9.7: Cuantificación de la radiación

Introducción

Al analizar el efecto fotoeléctrico en el hidrógeno, derivamos la tasa de ionización de un átomo de hidrógeno en una onda electromagnética monocromática de fuerza dada, y el resultado que derivamos está en buena concordancia con el experimento. Recordemos que la interacción hamiltoniana fue

\[ \begin{matrix} H^1=\left(\dfrac{e}{mc}\right)cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)\vec{A}_0\cdot\vec{p}\\ =\left(\dfrac{e}{2mc}\right)(e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}+e^{-i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)})\vec{A}_0\cdot\vec{p}. \end{matrix} \label{9.71}\]

y bajamos el\(e^{i\omega t}\) término porque correspondería al átomo dando energía al campo, y nuestro átomo ya estaba en su estado fundamental. Sin embargo, si pasamos por el mismo cálculo para un átomo no inicialmente en el estado fundamental, entonces efectivamente una onda electromagnética de frecuencia apropiada provocará una tasa de transición a un estado energético más bajo, y\(e^{i\omega t}\) es el término relevante.

Pero esta no es toda la historia. Un átomo en estado excitado eventualmente emitirá un fotón y pasará a un estado de menor energía, incluso si hay cero campo externo. Nuestro análisis hasta ahora no predice esto —obviamente, la interacción escrita arriba es solo distinta de cero si\(\vec{A}\) es distinta de cero! Entonces, ¿qué nos falta?

Esencialmente, la respuesta es que el propio campo electromagnético está cuantificado. Por supuesto, eso lo sabemos, está formado por fotones. Recordemos el exitoso análisis de Planck de la radiación en una caja: consideró todos los modos normales posibles para la radiación, y afirmó que un modo de energía sólo\(\omega\) podía ganar o perder energía en cantidades\(\hbar\omega\). Esto llevó a la fórmula correcta para la radiación de cuerpo negro, entonces Einstein demostró que la misma suposición, con la misma\(\hbar\), explicaba el efecto fotoeléctrico. Ahora entendemos que estos modos de oscilación de la radiación son simplemente simples osciladores armónicos, con energía\((n+\dfrac{1}{2})\hbar\omega\), y, así como una masa en un oscilador de resorte tiene fluctuaciones en el estado fundamental,\(\langle x\rangle =0\) pero\(\langle x^2\rangle \neq 0\), para estos modos electromagnéticos\(\langle \vec{A}\rangle =0\) pero\(\langle \vec{A}^2\rangle \neq 0\).

El campo electromagnético en sí está cuantificado.

Estas fluctuaciones en la\(\vec{A}\) media de la interacción hamiltoniana es momentáneamente distinta de cero, y por lo tanto puede provocar una transición.

Por lo tanto, para encontrar la tasa de transición espontánea (como se le llama) para un átomo en un campo electromagnético cero (clásicamente hablando), necesitamos expresar el campo electromagnético en términos de modos normales (tomaremos una caja grande), luego cuantificar estos modos como osciladores armónicos simples cuánticos, introduciendo operadores de elevación y descenso para cada oscilador (estos serán operadores de creación y aniquilación de fotones) luego construyen la expresión apropiada del operador cuántico\(\vec{A}\) para poner en la interacción electrón-radiación Hamiltoniano.

Los sostenes y kets serán ahora estados cuánticos del electrón y del campo de radiación, en contraste con nuestro análisis del campo clásico anterior, donde el campo de radiación no cambió. (Claro que sí, realmente, en que perdió un fotón, pero en el límite clásico hay infinitamente muchos fotones en cada modo, así que eso no se registraría.)

Utilizamos el calibre Coulomb\(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0\) satisface

\[\nabla^2\vec{A}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2}=0.\]

Tomando por conveniencia condiciones de límite periódicas en el cuadro grande, podemos escribir\(\vec{A}\) (clásicamente) como una serie de Fourier en t = 0:

\[ \vec{A}(\vec{r},t=0)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(0)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(0)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \label{9.7.2}\]

La dependencia del tiempo viene dada poniendo en toda la onda plana:\(e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\to e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\), qué dependencia del tiempo se puede tomar en el coeficiente,\(c_{\vec{k},\alpha}(t)=c_{\vec{k},\alpha}(0)e^{-i\omega t}\), entonces

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \label{9.7.3}\]

El vector\(\vec{\varepsilon}_{\alpha}\) es la polarización de la onda plana. Está en la misma dirección que el campo eléctrico. En realidad varía con\(\vec{k}\), porque de\(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0\), es perpendicular a\(\vec{k}\). Es decir, para un dado\(\vec{k}\) hay dos polarizaciones independientes. Porque\(\vec{k}\) a lo largo del eje z, podrían estar a lo largo de los ejes x e y, estos se llamarían polarización lineal, y es el enfoque estándar. Pero también podríamos tomar los vectores\((1/\sqrt{2})(1, \pm i, 0)\). Estos corresponden a polarización circular: componentes x e y iguales pero con el componente y 90 grados adelante en fase. Puede reconocer los vectores\((1/\sqrt{2})(1, \pm i, 0)\) como los vectores propios para el operador de rotación alrededor del eje z; el haz polarizado circularmente lleva un momento angular,\(\pm \hbar\) por fotón, apuntando a lo largo de la dirección del movimiento.

La densidad de energía se\(\dfrac{1}{8\pi}(\overline{|\vec{E}|^2+|\vec{B}|^2})\) puede expresar como una suma sobre los\((\vec{k},\vec{\varepsilon})\) modos individuales.

Escribir los campos eléctricos y magnéticos en términos del potencial vectorial,

\[ \vec{E}=-(1/c)\partial \vec{A}/\partial t,\; \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}. \label{9.7.4}\]

donde

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \label{9.7.5}\]

y expresando así la energía total

\[ \dfrac{V}{8\pi} (\overline{|\vec{E}|^2+|\vec{B}|^2})=\dfrac{V}{4\pi} \left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2\overline{|\vec{A}|^2} \label{9.7.6}\]

en términos de las\((\vec{k},\vec{\varepsilon})\) amplitudes\(c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(t),  c_{\vec{k},\alpha}(t)\), luego integrando la densidad de energía sobre toda la caja grande los términos cruzados desaparecen de la ortogonalidad de los diferentes modos y la energía total en la caja —la hamiltoniana— es:

\[ H=\dfrac{1}{2\pi} \sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha}\left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}c_{\vec{k},\alpha}. \label{9.7.7}\]

Tenga en cuenta que aunque el hamiltoniano es (por supuesto) independiente del tiempo, los coeficientes\(c_{\vec{k},\alpha}\) aquí son dependientes del tiempo,\(c_{\vec{k},\alpha}(t)=c_{\vec{k},\alpha}(0)e^{-i\omega t}\).

¡Pero esto es formalmente idéntico a un conjunto de simples osciladores armónicos! Recordemos que para el oscilador clásico,\(p^2+(m\omega x)^2=2mE\), el vector\(z=m\omega x+ip\) tiene dependencia del tiempo\(z(t)=z_0e^{-i\omega t}\), y la energía del oscilador es proporcional a\(z^{\ast}z\) (\(x,p\)son las variables conjugadas habituales). Claramente,\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\) aquí corresponde a\(z(t)\): misma dependencia del tiempo, mismo hamiltoniano. Por lo tanto, las partes real e imaginaria de también\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\) deben ser variables conjugadas, que por lo tanto pueden cuantificarse exactamente como para el oscilador armónico simple.

Desde

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \label{9.7.8}\]

vemos que la parte real de\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\) básicamente da la contribución de la\(\vec{k}\),\(\alpha\) y, recordando la dependencia del tiempo\(c_{\vec{k},\alpha}(t)=c_{\vec{k},\alpha}(0)e^{-i\omega t}\), la parte imaginaria es proporcional a la contribución a\(\partial \vec{A}(\vec{r},t)/\partial t\), es decir, a\(\vec{E}(\vec{r},t)\). Esencialmente, entonces, la parte real de\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\), proporcional a la\(\vec{k}\), componente de\(\alpha\) Fourier del potencial vectorial\(\vec{A}\), es lo que corresponde al desplazamiento x en un oscilador armónico simple 1-D, y la parte imaginaria de\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\), el\(\vec{k}\),\(\alpha\) Componente de Fourier de\(\vec{E}\), corresponde al momento en el oscilador armónico simple.

Para llevar a cabo la cuantificación, debemos expresar la clásica hamiltoniana

\[ H=\dfrac{1}{2\pi} \sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha}\left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}c_{\vec{k},\alpha} \label{9.7.9}\]

en la forma

\[ H=\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha}\dfrac{1}{2}(P^2_{\vec{k},\alpha}+\omega^2Q^2_{\vec{k},\alpha}) \label{9.7.10}\]

\(P_{\vec{k},\alpha}, Q_{\vec{k},\alpha}\)siendo las partes imaginarias y reales de la amplitud del oscilador\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\) (escaladas apropiadamente) exactamente paralelas al tratamiento estándar del oscilador armónico simple:

\[ Q_{\vec{k},\alpha}=\dfrac{1}{c\sqrt{4\pi}}(c_{\vec{k},\alpha}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}), P_{\vec{k},\alpha}=-i\omega c4\pi √(c_{\vec{k},\alpha}-c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}). \label{9.7.11}\]

Desde la dependencia del tiempo\(c_{\vec{k},\alpha}(t)=c_{\vec{k},\alpha}(0)e^{-i\omega t}\), estas variables (clásicas)\(P,Q\) son canónicas:

\[ \dfrac{\partial H}{\partial Q_{\vec{k},\alpha}}=-\dot{P}_{\vec{k},\alpha},\; \dfrac{\partial H}{\partial P_{\vec{k},\alpha}}=\dot{Q}_{\vec{k},\alpha}. \label{9.7.12}\]

El hamiltoniano ahora puede ser cuantificado por el procedimiento estándar. Los pares de variables canónicas\(P,Q\) (un par a cada modo\(\vec{k},\alpha\)) se convierten en operadores, los corchetes de Poisson se convierten en conmutadores, la escala determinada por la constante de Planck:

\[ [Q_{\vec{k},\alpha},P_{\vec{k}′,\alpha′}]=i\hbar\delta_{\vec{k},\vec{k}′}\delta_{\alpha,\alpha′}. \label{9.7.13}\]

El siguiente paso es expresar la interacción de radiación electrónica\((e/mc)\vec{A}\cdot\vec{p}\) en términos de estos operadores de campo. Dado que el campo electromagnético está cuantificado, la interacción con el electrón debe ser que el electrón emita o absorba cuantos (fotones). Esto se representa más directamente escribiendo la interacción en términos de creación y aniquilación (subir y bajar) operadores:

\[ \begin{matrix} a_{\vec{k},\alpha}=\dfrac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}}(\omega Q_{\vec{k},\alpha}+iP_{\vec{k},\alpha})\\ a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha}=\dfrac{1}{\sqrt{2\hbar\omega}}(\omega Q_{\vec{k},\alpha}-iP_{\vec{k},\alpha}) \end{matrix} \label{9.7.14}\]

Estos satisfacen\([a,a^{\dagger}]=1\).

(Observe que el operador de aniquilación no\(a_{\vec{k},\alpha}\) es más que la representación operadora de la amplitud compleja clásica\(c_{\vec{k},\alpha}\), con un factor extra para hacerla adimensional,\(c_{\vec{k},\alpha}\to c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}} a_{\vec{k},\alpha}\). Se discutió esta misma equivalencia en la conferencia sobre estados coherentes, que eran autoestados del operador de aniquilación.)

Siguiendo el desarrollo estándar del oscilador armónico simple, el operador\(\hat{n}_{\vec{k},\alpha}=a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha}a_{\vec{k},\alpha}\) tiene estados propios con valores propios enteros\(\hat{n}|n\rangle =n|n\rangle\),, la contribución al hamiltoniano desde el modo\(\vec{k}\),\(\alpha\) es justo\(H_{\vec{k},\alpha}=(\hat{n}_{\vec{k},\alpha}+\dfrac{1}{2})\hbar\omega\), y\(a^{\dagger}|n\rangle =\sqrt{n+1}|n+1\rangle\),\(a|n\rangle =\sqrt{n}|n-1\rangle\).

La conclusión es: la expansión de onda plana clásica de\(\vec{A}\), con amplitudes de onda\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\)

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}(c_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}+c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}) \label{9.7.15}\]

se reemplaza en la cuantificación por una expansión de operador paralelo,\(c_{\vec{k},\alpha}(t)\) convirtiéndose la amplitud de onda en el operador de aniquilación (escalado):

\[ \vec{A}(\vec{r},t)=\dfrac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha=1,2}c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}}(a_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}_{\alpha}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} +a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha}(t)\vec{\varepsilon}^{\ast}_{\alpha}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}). \label{9.7.16}\]

Revisando el Efecto Fotoeléctrico, ahora con un Campo Cuantizado

Recordemos ahora que para el efecto fotoeléctrico en hidrógeno, siguiendo a Shankar escribimos el campo electromagnético entrante\(\vec{A}(\vec{r},t)=\vec{A} _0\cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)\). El único componente relevante fue que va como\(e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\). En esta sección, siguiendo el uso estándar (incluido Shankar) tomamos un campo\(\vec{A}_0e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\) entrante, un cambio irritante por un factor de 2, pero aparentemente inevitable si queremos seguir el efecto fotoeléctrico no cuantificado de Shankar, luego pasar al caso cuantificado. De todos modos, recordar el elemento matriz para calcular la tasa era (con onda entrante ahora\(\vec{A}=\vec{A} _0e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\))

\[ \langle \vec{k}_f|\left(\dfrac{e}{mc}\right)\vec{A} _0e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\cdot\vec{p}|100\rangle \label{9.7.17}\]

Al cuantificar el campo, desde el final de la sección anterior

\[ \vec{A}_0e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}=\dfrac{c_{\vec{k},\alpha}(0)\vec{\varepsilon}}{\sqrt{V}}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\to c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}}a_{\vec{k},\alpha}\dfrac{\vec{\varepsilon}}{\sqrt{V}}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} \label{9.7.18}\]

(la c al principio aquí siendo la velocidad de la luz).

Ahora que la amplitud del campo electromagnético\(\vec{A}_0\) se expresa como un operador de aniquilación, se deben suministrar sujetadores y kets apropiados (número de fotones) para que opere. El modo fotón relevante es\(\vec{k}\)\(\alpha\), por lo que al etiquetar el número de fotones correspondiente se establece que\(|n_{\vec{k},\alpha}\rangle =|n\rangle_{\vec{k},\alpha}\) el elemento matriz que debe aparecer en la Regla de Oro es

\[ \begin{matrix} (\langle \vec{k}_f|\otimes\langle n-1|_{\vec{k},\alpha})\left(\dfrac{e}{mc}\right)e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\vec{A}_0\cdot\vec{p}(|100\rangle \otimes|n\rangle_{\vec{k},\alpha})\\ =\langle \vec{k}_f;n-1|\left(\dfrac{e}{mc}\right)e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}}a_{\vec{k},\alpha}\dfrac{\vec{\varepsilon}\cdot\vec{p}}{\sqrt{V}}|100;n\rangle. \end{matrix} \label{9.7.19}\]

(Hemos eliminado el\(e^{i\omega t}\), eso solo contribuye a la\(\delta\) función -en la Regla de Oro.)

Ya que\(a_{\vec{k},\alpha}|n\rangle_{\vec{k},\alpha}=\sqrt{n_{\vec{k},\alpha}}|n-1\rangle_{\vec{k},\alpha}\), es claro que cuantificar la onda electromagnética entrante equivale a reemplazar el potencial vectorial clásico para esta onda

\[ \vec{A}_0\to c\vec{\varepsilon}\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar n_{\vec{k},\alpha}}{\omega V}} \label{9.7.20}\]

En el nivel de ocupación de fotones,\(n_{\vec{k},\alpha}\) la energía (macroscópica) en este modo único\(\dfrac{1}{2\pi} \left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}c_{\vec{k},\alpha}\) se convierte en

\[ \dfrac{1}{2\pi} \left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2c^2\dfrac{2\pi \hbar}{\omega} a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha}a_{\vec{k},\alpha}=n_{\vec{k},\alpha}\hbar\omega. \label{9.7.21}\]

(Recordemos el hamiltoniano para el campo electromagnético clásico es\(H=\dfrac{1}{2\pi} \sum_{\vec{k}}\sum_{\alpha}\left(\dfrac{\omega}{c}\right)^2 c^{\ast}_{\vec{k},\alpha}c_{\vec{k},\alpha}\) en términos de la\(c_{\vec{k},\alpha}\)'s.)

De\(a|n\rangle =\sqrt{n}|n-1\rangle\), el elemento matriz Regla de Oro

\[ \langle \vec{k}_f;n-1|\left(\dfrac{e}{mc}\right)e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}}a_{\vec{k},\alpha}\dfrac{\vec{\varepsilon}\cdot\vec{p}}{\sqrt{V}}|100;n\rangle \label{9.7.22}\]

es proporcional a\(\sqrt{n_{\vec{k},\alpha}}\), por lo que la tasa de la Regla de Oro, que incluye el cuadrado del elemento matriz, será exactamente proporcional a\(n_{\vec{k},\alpha}\). Pero a partir de\(\vec{A}_0\to c\vec{\varepsilon}\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar n_{\vec{k},\alpha}}{\omega V}}\), esto es proporcional a\(|\vec{A}_0|^2\), y de hecho la tasa cuántica de absorción de la radiación es exactamente igual a la tasa clásica en todo el rango de intensidades de campo.

Emisión espontánea

Sin embargo, ¡esta correspondencia exacta con el resultado clásico no se sostiene para la emisión de fotones! En ese caso, el átomo agrega un fotón a un modo que ya contiene n fotones, digamos, y el elemento matriz relevante es\(a^{\dagger}|n\rangle =\sqrt{n+1}|n+1\rangle\), por lo que el vector clásico equivalente\(\vec{A}_0\) es\(c\sqrt{\dfrac{(n_{\vec{k},\alpha}+1)2\pi \hbar}{\omega V}}\vec{\varepsilon}_{\alpha}\). Esto es distinto de cero aunque\(n_{\vec{k},\alpha}\) sea cero, de ahí la emisión espontánea.

Para la emisión espontánea, entonces, el elemento matriz relevante es

\[ \langle 100;1|\left(\dfrac{e}{mc}\right)e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}} a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha}\dfrac{\vec{\varepsilon}\cdot\vec{p}}{\sqrt{V}}|21m;0\rangle. \label{9.7.23}\]

La densidad de estados salientes para el fotón emitido, tomando la normalización de la caja con condiciones de límite periódicas como de costumbre, es

\[ \dfrac{V}{(2\pi)^3}k^2dkd\Omega =\dfrac{V}{(2\pi)^3}\dfrac{\omega^2d\omega d\Omega}{c^3}=\dfrac{V}{(2\pi)^3}\dfrac{\omega^2dE d\Omega}{\hbar c^3} \label{9.7.24}\]

así es la densidad de estados en la contribución energética a la función delta de la Regla de Oro\(\dfrac{V}{(2\pi)^3}\dfrac{\omega^2d\Omega}{\hbar c^3}\), y la tasa de emisión de fotones con polarización\(\vec{\varepsilon}\) en un ángulo sólido\(d\Omega\) será:

\[ \dfrac{2\pi}{\hbar}\left|\langle 100;1|\left(\dfrac{e}{mc}\right)e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}c\sqrt{\dfrac{2\pi \hbar}{\omega}} a^{\dagger}_{\vec{k},\alpha} \dfrac{\vec{\varepsilon}\cdot\vec{p}}{\sqrt{V}}|21m;0\rangle \right|^2\dfrac{V}{(2\pi)^3}\dfrac{\omega^2d\Omega}{\hbar c^3}. \label{9.7.25}\]

Una ligera diferencia en la evaluación del elemento matriz a partir de nuestro tratamiento del efecto fotoeléctrico está en la representación de la interacción dipolo. Recordemos que ahí le dimos las formas equivalentes

\[ \langle f|H^1|i\rangle =\left(\dfrac{e}{mc}\right)\vec{A}_0\cdot\langle f|\vec{p}|i\rangle e^{-i\omega t}=\left(\dfrac{e}{mc}\right)im\omega \vec{A}_0\cdot\langle f|\vec{r}|i\rangle e^{-i\omega t} \label{9.7.26}\]

y utilizó la\(\vec{p}\) representación porque el fotoelectrón saliente se tomó para estar en un estado de onda plana, un autoestado de\(\vec{p}\). Pero para la emisión espontánea, el electrón va de un estado ligado a otro, por lo que la\(\vec{r}\) forma da una imagen más inmediata del dipolo que interactúa con el campo externo, y de hecho la integración entre los estados es generalmente un poco más directa.

Entonces en el elemento matriz hacemos la sustitución\(\vec{\varepsilon}\cdot\vec{p}\to im\omega \vec{\varepsilon}\cdot\vec{r}\), y luego debemos evaluar el elemento matriz atómica\(\langle 100|\vec{\varepsilon}\cdot\vec{r}|21m\rangle\). La forma natural de hacerlo es expresar los vectores en términos de armónicos esféricos, es decir, escribirlos como vectores esféricos,

\[ r^{\pm 1}_1=\mp (x\pm iy)/\sqrt{2}=r\sqrt{4\pi /3}Y^{\pm 1}_1,\;  r^0_1=z=r\sqrt{4\pi /3}Y^0_1 \label{9.7.27}\]

y de manera similar para\(\vec{\varepsilon}\). Las integrales son entonces sencillas, pero tediosas.

Un punto divertido hecho por Sakurai es que la probabilidad de transición total para la emisión espontánea es

\[\dfrac{1}{137}\dfrac{4}{3}\dfrac{\omega^3}{c^2}|\langle 100|\vec{x}|21m\rangle |^2\]

y esta misma expresión se obtuvo utilizando el Principio de Correspondencia de Heisenberg, antes de que se inventara la teoría cuántica de campos.

La vida útil calculada del estado n = 2 es\(1.6\times10^{-9}\) segundos.