9.4: La representación de la interacción

Recordemos que en la primera parte de esta secuencia del curso, discutimos aquí las representaciones de Schrödinger y Heisenberg de la mecánica cuántica. En la representación de Schrödinger, los operadores son independientes del tiempo (excepto los potenciales explícitamente dependientes del tiempo) los kets que representan los estados cuánticos desarrollan en el tiempo. En la representación de Heisenberg, los kets permanecen igual, la dependencia del tiempo está en los operadores. Estas representaciones diferentes describen la misma física: los elementos de matriz de operadores entre kets deben ser los mismos en ambos. Lo más natural de usar depende del problema que se presente. En el límite clásico, por ejemplo, los operadores de Heisenberg tienen la dependencia temporal de los operadores clásicos correspondientes.

De hecho, para problemas de teoría de perturbación con un potencial dependiente del tiempo, una representación intermedia, la representación de interacción, es muy conveniente. Usando un subíndice\(S\) para denotar la representación de Schrödinger,

\[ i\hbar \frac{d}{dt}|\psi_S(t)\rangle =H_S|\psi_S(t)\rangle =(H_S^0+V_S(t))|\psi_S(t)\rangle, \label{9.4.1}\]

definimos la representación de interacción por la transformación unitaria

\[ |\psi_I(t)\rangle  =e^{iH^0_St/\hbar} |\psi_S(t)\rangle \label{9.4.2}\]

así coinciden los kets de representación de interacción y los kets de representación de Schrödinger\(t=0\), y si la interacción fuera cero, los kets de representación de interacción serían constantes en el tiempo, como los de la representación de Heisenberg.

Para distinto de cero\(V(t)\), entonces, el desarrollo temporal de los kets de representación de interacción se debe enteramente a\(V(t)\), y se encuentra fácilmente diferenciando ambos lados de la ecuación:

\[ \begin{matrix} i\hbar \frac{d}{dt}|\psi_I(t)\rangle =-H^0|\psi_I(t)\rangle+e^{iH^0_St/\hbar} i\hbar \frac{d}{dt}|\psi_S(t)\rangle \\ =-H^0|\psi_I(t)\rangle+e^{iH^0_St/\hbar} (H^0_S+V_S(t))e^{-iH^0_St/\hbar}|\psi_I(t)\rangle \\ =e^{iH^0_St/\hbar} V_S(t)e^{-iH^0_St/\hbar}|\psi_I(t)\rangle \\ =V_I(t)|\psi_I(t)\rangle, \end{matrix} \label{9.4.3}\]

donde hemos introducido el operador de representación de interacción\(V_I(t)\), definido por\[ V_I(t)=e^{iH^0_St/\hbar} V_S(t)e^{-iH^0_St/\hbar}. \label{9.4.4}\]

Los operadores en esta representación deben tener esta dependencia temporal en relación con los operadores Schrödinger para asegurar que los elementos de la matriz, las únicas cantidades de significación física, sean los mismos en las dos representaciones. Es decir, debemos tener

\[ \langle f^0_I|O_I|i^0_I\rangle = \langle f^0_S|O_S|i^0_S\rangle, \label{9.4.5}\]

las dos representaciones deben predecir la misma amplitud de probabilidad para cualquier transición. Integrando ambos lados de la ecuación diferencial,

\[ |\psi_I(t)\rangle  =|\psi_I(0)\rangle -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′V_I(t′)|\psi_I(t′)\rangle . \label{9.4.6}\]

Esto no es una solución, acabamos de pasar de una ecuación diferencial a una ecuación integral. Esto sólo vale la pena hacerlo si\(V_I\) es pequeño, en cuyo caso la ecuación integral puede resolverse iterativamente.

La aproximación cero es entonces

\[ |\psi_I(t)\rangle  =|\psi_I(0)\rangle. \label{9.4.7}\]

Poner este valor en el término pequeño en el lado derecho de la ecuación integral da la solución de primer orden,\[ |\psi_I(t)\rangle  =|\psi_I(t_0)\rangle -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′V_I(t′)|\psi_I(0)\rangle . \label{9.4.8}\]

La solución de segundo orden ahora se da poniendo la solución de primer orden en la integral a la derecha:

\[ |\psi_I(t)\rangle  =|\psi_I(0)\rangle -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′V_I(t′)\left( |\psi_I(0)\rangle -\frac{i}{\hbar} \int_0^{t′}dt′′V_I(t′′)|\psi_I(0)\rangle \right)  . \label{9.4.9}\]

El\(T\) símbolo significa que al expandir lo exponencial, los operadores en diferentes momentos se disponen en orden de tiempo, el último a la izquierda, sin preocuparse por los conmutadores. Si simplemente expandimos ciegamente lo exponencial, obtendremos, por ejemplo, un término de tercer orden

\[ T\frac{1}{3!}\left( -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′V_I(t′)\right) \left( -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′′V_I(t′′)\right) \left( -\frac{i}{\hbar} \int_0^t dt′′′V_I(t′′′)\right) . \label{9.4.10}\]

El\(T\) operador nos dice que reorganicemos los\(V_I(t)\)'s en orden cronológico. Ya que hay tres de ellos, aparecen claramente en todos los pedidos posibles antes de\(T\) operar, es decir, ¡hay 3! diferentes términos ordenados que\(T\) hacen lo mismo. Esto simplemente cancela muy bien el 3! en la expansión exponencial, para darnos la expresión que encontramos por iteración.

Este exponencial ordenado por el tiempo es por lo tanto el propagador de representación de interacción:

\[ |\psi_I(t)\rangle =U_I(t,0)|\psi_I(0)\rangle,\;\; U_I(t,0)=T \exp\left( -i\hbar \int_0^t dt′V_I(t′)\right) . \label{9.4.11}\]