle e^2/r_{12}\rangle\) para esta función de onda de estado fundamental.

Primer orden de estados propios

La expresión general para el cambio de primer orden en la función de onda se encuentra tomando el producto interno de la ecuación de primer orden con el sujetador\(\langle m^0|,\;  m\neq n\),\[ \langle m^0|H^0|n^1\rangle+\langle m^0|H^1|n^0\rangle=\langle m^0|E^0_n|n^1\rangle+\langle m^0|E^1_n|n^0\rangle. \label{9.1.9}\]

El último término es cero, ya que\(\langle m^0|n^0\rangle=0\), y en el primer término\(\langle m^0|H^0=\langle m^0|E^0_m\), así\[ \langle m^0|n^1\rangle=\frac{\langle m^0|H^1|n^0\rangle}{E^0_n-E^0_m} \label{9.1.10}\]

y por lo tanto la función de onda correcta a primer orden es:

\[ \begin{align} |n\rangle &= |n^0\rangle+|n^1\rangle \\[5pt] &=|n^0\rangle+\sum_{m\neq n} \frac{|m^0\rangle\langle m^0|H^1|n^0\rangle}{E^0_n-E^0_m}. \end{align} \label{9.1.11}\]

Segundo orden de energía

Para encontrar la corrección de segundo orden a la energía, es necesario hacer coincidir los términos de segundo orden en

\[ \begin{matrix} (H^0+\lambda H^1)(|n^0\rangle+\lambda|n^1\rangle+\lambda^2|n^2\rangle+\dots) \\ =(E^0_n+\lambda E^1_n+\lambda^2E^2_n+\dots)(|n^0\rangle+\lambda|n^1\rangle+\lambda^2|n^2\rangle+\dots) \end{matrix} \label{9.1.12}\]

dando:

\[ H^0|n^2\rangle+H^1|n^1\rangle=E^0_n|n^2\rangle+E^1_n|n^1\rangle+E^2_n|n^0\rangle. \label{9.1.13A}\]

Tomando el producto interno con\(\langle n^0|\) rendimientos:

\[ \langle n^0|H^0|n^2\rangle+\langle n^0|H^1|n^1\rangle=E^0_n\langle n^0|n^2\rangle+E^1_n\langle n^0|n^1\rangle+E^2_n\langle n^0|n^0\rangle. \label{9.1.13B}\]

Los términos principales de los dos lados cancelan como antes. ¿Qué pasa con el término\(E^1_n\langle n^0|n^1\rangle\)? Ya que\(|n\rangle=|n^0\rangle+|n^1\rangle\), y ambos\(|n\rangle\),\(|n^0\rangle\) están normalizados,\(\langle n^0|n^1\rangle+\langle n^1|n^0\rangle=0\) en orden principal, es decir,\(\langle n^0|n^1\rangle\) es puro imaginario. Eso solo significa que si a este orden\(|n\rangle\) tiene un componente paralelo a\(|n^0\rangle\), ese componente tiene una pequeña amplitud imaginaria pura, y\(|n\rangle\) puede escribirse (a este orden) como\(|n\rangle=e^{i\alpha} |n^0\rangle+ kets \perp |n^0\rangle\), con\(\alpha\) pequeño. Pero el factor de fase se puede eliminar redefiniendo la fase de\(|n\rangle\), y con esa redefinición no\(|n^1\rangle\) tiene componente en la\(|n^0\rangle\) dirección, por lo tanto podemos bajar el término\(E^1_n\langle n^0|n^1\rangle\).

Entonces la corrección de segundo orden a la energía es:

\[ \begin{align} E^2_n &=\langle n^0|H^1|n^1\rangle \\[5pt] &= \langle n^0|H^1\sum_{m\neq n} \dfrac{|m^0\rangle\langle m^0|H^1|n^0\rangle}{E^0_n-E^0_m} \\[5pt] &=\sum_{m\neq n} \dfrac{|\langle m^0|H^1|n^0\rangle|^2}{E^0_n-E^0_m}. \end{align} \label{9.1.14}\]

Reglas de selección

La teoría de perturbación implica evaluar elementos de matriz de operadores. Muy a menudo, muchos de los elementos de la matriz en una suma son cero; las pruebas obvias son la paridad y el teorema de Wigner-Eckart. Estos son ejemplos de reglas de selección: pruebas para encontrar si un elemento de matriz puede ser distinto de cero.

El efecto cuadrático Stark

Cuando un átomo de hidrógeno en su estado fundamental se coloca en un campo eléctrico, la nube de electrones y el protón se estiran de diferentes maneras, se forma un dipolo eléctrico y se baja la energía general. El perturbador hamiltoniano del campo eléctrico es

\[H^1=e​ \mathscr{E}​z=e\mathscr{E}​r\cos\theta\]

donde\(\mathscr{E}\) está la intensidad del campo eléctrico, el campo está en la dirección z-, la carga de electrones\(e\) es negativa.

Vamos a denotar las energías propias imperturbadas del átomo de hidrógeno por\(E_n=E_{nlm}=-1/n^2\), así que en particular denotamos la energía del estado fundamental por \(E_1\).

La corrección de primer orden a la energía del estado fundamental\(E^1_1=\langle 100|e\mathscr{E}z|100\rangle\), donde

\[ |100\rangle≡\psi_{100}(r)=\left( \frac{1}{\pi a^3_0}\right)^{1/2}e^{-r/a_0}. \label{9.1.15}\]

Este término de primer orden es cero ya que hay contribuciones iguales de z positiva y negativa.

El término de segundo orden es\[ E^2_1 =\sum_{n\neq 1;l,m} \frac{|\langle nlm|e\mathscr{E}z|100\rangle|^2}{E_1-E_n} \label{9.1.16}\]

donde ahora estamos usando\(|nlm\rangle\) para denotar las inalteradas funciones de onda del átomo de hidrógeno, y aquí las\(E_n=-1/n^2\) (en Rydberg) son las energías imperturbadas.

La mayoría de los términos de esta serie infinita son cero, las reglas de selección ayudan a deshacerse de ellos de la siguiente manera: dado que\(e\mathscr{E}z\) es el\(m=0\) componente de un vector esférico y\(|100\rangle\) es un estado de momento angular cero, se desprende del teorema de Wigner-Eckart que solo\(\langle nlm|\) puede ser\(\langle n10|\). Esto reduce la suma de segundo orden sobre los estados a:\[ E^2_1 =\sum_{n\neq 1} \frac{|\langle n^10|e\mathscr{E}z|100\rangle|^2}{E_1-E_n}. \label{9.1.17}\]

Esto todavía no es fácil de evaluar, pero se puede encontrar un límite superior observando que\(|E_1-E_n|\ge |E_1-E_2|\), entonces\[ \begin{matrix} |E^2_0|<\frac{1}{E_2-E_1}\sum_{n\neq 1} |\langle n10|e\mathscr{E}z|100\rangle|^2 \\ =\frac{1}{E_2-E_1}\sum_{n\neq 1;l,m} \langle 100|e\mathscr{E}z|nlm\rangle\langle nlm|e\mathscr{E}z|100\rangle \end{matrix} \label{9.1.18}\]

donde hemos restaurado temporalmente la suma total sobre\(n,l,m\) eso es, hemos vuelto a poner todos los términos cero. La razón de este aparentemente retroceso es que, habiendo tomado el denominador de diferencia de energía fuera de la suma, incluso podemos incluir\(|100\rangle\) en la\(|nlm\rangle\) suma (es otro término cero) y de hecho incluso podemos incluir los estados de onda plana (ionizados) así como los estados unidos, ya que el plano ondea todos tener energía mayor a cero. En este punto, la\(\sum_{n,l,m}\) suma se convierte en una suma sobre todos los estados, y por lo tanto sólo se convierte en el operador de la unidad,\[ \sum_{n,l,m} |nlm\rangle\langle nlm|=I, \label{9.1.19}\]

entonces\[ |E^2_1 |<\frac{1}{E_2-E_1}\langle 100|(e\mathscr{E}z)^2|100\rangle. \label{9.1.20}\]

Para la función de onda de hidrógeno del estado fundamental,\(\langle 100|z^2|100\rangle=a^2_0,\; E_1=-e^2/2a_0,\;   E_2=E_1/4\), tan\[ |E^2_1 |<\frac{1}{(\frac{3}{4}e^2/2a_0)}(e\mathscr{E})^2a^2_0=\frac{8}{3}\mathscr{E}^2a^3_0. \label{9.1.21}\]

Además, dado que todos los términos de la serie para\(E^2_1\) son negativos, el primer término establece un límite inferior en\(|E^2_1 |\):

\[ |E^2_1 |> \frac{|\langle 210|e\mathscr{E}z|100\rangle|^2}{E_1-E_2}. \label{9.1.22}\]

Esto se puede evaluar de manera sencilla de encontrar\( |E^2_1 |>0.55\times \frac{8}{3}\mathscr{E}^2a^3_0\).

Entonces, aunque en realidad no hayamos evaluado explícitamente la corrección de segundo orden a la energía, la tenemos entre corchetes entre dos valores, siendo el inferior más de la mitad del superior. Se han desarrollado otros métodos ingeniosos (ver Shankar o Sakurai) para encontrar que la verdadera respuesta es\(|E^2_1 |=\frac{9}{4}\mathscr{E}^2a^3_0\), pero de hecho todo el problema se puede resolver exactamente usando coordenadas parabólicas.

Teoría de perturbación degenerada: oscilador armónico 2-D distorsionado

El análisis anterior funciona bien siempre y cuando los términos sucesivos en la teoría de la perturbación formen una serie convergente. Una condición necesaria es que los elementos de la matriz del hamiltoniano perturbador deben ser menores que las diferencias de nivel de energía correspondientes del hamiltoniano original. Si\(H^0\) tiene diferentes estados con la misma energía, es decir, degenerar niveles de energía, y la perturbación tiene elementos de matriz distintos de cero entre estos niveles degenerados, entonces obviamente la teoría se descompone. Para ver cómo se descompone y cómo solucionarlo, consideramos el oscilador armónico simple bidimensional:

\[H^0=\frac{p^2_x+p^2_y}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2). \label{9.1.23}\]

Recordemos que para el oscilador armónico simple unidimensional la función de onda del estado fundamental es

\[ |0\rangle=\left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4}e^{-m\omega x^2/2\hbar}=\left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4}e^{-\xi^2/2} \;\; with\;\; \xi =\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x, \;\; and\;\; |1\rangle=\left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4}\sqrt{2}\xi e^{-\xi^2/2}. \label{9.1.24}\]

El oscilador bidimensional es simplemente un producto de dos osciladores unidimensionales, por lo que, escribiendo\(\eta =\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}y\), el estado fundamental es\(|0\rangle=\left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/2}e^{-(\xi^2+\eta^2)/2}\), y los dos estados siguientes (degenerados), la energía\(\hbar\omega\) por encima del estado fundamental, son

\[ |1,0\rangle=\left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/2}\sqrt{2}\xi e^{-(\xi^2+\eta^2)/2}, \;\; |0,1\rangle=\left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/2}\sqrt{2}\eta e^{-(\xi^2+\eta^2)/2}. \label{9.1.25}\]

Supongamos que ahora añadimos una pequeña perturbación

\[ H^1=\alpha m\omega^2xy, \label{9.1.26}\]

con\(\alpha\) un pequeño parámetro.

Observe que

\[\langle 0|H^1|0\rangle=\langle 1,0|H^1|1,0\rangle=\langle 0,1|H^1|0,1\rangle=0\]

por lo que según la teoría ingenua de la perturbación, no hay corrección de primer orden a las energías de estos estados.

Sin embargo, al pasar a segundo orden en la corrección energética, la teoría se descompone. El elemento matriz\(\langle 1,0|H^1|0,1\rangle\) es distinto de cero, ¡pero los dos estados\(|0,1\rangle,  |1,0\rangle\) tienen la misma energía! Esto da un término infinito en la serie para\(E^2_n\).

Sin embargo, sabemos que un término pequeño de este tipo no va a arruinar un oscilador armónico simple bidimensional, entonces, ¿qué tiene de malo nuestro enfoque? Es útil trazar el potencial original del oscilador armónico\(\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2)\) junto con el potencial perturbador\(\alpha m\omega^2xy\). El primero por supuesto tiene simetría circular, el segundo tiene ejes en las direcciones\(x=\pm y\), subiendo más abruptamente desde el origen a lo largo\(x=y\), cayendo más rápidamente en las direcciones\(x=-y\). Si combinamos los dos potenciales en una sola forma cuadrática, los círculos originales de potencial constante se convierten en elipses, con sus ejes alineados a lo largo\(x=\pm y\).

El problema surge incluso en el oscilador bidimensional clásico: imagínese una bola rodando hacia atrás y hacia adelante en un platillo liso, un cuenco circular. Ahora imagina que el platillo está hecho ligeramente elíptico. La pelota seguirá rodando hacia atrás y hacia adelante por el centro si se libera a lo largo de uno de los ejes de la elipse, aunque con diferentes periodos, ya que los ejes difieren en pendiente. Sin embargo, si se libera en un punto fuera de los ejes, describirá una trayectoria compleja que se puede resolver en componentes en las dos direcciones de los ejes que tienen periodos diferentes.

Para el oscilador cuántico como para el clásico, tan pronto como se introduce la perturbación, los eigenkets están en la dirección de los nuevos ejes elípticos. Este es un gran cambio con respecto a los ejes x e y originales, y definitivamente no es proporcional al parámetro pequeño\(\alpha\). Pero el problema imperturbable original tenía simetría circular, y no había ninguna razón particular para elegir los ejes x e y como lo hicimos nosotros. Si en cambio hubiéramos elegido como nuestros ejes originales las líneas\(x=\pm y\), los kets no habrían sufrido grandes cambios al encender la perturbación.

La resolución del problema es ahora clara: antes de encender la perturbación, elija un conjunto de kets de base en un subespacio degenerado de tal manera que la perturbación sea diagonal en ese subespacio.

De hecho, para el ejemplo de oscilador armónico simple anterior, el problema se puede resolver exactamente:\[ \begin{matrix} \frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2)+\alpha m\omega^2xy \\ =\frac{1}{2}m\omega^2 \left[ (1+\alpha)(\frac{x+y}{\sqrt{2}})^2+(1-\alpha)(\frac{x-y}{\sqrt{2}})^2\right] \end{matrix} \label{9.1.27}\]

y es evidente que, a pesar de los resultados de la ingenua teoría de primer orden, efectivamente hay un cambio de primer orden en los niveles de energía,\[ \hbar\omega \to \hbar\omega \sqrt{1\pm \alpha}\approx \hbar\omega (1\pm \alpha /2). \label{9.1.28}\]

El efecto Stark Lineal

El átomo de hidrógeno, al igual que el oscilador armónico bidimensional discutido anteriormente, tiene un estado fundamental no degenerado pero degeneración en sus estados más bajos excitados. Específicamente, hay cuatro\(n=2\) estados, todos teniendo energía -1/4 Ryd:\[ \begin{matrix} \psi_{200}(r)=\left(\frac{1}{32\pi a^3_0}\right)^{1/2}\left( 2-\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/2a_0}, \\ \psi_{210}(r,\theta ,\phi)=\left(\frac{1}{32\pi a^3_0}\right)^{1/2}\left(\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/2a_0}cos\theta , \\ \psi_{21\pm 1}(r,\theta ,\phi)=\left(\frac{1}{32\pi a^3_0}\right)^{1/2}\left(\frac{r}{a_0}\right)e^{-r/2a_0}sin\theta e^{\pm i\phi}. \end{matrix} \label{9.1.29}\]

Perturbar este sistema con un campo eléctrico en la dirección z,\(H^1=e\mathscr{E}z=e\mathscr{E}​rcos\theta\), note primero que la teoría ingenua de la perturbación predice que no hay cambio de primer orden en ninguno de estos niveles de energía. Sin embargo, a segundo orden, hay un elemento matriz distinto de cero entre dos niveles degenerados\(\langle 200|H^1|210\rangle\). Todos los demás elementos de la matriz entre estos kets de base en el subespacio degenerado de cuatro dimensiones son cero, por lo que la única diagonalización necesaria es dentro del subespacio degenerado bidimensional abarcado por\(|200\rangle\),\(|210\rangle\), donde\[ H^1=\begin{pmatrix} 0&\Delta \\ \Delta&0 \end{pmatrix} \label{9.1.30}\]

con

\[ \begin{align} \Delta &=\langle 200|H^1|210\rangle \\[4pt] =e\mathscr{E}\left(\frac{1}{32\pi a^3_0}\right) \int_{0}^{\infty}\left(2-\frac{r}{a_0}\right) \left(\frac{rcos\theta}{a_0}\right)^2 e^{-r/a_0}r^2dr \sin\theta d\theta d\phi \\[4pt] &=-3e\mathscr{E}a_0.\end{align} \label{9.1.31}\]

Diagonalizando\(H^1\) dentro de este subespacio, entonces, los nuevos estados de base son\((|200\rangle\pm |210\rangle)/\sqrt{2}\) con cambios de energía\(\pm \Delta\), lineales en el perturbador campo eléctrico.

Los estados no\(|21\pm 1\rangle\) son cambiados por la presencia del campo a esta aproximación, por lo que el mapa energético completo de los\(n=2\) estados en el campo eléctrico tiene dos estados a la energía original de -1/4Ryd, un estado movido hacia arriba de esa energía por\(\Delta\), y uno hacia abajo por\(\Delta\).

Observe que los nuevos autoestados no\((|200\rangle\pm |210\rangle)/\sqrt{2}\) son autoestados del operador de paridad, un boceto de sus ondulaciones revela que de hecho tienen un momento dipolo eléctrico que no desaparece\(\vec{\mu}\), de hecho esta es la razón del cambio de energía,\( \pm \Delta =\mp 3e\mathscr{E}a_0=\mp \vec{\mu}\cdot \vec{\mathscr{E}}\).